精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明飞鸿学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

飞鸿学校2025年秋季学期九年级数学期末综合检测卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 太阳从东方升起 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 2. 抛物线与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4. 一元二次方程根情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，内接于，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 6. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形顶点A，B，C都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 10. 如图，点P为抛物线上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．若点P的横坐标为4时，则Q点的坐标为（ ） A B. C. D. 11. 已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（　　） A B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6．若任意掷一次骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为_______． 14. 如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 15. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得且，则桥拱（抛物线）的函数表达式为__________________． 16. 如图，是半圆O直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数. （1）写出此抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 19. 如图，阳光小区有一块长为60米，宽为20米的矩形空地，为了美化环境，现计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若要修建的两块矩形绿地的面积共为864平方米，求人行通道的宽度． 20. 如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接、． （1）求证：； （2）请判断、、三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由． 21. 如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求点O到的距离； （2）求正六边形的面积． 22. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略不计. （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？ 23. 已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 飞鸿学校2025年秋季学期九年级数学期末综合检测卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑） 1. 下列事件是必然事件是（ ） A. 没有水分，种子发芽 B. 太阳从东方升起 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可． 【详解】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，不符合题意； B、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】将代入抛物线，求得，再令，求解即可． 【详解】解：将代入抛物线，得，解得， 即抛物线为， 代入得，即， 解得，， 所以另一个交点坐标是， 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的求解，掌握二次函数的有关性质以及元二次方程的求解方法是解题的关键． 3. 二次函数开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据即可判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向上， 故选：A． 4. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【详解】∵， ∴， 故方程没有实数根， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 5. 如图，内接于，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，过点作于点，则，根据已知条件求得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵ ∴, ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 6. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】∵线段AB和线段CD线关于P点对称 ∴P为线段AC中点，也为线段BD中点． 根据中点公式得： ∴ C点坐标： 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 7. 如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是根据菱形四边都相等得到是等边三角形，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选B． 8. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 9. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求，即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，点P为抛物线上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．若点P的横坐标为4时，则Q点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，先求得顶点G的坐标为，，连接、，过点Q作轴于F，过点P作轴于E，证明得到，，进而求得可得答案． 【详解】解：由得顶点G的坐标为， ∵点P的横坐标为4，且P在抛物线上， ∴将代入抛物线解析式得：， ∴， 如图，连接、，过点Q作轴于F，过点P作轴于E， 则，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C 11. 已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：因为关于x的不等式组有解， 可得：， 所以得出a＞5， 因为a取≤9的整数， 可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性， 所以使关于x的不等式组有解的概率为， 故选：C． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 12. 如图，在矩形中，，P是的中点，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点F，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，扇形面积求法以及矩形的性质，熟练掌握这些知识是解题关键． 过点P作于点M，先得出，再得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点P作于点M， 由题意可知，， ， ， ，， 阴影部分的面积． 故选D． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6．若任意掷一次骰子，朝上一面的点数为偶数的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式即可得． 【详解】解：∵任意抛掷一次骰子共有6种等可能结果，其中朝上一面的点数为偶数的只有3种， ∴朝上一面的点数为偶数的概率为 ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P (A) =事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 【答案】相切 【解析】 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 15. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得且，则桥拱（抛物线）的函数表达式为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，根据题意得到、、的坐标，设抛物线解析式为，将的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：拱跨，以的中点为坐标原点， ， 的坐标为，的坐标为， 设抛物线解析式为， ，且， ， 的坐标为， ， 解得， 抛物线解析式为， 故答案为：． 16. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法求解即可． （1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴，． 18. 已知二次函数. （1）写出此抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）该抛物线的开口向上，顶点坐标为 （2）当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的增大而减小时x的值． 【小问1详解】 解：， ∵，开口向上，顶点坐标为； 【小问2详解】 由（1）知：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小. 19. 如图，阳光小区有一块长为60米，宽为20米的矩形空地，为了美化环境，现计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若要修建的两块矩形绿地的面积共为864平方米，求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的宽度为2米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设人行道的宽为x米，根据：矩形绿地面积矩形空地面积人行道面积，依此列出等量关系解方程即可． 【详解】解：设人行道的宽度为x米，由题意， 得， 整理，得， 解得，，， 因为， ， 故． 答：人行通道的宽度为2米． 20. 如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接、． （1）求证：； （2）请判断、、三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）、、三点在以为圆心，以为半径的圆上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角，等腰三角形判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）根据垂径定理求解即可； （2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵为直径，， ∴， ∴； 小问2详解】 解：、、三点在以为圆心，以为半径的圆上，理由如下： 由（1）知：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上． 21. 如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求点O到的距离； （2）求正六边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 22. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为，10:00之后来的游客较少可忽略不计. （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？ 【答案】（1）;(2) 57分钟. 【解析】 【分析】（1）把图像中的点的坐标分别代入对应的解析式，用待定系数法求出即可； （2）把y=684代入可得，解得x=78，当馆内人数减少到624人时，用时分钟，馆外游客最多等待的时间是从第一个到至第二次进馆的时的时间，即30+（90-78）+15=57分钟. 【详解】（1）， （2） ，15+30+（90-78）=57分钟 所以，馆外游客最多等待57分钟 考点：二次函数的应用. 23. 已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结． （1）求证：； （2）联结，当时，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质; （2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形． 【详解】证明：（1）连结， ∵M、N分别是和的中点， ∴OM，ON为弦心距， ∴OM⊥BC，ON⊥AD， ， 在中，， ， 在Rt△OMG和Rt△ONG中， ， ， ∴， ; （2）设OG交MN于E， ， ∴， ∴，即， ， 在△CMN和△ANM中 ， ， ， ∵CN∥OG， ， ， ， ∴AM∥CN， 是平行四边形， ， ∴四边形ACNM是矩形． 【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $