精品解析：江苏连云港市赣榆区2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测八年级数学试题

2025～2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （本卷满分160分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是______________． 10. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 11. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 12. 一次函数的图象与一次函数的图象互相平行，且经过点，则该一次函数的表达式为______． 13. 如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 14. 如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 15. 如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共112分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程： （1）． （2） 18. 如图，点E在边上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）写出点关于x轴对称点的坐标________； （3）在y轴上画出点P，使周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）． 20. 某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取名学生阅读积分（分值为整数）情况进行分析． 【收集数据】名学生的“大阅读”积分（单位：分）；． 【整理数据】 积分/分 星级 红 橙 黄 绿 青 频数 （）填空：______，______； （）如果将其绘制成扇形统计图，请求出橙星级所在扇形圆心角的度数； 【得出结论】 （）该校共有名学生，则全校“大阅读”积分不低于分的学生约有多少名？ 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 22. 如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点．，垂足分别为点． （1）求证：； （2）若，求长（结果保留根号）． 23. 随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 24. 随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．通过研究发现新能源汽车的充电量与充电时间之间满足一次函数关系，小杰观察并记录了几组数据如下表： 充电时间 10 20 30 40 50 60 充电量 30 40 50 60 70 80 （1）按照所给数据，求充电量与时间之间的函数表达式； （2）新能源汽车的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求电量充满所需要的时间． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． （1）求一次函数表达式； （2）若点在轴上，满足，求点的坐标； 26. 如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． （1）当时，试确定直线解析式； （2）在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； （3）如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 27. 若正整数满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 八年级数学试题 （本卷满分160分，共6页，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； B．旭日东升是必然事件，故该选项不符合题意； C．秋去冬来是必然事件，故该选项不符合题意； D．一箭双雕是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题关键是先确定每组线段中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形． 【详解】解：A、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； B、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； C、最长边为，，不能组成直角三角形，不符合题意； D、最长边为，，即，能组成直角三角形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 4. 蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，根据关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对应点为，点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 5. 如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C 6. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意； C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意； D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式组解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据过点，即可求出，根据图象进而即可求解． 【详解】解：∵过点， ∴， 解得， ∴， 由图可得，当时，， 故选A． 8. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 的算术平方根是______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根． 根据算术平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率频数数据总数计算第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为： ， 第5组的频率为：． 11. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位． 【答案】百 【解析】 【分析】将以“万”为单位的近似数还原为原数，根据近似数精确位数的判定规则，看末位有效数字在原数中对应的数位即可． 【详解】解：因为万， 所以近似数“万”精确到百位． 12. 一次函数的图象与一次函数的图象互相平行，且经过点，则该一次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线之间比例系数的关系，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握以上性质． 先利用平行一次函数的比例系数相等确定的值，再将已知点代入函数表达式求出的值，进而得到一次函数表达式． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象互相平行， ∴， 将点代入，得 ， 解得， 则该一次函数的表达式为， 故答案为：． 13. 如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 先求出P点坐标，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得：， 即， ∵函数和的图象交于点P， ∴关于x，y的二元一次方程组即的解是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交于点．若、分别是的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，由等腰三角形的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，以为边作等边，过点作于，连接，可证，得到，可知当有最小值时，有最小值，根据垂线段最短知当轴时，有最小值，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点作于，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 当轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共112分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算与解方程： （1）． （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先求立方根，平方根，乘方运算，然后再进行加减法即可． （2）利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴ 18. 如图，点E在边上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ， 即， 在和中， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 又， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）写出点关于x轴对称点的坐标________； （3）在y轴上画出点P，使周长最小（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据（1）所求可得点的坐标，再根据关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求；由轴对称的性质可得，则，故当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可知点的坐标为， ∴点关于x轴对称点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求． 20. 某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析． 【收集数据】名学生的“大阅读”积分（单位：分）；． 【整理数据】 积分/分 星级 红 橙 黄 绿 青 频数 （）填空：______，______； （）如果将其绘制成扇形统计图，请求出橙星级所在扇形圆心角的度数； 【得出结论】 （）该校共有名学生，则全校“大阅读”积分不低于分的学生约有多少名？ 【答案】 （1） （2） （3）名 【解析】 【分析】本题考查频数分布表与扇形图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． ()由样本数据直接得出答案； ()利用橙星级的频数除以总人数，再即可； ()先算出样本中积分不低于40分的学生占比，再用全校总人数乘以该占比． 【详解】解：()由样本数据得：的有人，的有人， ∴； ()； ()， （名）． 答：则全校“大阅读”积分不低于分的学生约有名． 21. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． （1）经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； （2）若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】（1）正确，见解析； （2）风筝垂直下降的高度为 【解析】 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【小问1详解】 解：他的说法正确． 理由如下： ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． 【小问2详解】 由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 22. 如图，在中，边的垂直平分线交的平分线于点．，垂足分别为点． （1）求证：； （2）若，求的长（结果保留根号）． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质可得，，进而可得，即可求证； （）证明，得，即得，即得到，进而得到，再根据勾股定理解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵边的垂直平分线交的平分线于点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】（1）甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 （2）购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【小问1详解】 解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． 【小问2详解】 设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 24. 随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．通过研究发现新能源汽车的充电量与充电时间之间满足一次函数关系，小杰观察并记录了几组数据如下表： 充电时间 10 20 30 40 50 60 充电量 30 40 50 60 70 80 （1）按照所给数据，求充电量与时间之间函数表达式； （2）新能源汽车的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求电量充满所需要的时间． 【答案】（1） （2）电量充满所需要的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出充电前车上剩余的电量所占的充电时间，再求出时的充电时间，两者相减即可得到充满电量需要多少时间． 【小问1详解】 解：设充电量与时间之间的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得：， 充电量与时间之间函数表达式为． 【小问2详解】 开始充电时，车上剩余电量为， 当时，， 解得． 当时，， 解得． ． 电量充满所需要的时间为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）若点在轴上，满足，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，即可得，即得到，进而由得到，即可求解； 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入正比例函数，得， ∴， ∴， 把和代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， 如图， ∴， 即， 解得， ∴或， ∴点的坐标为或． 26. 如图1所示，直线：（）与轴正半轴、轴负半轴分别交于、两点． （1）当时，试确定直线解析式； （2）在（1）的条件下，如图所示，设为线段延长线上一点，连结，过、两点分别作于，于，若，求的长； （3）如图3所示，当取不同的值时，点在轴负半轴上运动，以点为直角顶点分别作等腰直角和等腰直角，且点在第三象限，点在第四象限，连接交轴于点，试探究的长是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形，勾股定理的应用；应用数形结合思想，灵活运用掌握的几何性质定理是解题的关键； （1）利用一次函数性质求出，再结合题意求得值，即可解答； （2）由（1）知，．可证得，则有，．即可求得，进而根据勾股定理，即可求解； （3）过点E作轴于C，则，同理可证，，则，．进一步证得，则有，由（1）知，则，即可知为定长． 【小问1详解】 解：由题知，．把代入中，得； 把代入中，得． ∴， ∵点B在y轴负半轴上， ∴．即，． ∵， ∴， ∴． 则直线解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴在中，； 【小问3详解】 解：长为定值．理由如下， 如图，过点E作轴于C， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，． 由（2）同理可证，， ∴，． ∵为等腰直角三角形， ∴，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 27. 若正整数满足，求的值． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题主要考查利用代数变形构造因式分解、结合正整数性质求解不定方程的综合能力，先通过给方程两边乘再加，构造出可因式分解的形式，得到；再结合为正整数的条件，确定为大于1的奇数，接着列出的正奇数因数对，分别代入方程组求解，最后计算对应的的值 【详解】解：， 两边乘以，得 两边加，得 左边因式分解，得 ∵为正整数， ∴为大于1的奇数，且， ∵的正奇数因数对(无序)为 ∴或或 解得或或， ∴或或， 故的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $