精品解析：北京市第四中学2025-2026学年第二学期开学测试高三数学试题

高三数学 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（ ）（参考数据：） A. 6.403 B. 6.463 C. 6.503 D. 6.523 9. 过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在的展开式中，的系数为______.（用数字作答） 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 13. 如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________． 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________． 15. 对于集合，若存在集合的个两两不同的子集，且满足：，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度．当集合的元素个数为时，有以下四个结论： ①集合的最长“链”的长度为； ②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中； ③当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合； ④集合的最长“链”的总数为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）设，若集合恰有一个元素，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表： 高中部 初中部 男生 女生 男生 女生 清楚 12 8 24 24 不清楚 28 32 38 34 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率. （1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率； （2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率； （3）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于不同的两点. （1）当时，求的面积； （2）设直线分别与直线交于两点，线段的中点分别为，点.当变化时，证明:三点共线. 20. 已知函数，. （1）当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； （2）若没有零点，求的取值范围. 21. 对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. （1）若：，1，，1，1，，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的运算求解. 【详解】，或， ，. 故选：A. 2. 在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数的除法化简求复数，再由共轭复数的定义及对应点坐标确定所在象限. 【详解】由题设， 所以，对应点位于第三象限. 故选：C 3. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质． 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体中的线面关系可说明选项A、B、C错误；利用空间向量可说明选项D正确. 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 5. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， ，， 则. 故选：C 6. 在中，若的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 7. 已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系. 【详解】由，即，即， ，可得，即. 所以不能推出，而可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 8. 某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（ ）（参考数据：） A. 6.403 B. 6.463 C. 6.503 D. 6.523 【答案】B 【解析】 【分析】由，列式运算求得的值. 【详解】根据题意得，则， 得. 故选：B. 9. 过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的面积与的面积相等这一条件，结合圆的切线性质，得出的长度，最后根据点到直线的距离公式求出的范围. 【详解】由，得， 所以. 因为，所以四点共圆，所以， 所以，又，所以，又， 所以=1，因此得， 因为点在直线上，且的最小值为圆心到直线的距离, ，因为，所以，解得，在各选项中只有选项C满足. 故选：C 10. 函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，研究的单调性． 【详解】方程变形为： ， 设，则， 在上递减，在上递增， ∴， ∴的值域是， 若存在，使得， 则，，∴的最大值为8． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数，把问题转化为“存在，使得”，这样利用的值域就可以解决问题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在的展开式中，的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由展开式的通项中令可得. 【详解】通项为， 令， 所以的系数为. 故答案为：. 12. 已知角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点）于、两点，点坐标为，则______；若点在第一象限，且，则______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得出、的值，分析可知，确定角、的关系，结合诱导公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由题意可知，又因为，所以， 所以， 因为角为第四象限角，角为第一象限角，故， 所以. 故答案为：；. 13. 如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________． 【答案】22 【解析】 【分析】在上分别取点，使得，几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，分别求出它们的体积得解. 【详解】如图，在上分别取点，使得，连接， 易知，所以几何体为三棱柱， 所以几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的体积的一半， 所以，， 所以. 故答案为：22. 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则， 因为是的垂直平分线，所以，设， 则，代入抛物线方程可得：，即， 又因为， 所以，解得， 因此抛物线方程为. 故答案为：. 15. 对于集合，若存在集合的个两两不同的子集，且满足：，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度．当集合的元素个数为时，有以下四个结论： ①集合的最长“链”的长度为； ②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中； ③当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合； ④集合的最长“链”的总数为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①，对于集合，先说明一条链最多包含个集合，再举例满足条件的“链”存在，从而得到结论；②举出反例得到结论；③举出反例得到结论；④，集合的最长“链”的长度为，从空集开始，进行分步求解，每次增加一个元素，第一个位置有种选择，第二个位置有种选择，以此类推，直到最后一个位置只有中选择.根据分步计数的乘法原理，得到结论. 【详解】①，设， 对于链，由于各子集两两不同，故其元素个数满足， 因为的子集元素个数最少为0（空集），最多为（全集），所以一条链最多包含个集合， 例如，取，且后续每个子集比前一个子集恰好多一个元素，直到， 可构成一条长度为的链，因此，最长“链”的长度为，①正确； ②，不妨设，，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，②错误； ③，当集合的元素个数为时， 不妨设， ， 上面两个均为长为4的“链”，不具有相同集合，③错误； ④，集合的最长“链”的长度为，从空集开始， 每次增加一个元素，第一个位置有种选择（从个元素中选一个放入第一个非空子集）， 第二个位置有种选择（从剩下的个元素中选一个放入下一个子集），以此类推， 直到最后一个位置只有种选择.根据分步计数的乘法原理， 的最长“链”的总数为，④正确. 故选：①④. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）设，若集合恰有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式化简函数，利用正弦函数的单调性求解单调区间，代入最小正周期公式求解周期即可； （2）由得，，根据集合恰有一个元素列不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意 ， 令，，解得， 所以的单调递增区间为， 的单调递增区间及最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，，解得，， 因为，且恰有一个元素， 当时，，当时，， 所以在内，的解为， 所以，即的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 取的中点，连接、， 因为四边形为平行四边形，所以，， 因为为的中点，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面. （2）选①， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，即可证结论； （2）若选①，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 若选②，推导出四边形为矩形，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选①，因为平面，、平面，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可取为， 因， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 若选②，连接，因为底面，、平面，所以，， 故，， 所以，故，则平行四边形为矩形， 又因为平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 所以，，设面的一个法向量为， 则，令，则， 显然面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表： 高中部 初中部 男生 女生 男生 女生 清楚 12 8 24 24 不清楚 28 32 38 34 假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率. （1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率； （2）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率； （3）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意根据古典概型计算公式可得结果； （2）利用二项分布以及概率的加法公式计算即可得出结果； （3）分别计算出所有取值对应的概率，再利用两点分布即可得出. 【小问1详解】 由题意可知，参与调查的学生由200人， 其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有：人， 设事件A：学生清楚垃圾分类后处理方式， 则. 【小问2详解】 从样本高中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 从样本初中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：， 设事件B：这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式， 则； 【小问3详解】 根据题意可知随机抽取1名男生清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 随机抽取1名女生清楚垃圾分类后处理方式的概率为， 因此可得，， 同理可得，， 由两点分布公式计算可得； 可得. 19. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于不同的两点. （1）当时，求的面积； （2）设直线分别与直线交于两点，线段的中点分别为，点.当变化时，证明:三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，从而可求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可求出的面积； （2）设，，将直线的方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，表示出点的坐标，可求出直线的斜率，再求出点的坐标，从而可求出的坐标，进而可求出直线的斜率，从而可得 【详解】解：（1）当时，由解得的坐标分别为， 则. 又因为左焦点到直线的距离为， 所以的面积为. （2）设，. 由得. 由判别式，解得. 所以，，. 所以点的坐标为. 由题意，，直线的斜率， 直线的方程为，则点的坐标为. 同理点的坐标为. 因为 ， 所以点，所以直线的斜率. 因为， 所以三点共线. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是表示出直线和直线的斜率，通过两直线的斜率相等可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 20. 已知函数，. （1）当时， ①求曲线在处的切线方程； ②求证：在上有唯一极大值点； （2）若没有零点，求的取值范围. 【答案】（1）①； ②令，， 在区间上，，则在区间上是减函数. 又， 所以在上有唯一零点. 列表得： + - 极大值 所以在上有唯一极大值点. （2） 【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程； ②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点； （2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意. 【小问1详解】 若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ②略 【小问2详解】 ， 令，则. ①若，则，在上是增函数. 因为，， 所以恰有一个零点. 令，得. 代入，得， 解得. 所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为. 当时，，在区间上是减函数； 当时，，在区间上是增函数. 所以. 又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 21. 对于数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，，记，，.对于数列：，，…，与：，，…，，定义.若数列：，，…，满足，则称数列为数列. （1）若：，1，，1，1，，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列的个数. 【答案】（1）：1，，1，1，，，； （2）不存在适合题意的数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用变换的定义即可； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【小问1详解】 由：，1，，1，1，， 可得：1，，1，1，，， ，1，1，，，1. ∴； 【小问2详解】 ∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； 【小问3详解】 首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个， 所以数列的个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $