专题：竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题讲义 1、 竖直平面内圆周运动的两种模型之轻绳模型 1、 轻绳模型界定 轻绳一端连接物体，以另一端端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，绳长为圆周运动的半径，这就是以轻绳为连接的物体在竖直平面内的圆周运动模型。 这样的圆周运动特点是在最高点只有向下的重力或者拉力（拉力也可能为0），而无向上的力。那如果轻绳换成链条也是一样的情况；而如果没有绳子，物体沿着竖直圆弧轨道内侧的圆周运动也是同样的特点。 那以上这些竖直平面内的圆周运动统称为竖直平面内圆周运动的轻绳模型。如下图所示。 2、 模型的受力和运动情况 (1) 物体在最高点时的受力和运动情况 在最高点时，物体受竖直向下的重力和竖直向下的拉力（或弹力），这时两力的合力提供物体做圆周运动的向心力。· 此时 FN+mg=m 当FN=0时，mg=m，此时线速度达到最小值，vmin＝ 此时线速度最小，意味着如果线速度没有达到最小值，则物体无法到达最高点；线速度刚好是最小值，那做圆周运动的物体恰好能通过最高点；所以vmin＝ 是物体能否通过最高点的临界速度。 (2) 物体在最低点时的受力和运动情况 在最低点时，物体受竖直向上的拉力（或支持力）和竖直向下的重力，两力的合力提供物体做圆周运动的向心力。 · 此时 FN-mg=m 则FN=mg+m 绳对物体的拉力（或圆弧对物体的支持力）大于重力，也意味着物体对绳子的拉力（或弧面的压力）大于物体本身的重力。 所以物体过能够过最低点的条件是物体对绳子的拉力（或者对圆弧的压力）要低于绳子能承受的最大张力。 (3) 从最高点运动到最低点的情形 物体从最高点运动到最低点的过程为速率增加的变速圆周运动。 如左图所示，物体从最高点运动到最低点的过程中，物体的支持力始终与速度方向垂直，指向圆心；而重力和速度方向的夹角始终为锐角，所以整个过程，速率在不断增加。 (4) 从最低点运动到最高点的情形 物体从最低点运动到最高点的过程为速率减小的变速圆周运动。从最低点到最高点的整个过程重力和速度方向的夹角始终为钝角，所以速率在不断减小。 3、 典型例题 例1 如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：(1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，轻绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。 解析 轻绳模型中物体要通过最高点，其速度至少为，这也是物体刚好通过最高点的速度大小；物体在最低点时对绳的拉力要小于轻绳能承受的最大张力，即F=mg+m≤Tmax （1） 绳子的长度L为小球做圆周运动的轨道半径，刚好通过最高点意味着此时绳子的张力刚好为0，重力恰好提供向心力，则 mg＝m 解得v1＝＝4 m/s （2） 小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝m 解得FT＝15 N （3） 在最低点时，绳子的拉力和小球的重力的合力提供向心力，即 FT′－mg＝m 将FT′＝45 N，代入解得v3＝8 m/s 即小球的速度不能超过8 m/s。 4、 基础练习 (1) 如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　) A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N (2) (多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则(　　) A.在最高点A，小球受重力和向心力 B.在最高点A，小球受重力和圆弧向下的弹力 C.在最高点A，小球的速度为 D.在最高点A，小球的向心加速度为2g (3) 如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A.v最小值可以为0 B.若v＝，细绳必然对小球有拉力的作用 C.若v增大，此时小球所需的向心力将减小 D.若v＝，当小球运动到最低点的速度为v时，绳子的拉力是6mg 2、 竖直平面内圆周运动的两种模型之轻杆模型 1. 轻杆模型界定 轻杆一端连接物体，以另一端为圆心，在竖直平面内做匀速圆周运动的情形，这就是以轻杆为连接的物体在竖直平面内的圆周运动模型。 轻杆连接物体意味着在最高点时有支撑，而轻杆作为刚性物体，既可以被拉伸也可以被压缩，所以杆对物体的支持力可以向上也可以向下。 当物体在光滑的管道里面运动时，会因为物体速度大小的不同可能受到来自上管道的压力或者下管道的支持力，这种情况下物体做圆周运动的特点和轻杆连接物体做圆周运动时很相似，所以这种物体在竖直平面内最高点时可能受到压力或者支持力的圆周运动模型统称为轻杆模型。 如下图所示。 2. 模型的运动和受力情况 (1) 物体在最高点时的受力和运动情况 物体运动到最高点时，物体除了受竖直向下的重力，还可能受到轻杆（或管道）的支持力或者压力，那重力和支持力或压力的合力提供物体在最高点时的向心力。 · 当做圆周运动的物体运动到最高点时线速度大小大于时，物体受到的弹力向下 在最高点时，若物体受到的是轻杆（或上管道）给其竖直向下的压力，则压力和重力的合力提供其在最高点时的向心力，如下图所示。 此时 F=mg+FN＝m>mg 则，v> 即当物体在最高点受到的是向下的弹力时，物体此时 的线速度大小大于 · 当做圆周运动的物体运动到最高点时线速度大小等于时，物体受到的弹力为0 在最高点时，若物体受到轻杆（或管道）给其的弹力刚好为0时，则只有重力提供其在最高点时的向心力，如下图所示。 此时 F=mg＝m 则，v= 即当物体在最高点受到的弹力为0时，物体此时 的线速度大小为 · 当做圆周运动的物体运动到最高点时线速度大小小于时，物体受到轻杆（或下管道）竖直向上的弹力；当v=0时，物体恰好通过最高点 在最高点时，若物体受到的是轻杆（或下管道）给其竖直向上的支持力，则压力和重力的合力提供其在最高点时的向心力，如下图所示。 此时FN方向向上，则 F=mg-FN＝m<mg 可得v< 即当物体在最高点受到的弹力向上时，物体此时的线速度大小小于 当FN＝mg时，F=0，v=0，此时恰好通过最高点。 (2) 物体在最低点时的受力和运动情况 当物体运动到最低点时，因为重力始终竖直向下，所以物体若要完成圆周运动，必受到轻杆（或下管道）对其竖直向上的支持力FN，FN和重力的合力提供物体在最低点时的向心力，如下图所示。 · 此时 FN-mg=m 则FN=mg+m 轻杆（或下管道）对物体的支持力大于重力，也意味着物体对轻杆（或下管道）的压力大于物体本身的重力。 所以物体过能够过最低点的条件是物体对轻杆（或者下管道）的压力要低于轻杆（或管道）断裂的最大压力。 3. 经典例题 例2 (多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　) A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 解析 考查轻杆模型中物体在最高点时的运动和受力情况 最高点时，若速度v0＝，则小球对管道无压力，所以A正确； 若v0>，小球受到的弹力向下，即小球受到管内上壁对其向下的支持力，则管内上壁受到小球对其向上的压力，所以B正确、D错误； 若0<v0<，小球受到的弹力向上，即小球受到管内下壁对其向上的支持力，则管内下壁受到小球对其向下的压力，所以C正确； 故正确答案为ABC 4. 基础练习 (1) 有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10 m/s2)。 (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力； (3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41 N，求小球的速度大小。 (2) 如图所示，轻质细杆OA长为1 m，A端固定一个质量为5 kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3 m/s，g取10 m/s2，细杆受到(　　) A.5 N的压力 B.5 N的拉力 C.95 N的压力 D.95 N的拉力 (3) 如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是(　　)A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零 B.小球过最高点时，最小速度为 C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反 D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力 3、 水平面内圆周运动的临界问题 1. 问题界定 在水平面内做圆周运动的模型包括随着水平圆盘转动的物体、圆锥摆、火车或汽车转弯等。 上面模型提供物体做圆周运动向心力的主要是静摩擦力（随水平圆盘转动且无细线连接的物体、火车、汽车转弯等）、拉力（圆锥摆、有细线连接的随水平圆盘转动的物体等）或支持力（随圆柱筒做圆周运动的物体等）。 所以水平面内圆周运动主要的临界问题有： (1) 静摩擦力达到最大值； (2) 物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3) 绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4) 绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2. 解题思路 (1) 确定是否是临界问题。当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2) 分析临界状态的受力情况，列出向心力公式，求出未知物理量。例静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值时为临界状态，这时Fmax＝μFN＝m。 3. 典型例题 例3如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A.A的向心加速度最大 B.B和C所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 解析 考查静摩擦力最大值的临界问题 A、B、C随水平转盘做圆周运动，属于同轴传动，所以三者角速度相同，由a=r可知，C的向心加速度最大，所以A错误； 从A、B、C受力情况可知，三者均是静摩擦力提供其做圆周运动的向心力，则 fA=R，fB=R，fC=R，所以B和C摩擦力不相等，B错误； A、 B、C三者的最大静摩擦力分别为fAmax=2μmg，fBmax=fCmax=μmg，因为A、C向心力大小相同，而A的最大静摩擦力是C的2倍，所以当转速缓慢增大时，C会比A先发生离心运动即先滑动，所以C正确；而A的向心力是B的2倍，A的最大静摩擦力又是B的2倍，所以当转速缓慢增大时，两者会同时发生滑动，则D错误。 故正确答案为C 4. 基础练习 (1) 如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则(　　) A.物块A一定会受圆盘的摩擦力 B.当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力 C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D.当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心 (2) 如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是(　　) A.A处物块的向心加速度最大 B.B处物块受到的静摩擦力最小 C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块 D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块 (3) 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块在A点随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝60°。已知重力加速度为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝mg。(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小； (2)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $