1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

1.6.3 探索A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.了解A对y=Asin(ωx＋φ)的图象的影响，掌握由y＝sin x出发，利用图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的方法和步骤，体现逻辑推理能力（重点） 2.掌握探究y=Asin(ωx＋φ)性质的方法和步骤，体现数学抽象能力（难点） 课程引入 想象一下你站在海边，观察海浪的起伏.海浪的高度有时高耸如峰，有时低平如谷，这种上下波动的“高度”变化，在数学中我们称之为‌振幅‌.今天，我们将通过一个有趣的实验，揭开参数 A 如何影响正弦函数图象的振幅，就像调整海浪的“力量”一样！ 新课学习 练一练：研究函数y=2sin(2x+ )的周期，并画出它的图象. 函数y=2sin(2x+ )与函数y=sin(2x+ )有相同的周期，即它的周期为π. 函数y=2sin(2x+ )图象上的纵坐标等于函数y=sin(2x+ )图象上点的纵坐标的2倍. 所以，函数y=2sin(2x+ )的图象可以看作是将函数y=sin(2x+ )图象上所有点的纵坐标伸长原来的2倍（横坐标不变）得到的.如图. 新课学习 振幅的概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每一个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的. A决定了函数 y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 新课学习 思考交流：函数y=2sin(2x+ )+1与函数y=sin(2x+ )的图象有什么不同？ y=sin(2x+ ) 纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 y=2sin(2x+ ) 新课学习 思考交流：函数y=2sin(2x+ )+1与函数y=sin(2x+ )的图象有什么不同？ y=2sin(2x+ ) 纵坐标向上平移一个单位 横坐标不变 y=2sin(2x+ )+1 y=2sin(2x+ )+1 y=2sin(2x+ ) 新课学习 思考一下：函数y=sin x如何变成 y=Asin(ωx＋φ)？ y=sin x 向左>0 (向右<0)平移||个单位 y=sin(x＋φ) y=sin(x+φ) 纵坐标不变 横坐标变为原来的 倍 y=sin(ωx＋φ) y=sin(ωx＋φ) 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 y=Asin(ωx＋φ) 先平移后伸缩 新课学习 思考一下：函数y=sin x如何变成 y=Asin(ωx＋φ)？ y=sin x 纵坐标不变 横坐标变为原来的 倍 y=sin x y=sin x 向左>0 (向右<0) 平移 个单位 y=sin(ωx＋φ) y=sin(ωx＋φ) 纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 y=Asin(ωx＋φ) 先伸缩后平移 新课学习 探究函数y=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)性质的一般方法和步骤： 第1步，确定周期T= ； 第2步，在y=sin x五个关键点(0,0),( ,1),( ,-1),(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y=Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质. 新课学习 函数y=Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质： 1.定义域：x∈R； 2.值域：[-|A|，A]; 3.周期：周期函数，最小正周期T= ; 4.奇偶性：当φ=kπ，k∈Z，是奇函数；当φ=kπ+ ，k∈Z，是偶函数； 5.单调性：将ωx+φ看成一个整体，2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ ，为函数的增区间；2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ ，为函数的减区间. 新课学习 函数y=Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质： 1.定义域：x∈R； 2.值域：[-|A|，A]; 3.周期：周期函数，最小正周期T= ; 4.奇偶性：当φ=kπ，k∈Z，是偶函数；当φ=kπ+ ，k∈Z，是奇函数； 5.单调性：将ωx+φ看成一个整体，2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ，为函数的增区间；2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π，为函数的减区间. 新课学习 例2：画出函数y=cos x的图象，并讨论其基本性质. 方法1： 直接运用y=Asin(ωx+φ)的结果.先变形， 再用一般方法来研究. 方法2： 使用类似y=Asin(ωx+φ)的研究方法. (1)周期：因为y=cos x的周期是2π，所以cos x=cos( x+2π)=cos (x+4π)， 该函数的周期为4π. (2)图象：刻画函数y=cos x在区间[0,2π]上的图象基本形状的五个关键点为 新课学习 例2：画出函数y=cos x的图象，并讨论其基本性质. 方法2： 由此刻画函数y=cos x在区间[0，4π]上的图象基本形状的五个关键点为 (0，1)，(π，0)，(2π，-1)，(3π，0)，(4π，1) 用光滑的曲线顺次连接五个关键点画出函数y=cos x在区间[0，4π]上的图象，由它的周期性，把图象向左、右延拓得到在R上的图象(如图). 新课学习 例2：画出函数y=cos x的图象，并讨论其基本性质. 方法2： (3)其他性质：设u= x，则函数y=cos u的单调递增区间是[2kπ-π，2kπ]，k∈Z.由2kπ-π≤ x≤2kπ，k∈Z，得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z.所以函数y= cos x的单调递增区间是[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z. 类似地，函数y=cos x的单调减区间是[4kπ，4kπ＋2π]，k∈Z. 函数y=cos u，u∈R取得最大值u的集合是{u|u=2kπ，k∈Z}. 由 x=2kπ，得x=4kπ，k∈Z，所以当x∈{x|x=4kπ，k∈Z}，函数y=cos x，x∈R取得最大值1. 新课学习 例2：画出函数y=cos x的图象，并讨论其基本性质. 方法2： (3)其他性质：类似地，当x∈{x|x=4kπ+2π，k∈Z}，函数y=cos x，x∈R取得最小值1. 函数y=cos x，x∈R的值域为[-1，1]. 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 ④②或②⑥ 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.振幅的性质 2.函数y=Asin(ωx＋φ)与函数y=Acos(ωx＋φ)的性质 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $