第1章 6.3 探究A对y＝A sin (ωx＋ φ)的图象的影响（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数核心知识，涵盖振幅、周期、实数集与区间等概念，通过课前预习搭建基础，课堂互动深化理解，课时作业巩固应用，形成连贯的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合三角函数图像元素，以结构化设计培养数学眼光，通过图像观察发展几何直观，借助周期等逻辑关系训练数学思维，用符号语言表达概念，助力学生系统掌握知识，教师可高效开展分层教学，提升教学效果。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 纵 A 横坐标 振幅 第一章　三角函数 必修第二册 数学 五个 第一章　三角函数 必修第二册 数学 周期 周期性 第一章　三角函数 必修第二册 数学 R [－A，A] kπ，k∈Z 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（十） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 6.3　探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 学习目标 素养要求 1．了解A对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响． 2．掌握探究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的方法和步骤． 3．会用函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质解决有关问题． 1．在图象间的变换过程中，提升直观想象的核心素养． 2．通过y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　探究A的取值对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 [问题]　 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝4sin x与y＝ eq \f(1,2) sin x的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝A sin (ωx＋φ)的图象与y＝sin (ωx＋φ)的图象之间有什么关系？ 答：y＝A sin (ωx＋φ)的图象可以由y＝sin (ωx＋φ)的图象所有点的纵坐标伸缩(横坐标不变)得到． ►知识填空 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的______坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的______倍(__________不变)得到的．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为________． y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \o(————————————→,\s\up17(纵坐标变为原来的m倍),\s\do15(横坐标不变)) y＝mf(x)＝mA sin (ωx＋φ). 知识点二　探究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 ►知识填空 1．探究y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝______； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) ，(π，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) ，(2π，0)的基础上确定该函数的________关键点； eq \f(2π,ω) 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝A sin (ωx＋φ)在一个________上的图象，再利用其__________把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 定义域 ______ 值域 ______________ 周期性 T＝______ 奇偶性 φ＝____________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数 eq \f(2π,|ω|) eq \f(π,2) ＋kπ,k∈Z 单调性 单调增区间可由_____________________________________得到， 单调减区间可由_____________________________________得到 对称性 对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,ω) ＋ eq \f(π,2ω) － eq \f(φ,ω) ，k∈Z. 对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0)) ，k∈Z 2kπ－ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z 2kπ＋ eq \f(π,2) ≤ωx＋φ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，k∈Z [自主检验] 1．函数y＝ eq \f(1,3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6))) 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π， eq \f(1,3) ， eq \f(π,6) 　　　　 B．6π， eq \f(1,3) ， eq \f(π,6) C．3π，3，－ eq \f(π,6) D．6π，3， eq \f(π,6) 答案：B 2．函数f(x)＝ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) 的图象的一条对称轴是(　　) A．x＝－ eq \f(π,2) B．x＝ eq \f(π,2) C．x＝－ eq \f(π,6) D．x＝ eq \f(π,6) 答案：C 3．若函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ)) 是偶函数，则φ的值可以是(　　) A． eq \f(5π,6) B． eq \f(π,2) C． eq \f(π,3) D．－ eq \f(π,2) 解析：选A　由题意得，－ eq \f(π,3) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，φ＝ eq \f(5π,6) ＋kπ，k∈Z. 4．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝ eq \f(π,3) 对称；(3)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))) 上单调递增”的一个函数是(　　) A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 解析：选C　由(1)知T＝π＝ eq \f(2π,ω) ，ω＝2，排除A． 由(2)(3)知x＝ eq \f(π,3) 时，f(x)取最大值， 验证知只有C符合要求． 题型一　由图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例1]　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))) 的部分图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 解：法一：逐一定参法 由图象知振幅A＝3，又T＝ eq \f(5π,6) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝π，∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝2. 由点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) 可知，－ eq \f(π,6) ×2＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z. 又|φ|< eq \f(π,2) ，得φ＝ eq \f(π,3) ，∴y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 法二：待定系数法 由图象知A＝3，又图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0)) ，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)， 有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，,\f(5π,6)·ω＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，,|φ|<\f(π,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3)．)) ∴y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . 法三：图象变换法 由T＝π，点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)) ，A＝3可知， 图象是由y＝3sin 2x向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度而得到的， ∴y＝3sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))) ， 即y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) . [反思感悟] 给出y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象确定A，ω，φ的方法． (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数． 已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________． 解析：由题意得 eq \f(T,2) ＝2π－ eq \f(3,4) π，所以T＝ eq \f(5,2) π，ω＝ eq \f(4,5) . 又由x＝ eq \f(3,4) π时，y＝－1，得－1＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)π＋φ)) ， 又－ eq \f(2,5) π< eq \f(3,5) π＋φ≤ eq \f(8,5) π，所以 eq \f(3,5) π＋φ＝ eq \f(3,2) π，所以φ＝ eq \f(9,10) π. 答案： eq \f(9,10) π 题型二　三角函数的对称性、奇偶性 [例2]　(1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,6) ，k∈Z B．x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z C．x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,12) ，k∈Z D．x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,12) ，k∈Z (2)f(x)＝sin (2x＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2))) 的图象向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上的最小值为(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) 　　　　　　　 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：(1)函数y＝2sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12))))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ，令2x＋ eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z，所以所求图象的对称轴为x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z.故选B. (2)函数f(x)＝sin (2x＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2))) 的图象向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为f(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ)) .由所得图象关于原点对称，可得f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ)) 为奇函数，故 eq \f(π,3) ＋φ＝kπ，k∈Z.所以φ＝－ eq \f(π,3) ，可得函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) .又因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以2x∈[0，π]，所以2x－ eq \f(π,3) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) .故当2x－ eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,3) 时，函数有最小值，最小值为－ eq \f(\r(3),2) .故选A． 答案：(1)B　(2)A [反思感悟] (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z求得，对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z求得． (2)函数f(x) ＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数⇔φ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z. 关于函数f(x) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(3π,4))) ，以下说法：①其最小正周期为 eq \f(2π,3) ；②图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0)) 对称；③直线x＝－ eq \f(π,4) 是其一条对称轴．其中正确的序号是__________． 答案：①②③ 题型三　三角函数性质的综合应用 [例3]　已知曲线y＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2))) 上最高点为(2， eq \r(2) )，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0). (1)求函数的解析式； (2)求函数在x∈[－6，0]上的值域． 解：(1)由题意可知A＝ eq \r(2) ， eq \f(T,4) ＝6－2＝4， ∴T＝16，即 eq \f(2π,ω) ＝16，∴ω＝ eq \f(π,8) ， ∴y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ)) . 又图象过最高点(2， eq \r(2) )， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×2＋φ)) ＝1， 故 eq \f(π,4) ＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，φ＝ eq \f(π,4) ＋2kπ，k∈Z， 由|φ|≤ eq \f(π,2) ，得φ＝ eq \f(π,4) ， ∴y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))) . (2)∵－6≤x≤0，∴－ eq \f(π,2) ≤ eq \f(π,8) x＋ eq \f(π,4) ≤ eq \f(π,4) ， ∴－ eq \r(2) ≤ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))) ≤1. 即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－ eq \r(2) ，1]. [反思感悟] 函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 (1)应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查． (2)解决方法：有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的问题，充分利用正弦曲线的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用． 已知函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ＋a＋1(其中a为常数)， (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合． 解：(1)由－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z， 解得－ eq \f(π,3) ＋kπ≤x≤ eq \f(π,6) ＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ)) ，k∈Z. 由 eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(3π,2) ＋2kπ，k∈Z， 解得 eq \f(π,6) ＋kπ≤x≤ eq \f(2π,3) ＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ)) ，k∈Z. (2)∵0≤x≤ eq \f(π,2) ，∴0≤2x≤π.∴ eq \f(π,6) ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(7π,6) ， ∴－ eq \f(1,2) ≤sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1. (3)当f(x)取最大值时，2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z. ∴2x＝ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z，∴x＝ eq \f(π,6) ＋kπ，k∈Z， 当f(x)取最大值时， x的取值集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))) . [课堂小结] 1．由函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤： 2．在研究y＝A sin (ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z时取得最大值，在ωx＋φ＝ eq \f(3π,2) ＋2kπ，k∈Z时取得最小值等．讨论函数的单调性时，注意ω的正负，否则容易出错． $