精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期学科素养竞赛 八年级 数学 一、选择题：（每小题3分，共30分．） 1. 下面国产汽车品牌标志中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：下列图形中，是轴对称的图形的有第二个，第三个，第四个，共三个． 故选C． 【点睛】主要考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法法则，积的乘方、幂的乘方法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、x4和x2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、原计算错误，故该选项不符合题意； C、正确，故该选项符合题意； D、原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴对称的点的坐标是( ) A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （2，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答即可． 【详解】解：点P（−2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3）． 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4. 下列各式添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号． 根据规则逐一判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 5. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质．先根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故选：B． 6. 若，则内应填的式子是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出= ，利用分式的性质求解即可． 【详解】根据题意得出= 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. 如果的乘积中不含x一次项，则m为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出多项式乘以多项式，然后根据不含一次项求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵展开式中不含一次项， ∴2+m=0， 解得：m=-2 故选A． 【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某一项，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键． 8. 如图，有两个正方形纸板A，B，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】设A的边长a，B的边长是b，利用表示出大正方形的面积，再减去纸板与的面积之和，即可得解． 【详解】解：设A的边长a，B的边长是b，则， 根据题意得︰， ∴， ∴， ∴乙图阴影部分的面积 ， 故选A． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．正确的识图，用字母表示出面积是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 二、填空题：本大题共8小题，11，12每小题3分，其余每题4共分30分． 11. 的值等于_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，掌握是解题的关键．根据零指数幂的意义即可求解． 【详解】解∶ ． 故答案为∶1． 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键． 13. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 14. 如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，根据证得，进而得，在根据平行线的性质及等腰三角形的判定得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：6． 15. 如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 ______． 【答案】10° 【解析】 【分析】首先需要根据条件作出辅助线OA、OB，根据垂直平分线得性质：线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距离相等，可以构造等腰三角形，即可进行角度转换求解，最终求得∠BCO的度数为10°． 【详解】解：如图所示： 连接OA、OB， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵O是AB，AC垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA+∠OCA＝80°， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠CBO＝10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题重点考查的是线段垂直平分线的性质的运用，利用性质进行构造等腰三角形，并进行求解是解本题的关键． 16. 如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 17. 如图，四边形中，．若点B关于的对称点恰好落在上（不与点D重合），则__________度． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 连接，过点A作于点E，根据题意可得垂直平分， 从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点E， ∵点B关于的对称点B恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35 18. 如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，含30度角的直角三角形，作点关于的对称点，连接，得到，得到三点共线时，的值最小，根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则：， ∴， ∴三点共线时，的值最小，为的长， ∵点E是边上的动点， ∴当时，最小， ∵的值最小时，，， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题：（本大题共10小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）（运用乘法公式计算）； （4）（运用乘法公式计算） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算乘方，再计算单项式的除法； （2）先算单项式的乘法，再合并同类项即可； （3）把转化为，用完全平方公式简便计算即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，112 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析，顶点的坐标为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据割补法即可求的面积； （3）连接与x轴交点即为点P的位置． 【小问1详解】 解：如图，即为所求；顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所作． 22. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】（1）“T”型图形的面积为； （2）5440元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【小问1详解】 解：由题意得：“T”型图形的面积为； 【小问2详解】 解：当米时，此时米， （平方米）， ∴造价为（元）． 23. 如图，在中，是内两点，平分，，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质．延长交于，延长交于，如图所示，由等腰三角形三线合一性确定、，再由等边三角形的判定与性质求出相关角度与线段长，在中，由含的直角三角形性质得出，数形结合表示出线段，代值求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于，延长交于，如图所示： 在中，，平分， 由等腰三角形三线合一性可得，是边上的中线， ， ， 是等边三角形，则，， ， ， 在中，，则， ，则， ． 24. 请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）比较与的大小． 【答案】（1）有最小值； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性． （1）利用完全平方公式可得，然后利用偶次方的非负性，即可解答； （2）作差，利用完全平方公式可得，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 当时，有最小值； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 25. 如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接， （1）画出关于直线成轴对称的； （2）若，求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）利用等边对等角求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，然后利用轴对称的性质即可求解； （3）连接，设，则，求得，证明，据此即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：连接， ∵与关于直线成轴对称，， ∴，，，， ∴在同一直线上， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26. 已知直线分别于坐标交于，两点，且a，b满足， （1）求的面积； （2）如图1，以线段为直角边在第一象限作等腰，， ①求点C的坐标； ②如图2，P为线段上一点，连接，的延长线交于点D，，求的度数； （3）若线段为斜边作等腰，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）S△AOB=4 （2）①；②； （3）点C的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，得到和的坐标，利用三角形的面积公式即可求解； （2）①过点作轴于点，证明，得到，，据此即可求解； ②证明，得到是等腰直角三角形，即可求得； （3）分两种情况讨论，过点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为和，证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， ∴，， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：①过点作轴于点，则，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：当点在线段右侧时，过点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为和，如图， 同理，可得， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当点在线段左侧时，过点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为和，如图， 同理，可得， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴； 综上，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，坐标与图形的性质，非负数的性质等，注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学科素养竞赛 八年级 数学 一、选择题：（每小题3分，共30分．） 1. 下面国产汽车品牌标志中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴对称的点的坐标是( ) A. （-2，-3） B. （2，-3） C. （-3，2） D. （2，3） 4. 下列各式添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把沿线段折叠，使点落在点处，；若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若，则内应填的式子是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如果的乘积中不含x一次项，则m为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 8. 如图，有两个正方形纸板A，B，纸板与的面积之和为34．现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共8小题，11，12每小题3分，其余每题4共分30分． 11. 的值等于_______． 12. 计算：_________． 13. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 14. 如图，四边形中，，，交于点E，，，则的长_______． 15. 如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 ______． 16. 如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，则的面积为_________． 17. 如图，四边形中，．若点B关于的对称点恰好落在上（不与点D重合），则__________度． 18. 如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则_______． 三、解答题：（本大题共10小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）（运用乘法公式计算）； （4）（运用乘法公式计算） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 22. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 23. 如图，在中，是内两点，平分，，若，求的长． 24. 请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求的最小值； （2）比较与的大小． 25. 如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接， （1）画出关于直线成轴对称的； （2）若，求的度数； （3）求证：． 26. 已知直线分别于坐标交于，两点，且a，b满足， （1）求的面积； （2）如图1，以线段为直角边在第一象限作等腰，， ①求点C的坐标； ②如图2，P为线段上一点，连接，的延长线交于点D，，求的度数； （3）若线段为斜边作等腰，请直接写出点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $