精品解析：广东江门市新会葵城中学2025-2026学年九年级上学期数学1月阶段学情自测

2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由一个球体和一个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数的比，多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P（W）的值为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则；其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是______． 12. 在一个不透明的袋子中有个完全相同的小球，分别标记为，，，．进行摸球试验时，需要从该袋中摸球两次，每次随机摸取一个小球．甲同学按照某一规则，用下表正确地列举出了所有可能出现的结果．则该规则中，第一次摸取的小球在第二次摸球时是否仍在该袋中：_______（填“是”或“否”）． 第一次 第二次 13. 已知抛物线，当时，则y的取值范围是 ___________． 14. 如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则 _________ ． 15. 将一块直角三角板放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点 C重合，直角顶点C的坐标为，．当绕点C旋转一个角时点B落在y轴上，此时点A的坐标为___________． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 根据二次函数 的图象，回答下列问题： （1）方程 的解是 ． （2）当x取什么值时， 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标． 18. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围． 20. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 21. 阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： （1）填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 五．解答题（三）：本大题共3小题，共27分． 22. 如图1，已知以D为顶点的抛物线经过、B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，和有怎样的数量关系，请说明理由 （3）如图2，已知点，若P为抛物线位于x轴下方部分上一点，以为边在的上方作等边三角形，连接，N为线段中点，直接写出的最小值． 23. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． （1）如图1，求证：为圆O切线； （2）如图2，过点A作交于点D，求证； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试卷 一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由一个球体和一个正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合体的三视图，关键是明确左视图是从物体左面观察得到的平面图形．从左面观察该几何体，下方的正方体呈现为正方形，上方的球体呈现为圆，且圆位于正方形的正上方，选出符合此特征的选项即可． 【详解】解：从左面看，该几何体下方是正方形，上方是圆，且圆在正方形的正上方； 故选：C． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、，即，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 由旋转的性质及等腰三角形的性质求得，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵将逆时针旋转得到， ∴， ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，所得抛物线为， 故选：D 5. 为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等弦对等弧，根据直径所对的圆周角为直角，得到，三角形的内角和求出，等弦对等弧，得到，进而得到，进而求出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年七月份与九月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，若该公司每月投递的快递总件数的增长率x相同．则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 若该公司每月投递的快递总件数的增长率相同，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：若该公司每月投递的快递总件数的增长率相同， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 7. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数的比，多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P（W）的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故选C． 8. 根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围． 【详解】解：根据表格，当和时，， 当和时，， ∴该方程的解的取值范围为或， 故选：A． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键． 9. 如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把代入到中得：， ∴， 故选：A． 10. 二次函数（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则；其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数的关系，考查了二次函数对称轴，二次函数与方程关系等知识，综合性强，难度较大．由抛物线开口向上得，根据对称轴得到，，根据抛物线与y轴交于负半轴，得到，①错误；由得②正确；根据抛物线对称轴为直线，开口向上，得到函数最小值为，得到③正确；根据抛物线与x轴一个交点在左侧，对称轴为直线，得到抛物线与x轴另一个交点在右侧，得到④正确；根据得到，结合，得到抛物线对称轴为，得到⑤正确． 【详解】解：由抛物线开口向上得， 由抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； 由得，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，开口向上， ∴函数最小值为， ∴m为任意实数时，，即，故③正确； ∵抛物线与x轴一个交点在左侧，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点在右侧， ∴当时，，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当和时函数值相等， ∵抛物线对称轴为， ∴，故⑤正确． 故选：C 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴m的最大整数值是0． 故答案为：0． 12. 在一个不透明的袋子中有个完全相同的小球，分别标记为，，，．进行摸球试验时，需要从该袋中摸球两次，每次随机摸取一个小球．甲同学按照某一规则，用下表正确地列举出了所有可能出现的结果．则该规则中，第一次摸取的小球在第二次摸球时是否仍在该袋中：_______（填“是”或“否”）． 第一次 第二次 【答案】否 【解析】 【分析】本题主要考查列表法，熟练掌握列表法是解题的关键． 表格中只列举了两次摸球结果不同的情况，缺失两次结果相同的情况，表明第一次摸球后小球未放回袋中． 【详解】解：由表格可知，所有列举的结果均为第一次和第二次摸到不同小球，即不存在如等相同小球的组合，这说明第一次摸球后小球被取出并未放回，因此第二次摸球时袋中不包含第一次摸出的小球． 故答案为：否． 13. 已知抛物线，当时，则y的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，再根据函数的性质求出y的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小； ∵， ∴当时，函数取得最大值：， 当时，函数取得最小值：， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，四边形内接于，过点A作，交于点E．若，则 _________ ． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，圆内接四边形的性质，根据得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为： ． 15. 将一块直角三角板放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点 C重合，直角顶点C的坐标为，．当绕点C旋转一个角时点B落在y轴上，此时点A的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当B点在第二象限时，当B点在第三象限时，结合锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：当B点在第二象限时，旋转后点B落在y轴的点处，点A落在点处，作于点H， 在中，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当B点在第三象限时， 同理旋转后点A的坐标为； 综上所述，当绕点C旋转一个角时点B落在y轴上，此时点A的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查坐标与图形的变化——旋转，解直角三角形，解题的关键是注意要分两种情况讨论． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 根据二次函数 的图象，回答下列问题： （1）方程 的解是 ． （2）当x取什么值时， 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点的横坐标即为方程的解； （2）写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：（1）抛物线与轴的交点坐标为，， 方程的解为，； 故答案为，； 【小问2详解】 由二次函数的图象可得，当或时，． 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点O逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点O成中心对称的图形． （3）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转和中心对称，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质； （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （3）如图，作轴于D，轴于E，证明，可得，，然后根据点在第二象限可得答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 如图，上有一点绕点O逆时针旋转的对应点为，作轴于D，轴于E， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴． 18. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴的距离小于3，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k即可； （2）先确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ， 解得， ∴， 将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式； 【小问2详解】 ∵点P（m，n）在该反比例函数图像上，点P到y轴的距离小于3， ∴或， 当时；当时， 当点P到y轴的距离小于3时，或． 【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法． 20. 某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于250件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润． 此题主要考查了二次函数、一次函数等知识点的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型利用函数的增减性得出最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，将代入， 得， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：依题意，网店每天的销售利润为W元 ． 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 答：当销售单价为45元时，每天获取的利润最大，最大利润是3750元． 21. 阅读材料，解答问题． 为解方程，我们将视为一个整体，然后设，则，原方程化为（※），解得，．当时，，所以，所以；当时，，这不成立．所以原方程的解为，．解答问题： （1）填空：由原方程得到方程（※）的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； （2）解方程：． 【答案】（1）换元，转化 （2） 【解析】 【分析】（1）由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想； （2）令，则，原方程可化为：．据此即可求解． 【小问1详解】 解：由原方程得到方程（※）的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化得数学思想 故答案为：换元，转化 【小问2详解】 解：令，则 原方程可化为： ∴ 解得： 当时， ∴； 当时，，不成立 ∴原方程的解为： 【点睛】本题考查了利用换元法将高次方程转化为一元二次方程求解．注意计算的准确性． 五．解答题（三）：本大题共3小题，共27分． 22. 如图1，已知以D为顶点的抛物线经过、B两点，与y轴交于C点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，和有怎样的数量关系，请说明理由 （3）如图2，已知点，若P为抛物线位于x轴下方部分上一点，以为边在的上方作等边三角形，连接，N为线段中点，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明： 令，则， 解得：，， ∴，， 令，则， ∴， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，而，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过，对称轴为直线，再建立方程组即可； （2）先求解，，，可得，再求，而，，可得，，，证明，可得，证明，从而可得结论； （3）取，连接，，，证明为等边三角形，而为等边三角形，可得，，可得，则，可得轴时，即，重合时，最短，而，此时，可得的最小值为：，为的中点，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，对称轴为直线． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取，连接，，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形，而为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴轴时，即，重合时，最短，而， 此时， ∴的最小值为：， ∵为的中点， ∴的最小值为：． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，锐角的正切的应用，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． （1）如图1，求证：为圆O切线； （2）如图2，过点A作交于点D，求证； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵切圆O于点C， ∴， ∴ ∴为圆O切线； （2） 证明：如图，连接， ∵为圆O直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据垂径定理得出，进而得出，根据等边对等角得出，，由切线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）由为圆O直径，得出，进而得出，可以判定，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论；， （3）先求出半径，根据勾股定理得出，由，得出，进而得出，设，则，，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴半径， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ， ∵O，F分别是和的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，有一定的综合性，掌握这些知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $