精品解析：广东深圳市罗湖区香港中文大学（深圳）附属礼文学校2025-2026学年九年级上学期数学1月阶段学情自测

2025-2026学年九年级上学期1月考数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 下列实数中，最小的数是（） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 比较各数的大小，负数小于正数，因此是最小的数，即可解答． 【详解】解：∵，而， ∴是最小的数． 故选A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，所以符合题意； 因为图C不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以不符合题意． 故选：B． 3. 某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各维度得分乘以对应权重后求和，再除以权重总和得到结果． 【详解】解：权重比为， 权重总和为， 王花的加权平均分为(分)． 故选：B． 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可． 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得， ∴m的值可能是， 故选：D． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 6. 已知直线y＝kx+1在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+1≤0的解集为（　　） A. x≥1 B. x≤1 C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像可以得到，当x≥2时，y＝kx+1对应的函数值小于等于0，从而可以得到不等式kx+1≤0的解集． 【详解】解：由图像可得， 当x≥2时，y＝kx+1对应的函数值小于等于0， ∴不等式kx+1≤0的解集是x≥2，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图像，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 7. 我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等可得方程，根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得，， 故选：A． 8. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：A. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； B. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； C. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项符合题意； D. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、二、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 11. 一元二次方程的一般形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】去括号移项合并同类项化为即可得到答案． 【详解】解：去括号得， ， 移项得， 合并同类项得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式加减、去括号及一元二次方程一般式． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别分布在第一、三象限；当时，图象分别分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及勾股定理，解答关键是根据折叠的条件推出． 过作于，过作于，可求得，，根据勾股定理求得， ，根据折叠可知：，， ，然后证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：过作于，过作于，如图： ， 由已知，，菱形的面积为，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠可知：， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 三．解答题（本大题共7题，其中14题6分，15题8分，16题8分，17题8分，18题10分，19题10分，20题11分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用平方根、负整数指数幂、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 15. 小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 【答案】（1）② （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； 【小问2详解】 略 16. 为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． （1）本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1） 100，补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）用选择“围棋”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“象棋”的人数，再补全条形统计图即可． （2）用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（名）． “象棋”的人数为（名）． 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 17. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（ ）． ∴ ， ∵，， ∴AF垂直平分线段BE， ∴ ， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】 证明：如图所示， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 本题根据平行四边形的性质证得，然后通过垂直平分线的性质得到，然后即可求解； 【详解】略 18. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）的长为米． （2） 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． 【小问2详解】 略 19. 如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F． （1）求m和k的值． （2）求点D的坐标． （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关 键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点A作轴于点G，易证可得， ，即可求得点D的坐标； （3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知的面积的面积，据此即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：如图：过点A作轴于点G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴.， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵直线与反比例函数的图像交于点和点B， ∴点B的坐标为， ∵， ∴. 20. （1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ， 又， ． （3） 【解析】 【分析】（1）（1）由，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，即可得证； （2）由已知可得，再根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，，再由对顶角相等，即可得证； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出．证明，得出，求出，由勾股定理求出，则可得出的长． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图（3），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 又， ， 即， ． ， ， ， ． 设，则， ， （负值舍）， ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期1月考数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 下列实数中，最小的数是（） A. B. 2 C. D. 5 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校学期末进行优秀学生评定，王花的“德”“智”“体”“美”得分分别是分、分、分、分，若按的比来计算加权平均分，则王花的得分是（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 6. 已知直线y＝kx+1在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+1≤0的解集为（　　） A. x≥1 B. x≤1 C. x≥2 D. x≤2 7. 我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A. B. C. D. ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 10. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 11. 一元二次方程的一般形式为___________． 12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________． 三．解答题（本大题共7题，其中14题6分，15题8分，16题8分，17题8分，18题10分，19题10分，20题11分，共61分） 14. 计算：． 15. 小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 16. 为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． （1）本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 17. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点A作的垂线，垂足为G，交线段于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点G，交于点F，连接（只保留作图痕迹）． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（ ）． ∴ ， ∵，， ∴AF垂直平分线段BE， ∴ ， ∴， ∴四边形是菱形． 18. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 19. 如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F． （1）求m和k的值． （2）求点D的坐标． （3）连接，求的面积． 20. （1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $