精品解析：安徽淮南市田家庵区朝阳中学2025-2026学年九年级上学期数学第三次阶段学情自测

2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B．C．D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将的圆周12等分，A，B，C是等分点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 8，12，6，9 B. 3，4，5，6 C. 2，5，3，6 D. 1，2，3，4 4. 如图，在中，，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点G，则的度数为（ ） A. 65 B. 115 C. 125 D. 135 6. 如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于，两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是斜边的中点，平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 12. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________．（结果保留根号） 13. 在中，，则外接圆的半径为 ___________． 14. 如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为______； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为______． 三．解答题（满分16分，每小题8分） 15. 计算：． 16. 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由． 四．解答题（满分16分，每小题8分） 17. 如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径． （1）求证：平分； （2）若，求的半径长． 18. 如图，每个小方格的面积表示． （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转，画出旋转后的三角形． （2）点B旋转后的位置用数对表示是（___________，___________）． （3）画出三角形按的比放大后的图形． （4）在方格纸上画一个面积是的轴对称图形，并画出1条对称轴． 五．解答题（满分20分，每小题10分） 19. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，连接、，相交于点G，过点D作交于点F． （1）证明：是的切线； （2）若，，求、的长． 20. 如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：，） 六．解答题（满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当______时，平分四边形的面积． （2）求经过多少秒后，． （3）连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． （4）运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 七．解答题（满分12分） 22. 抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接，过点M作交y于点K（点K在线段上，不与点O重合）， （1）求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． （2）若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作于点Q，连接，是否存在点P使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 八．解答题（满分14分） 23. （1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B．C．D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 如图，将的圆周12等分，A，B，C是等分点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意得，每一份等分圆周的弧的度数为，结合之间有7份等分的圆周，可得的弧的度数为，再利用圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：将的圆周12等分，则每一份等分圆周的弧的度数为， A，C是等分点，且之间有7份等分的圆周， 的弧的度数为， ． 故选：B． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 8，12，6，9 B. 3，4，5，6 C. 2，5，3，6 D. 1，2，3，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段、、、，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 由成比例线段知，证明线段、、、成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，故A选项正确； B．，故B选项错误； C．，故C选项错误； D．，故D选项错误． 故选：A． 4. 如图，在中，，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角A的正切，，设BC=3x，则AC=4x，所以AB=5x，所以． 【详解】解：∵ 设BC=3x，则AC=4x， ∴AB=5x， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角函数的知识点，在直角三角形中：正弦=,余弦=,正切=是需要同学们熟练记忆的内容． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点G，则的度数为（ ） A. 65 B. 115 C. 125 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和解题即可． 【详解】解：根据旋转可得：，， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，掌握圆的基本性质定理是解题的关键． 如图：连接，根据垂径定理可得，继而得到，再根据圆周角定理求解即可， 【详解】解：如图：连接， ∵线段是的直径，弦于点．， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，反比例函数为常数，且的图象与正比例函数为常数，且的图象相交于， 两点，点的横坐标为．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据反比例函数的中心对称性质，点 的横坐标为1，结合函数图象和，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据反比例函数的中心对称性质，点 的横坐标为1， 根据函数图象结合， 自变量的取值范围为：． 故选：C． 8. 如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，过点作，垂足为，过点 作，垂足为，则，根据正八边形的性质对称，，同理得出，设正八边形的边长为，即，在中，求出，同理得出，从而得，在和中，列出等式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，过点 作，垂足为，则， ∵正八边形内接于， ， ， 同理， 设正八边形的边长为，即， 在中，， ， 同理， ， 在中，， ， ， 即， 解得， 在中， ， ， 的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 9. 已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∵二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，点是斜边的中点，平分，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出根据等腰三角形三线合一的性质得出根据三角形中位线定理得出，再根据含角的直角三角形的性质可推出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：点是斜边的中点， 又∵平分 ∴， ∴是中位线， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若抛物线的顶点在轴上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，根据顶点在轴上，得到顶点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， 在x轴上， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点 为的黄金分割点，且，若，则的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，正确计算是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，从而求出的长度，再利用求出最后结果． 【详解】解： 点 为的黄金分割点，且， ，， ， ， 故答案为：． 13. 在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：当为斜边时，， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 故答案为：4或5． 14. 如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为______； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，得出，再求出，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出即可． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 故答案为：； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三．解答题（满分16分，每小题8分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分母有理化等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算各特殊角的三角函数值，然后分母有理化，计算乘方与乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ． 16. 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，问这辆车能否通过厂门？说明理由． 【答案】能通过，理由见解析 【解析】 【分析】因为上部是以为直径的半圆，O为中点，同时也为半圆的圆心，为半径，的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出的长度．的长度等于的长度．如果的长度大于2.5米货车可以通过，否则不能通过． 【详解】解：能通过，理由如下： 设点O为半圆的圆心，则O为的中点，为半圆的半径， 如图，∵直径米， ∴半径米，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∵， ∴能通过． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长度． 四．解答题（满分16分，每小题8分） 17. 如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径． （1）求证：平分； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）3 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解题的关键是证明： （1）连接，等边对等角，平行线的性质，结合圆周角定理，推出，进而证明，得到，即可得证； （2）切线的性质，得到，全等的性质，得到，，进而得到，，勾股定理求出的长，利用的正切值进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与的边相切于点C， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴，， 在中，，， 在中，， ∴，即：的半径长为3． 18. 如图，每个小方格的面积表示． （1）把图中的三角形绕点O顺时针旋转，画出旋转后的三角形． （2）点B旋转后的位置用数对表示是（___________，___________）． （3）画出三角形按的比放大后的图形． （4）在方格纸上画一个面积是的轴对称图形，并画出1条对称轴． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，用有序数对表示位置，画放大后的三角形，以及画轴对称图形，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据旋转中心为O，旋转方向为顺时针，旋转角为画出旋转后的三角形即可； （2）根据图形用数对表示出点B旋转后的位置； （3）根据比例关系画出放大后的三角形即可； （4）根据面积是，以及轴对称图形特点，画出图形及其1条对称轴即可． 【小问1详解】 解：旋转后的三角形如图所示： 【小问2详解】 解：由图知，点B旋转后的位置用数对表示是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：三角形按的比放大后的三角形（图形不唯一）如图所示： 【小问4详解】 解：所画面积是的轴对称图形（长方形，三角形等，答案不唯一，符合要求即可），及其1条对称轴，如图所示： 五．解答题（满分20分，每小题10分） 19. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，连接、，相交于点G，过点D作交于点F． （1）证明：是的切线； （2）若，，求、的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，先根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到，然后利用中位线的性质得到，进而得，然后利用切线的判定可得结论； （2）证明，利用相似三角形的对应边求得，，再证明求得，然后利用平行线分线段成比例证明，进而可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∴． 20. 如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡面点A处10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：，） 【答案】离原坡角10米的建筑物需要拆除 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解题的关键是清楚坡度坡角的概念．根据坡角利用三角函数分别求得的长；从而求得的长，然后将与10进行比较，若大于则需拆除，反之不用拆除． 【详解】解：根据题意得：米． ∴米． ∵， 即：， ∴米， ∴（米）， ∵． 答：离原坡角10米的建筑物需要拆除． 六．解答题（满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当______时，平分四边形的面积． （2）求经过多少秒后，． （3）连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． （4）运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）当时，恰好平分． （4）当时，点B在线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过 作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． 【小问3详解】 解：如图，连接，过 作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． 【小问4详解】 解：如图，连接，过 作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 七．解答题（满分12分） 22. 抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，平行于x轴交抛物线于另一点D，点M是x轴上一动点，连接，过点M作交y于点K（点K在线段上，不与点O重合）， （1）求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含a的式子表示）． （2）若点K的坐标为，则线段存在唯一一点M， ①求抛物线的解析式 ②如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的动点，过点P作于点Q，连接，是否存在点P使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）①；②存在两个点P，点P的横坐标是2或 【解析】 【分析】（1）分别令和可得， ， 三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是直线，根据对称性可得点的坐标； （2）①先作辅助线，构建相似三角形，证明，则，列方程，根据，可得的值，求出抛物线的解析式； ②当中某个角恰好等于的2倍时，存在两种情况：当时，延长交轴于，确定点的坐标，设的解析式为：，联立方程组可得的横坐标；当时，作，证明和，表示的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵平行于x轴交抛物线于另一点D， ∴； 【小问2详解】 解：①∵点是线段存在唯一一点M， 如图2，过D作轴于E， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵只有一个M点，所以方程只有一个解， ∴， ∴， ∴； ②（i）当时，延长交x轴于F，如图 ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 设的解析式为：， 则，解得：， ∴的解析式为：， 联立， 解得：（舍），， ∴点P的横坐标为2； （ii）当时，如图4，作， 设， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 过Q作x轴的平行线交y轴于G，同时过P作于H， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴ 代入抛物线的解析式中得：， 解得：（舍），， ∴P的横坐标为， 综上，存在两个点P，点P的横坐标是2或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论和数形结合思想的运用是解答的关键． 八．解答题（满分14分） 23. （1）如图1，在中，，，点D，E在边上，．若，求的长． 小明的解题思路：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，可证，最后在中可求得的长，即的长． ①请你写出与全等的证明过程； ②求出的长． （2）某公园有一块三角形空地（如图3），其中，．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工湖，D，E是边上的点，要求，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为km 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质，三角形全等的判定解答即可； ②根据前面的证明，证明，利用勾股定理解答即可． （2）仿照（1）的思路，利用旋转思想，直角三角形的判定和性质，勾股定理，解方程解答即可． 【详解】解：（1）①证明：由旋转的性质，得 ∵， ∴， ∴， 即， ∴. 在和中， ∴. ②由（1）可知，， ∴. ∵，， ∴. 由旋转的性质，得， ∴. 在中，由勾股定理，得， ∴. （2）如图3，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，. ∵，， ∴， 过点A作于点M， 则， ∴ ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 设. 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的长为km. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $