第4章 第21节 全等三角形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学减负作业本（广西专用）

第21节 目y基础夯实练 1.如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°，∠B= 40°，则∠D的度数为 ( A.40° B.60° C.80° D.100° D 第1题图 第2题图 2.（2025山西)如图，小谊将两根长度不等 的木条AC,BD的中点连在一起，记中点 为0，即A0=C0,B0=D0.测得C,D两点 之间的距离后，利用全等三角形的性质， 可得花瓶内壁上A,B两点之间的距离.图 中△AOB与△COD全等的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 3.（2024桂林一模)如图，把长短确定的两 根木棍AB,AC的一端固定在A处，和第 三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC 绕A转动，得到△ABD,这个实验说明 A.有两边和其中一边的对角分别相等的 两个三角形不一定全等 B.有两角分别相等且其中等角的对边相 等的两个三角形不一定全等 C.两边和它们的夹角分别相等的两个三 角形全等 D.有两边和其中一边的对角分别相等的 两个三角形一定不全等 40 全等三角形 4.(2025梧州一模)如图，在△ACD和△EAB 中，∠C=∠EAB=90°，点B在AD上.若 △ACD≌△EAB,AC=5,CD=12,则BE= A.8 B.10 C.13 D.15 D 第4题图 第5题图 5.【一线三等角模型】如图，小李用若干长方 体小木块分别垒了两堵与地面垂直的木 块墙，其中木块墙AD=24cm,CE=12cm. 木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角 三角板，点B在DE上，点A和点C分别 与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间 的距离DE为 () A.48cm B.42 cm C.38 cm D.36 cm 6.如图，已知AB=AD,要使△ABC≌△ADE, 可以添加的一个条件是 .（只填 一种情况即可) 7.【轴对称模型】(2025自贡)如图，∠ABE= ∠BAF,CE=CF.求证：AE=BF. 8.【中心对称模型】(2025内江)如图，点B, F,C,E在同一条直线上，AC=DF,∠A ∠D,ABDE. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若BF=4,FC=3,求BE的长 目y综合提升练 9.(2025威海)我们把两组邻边分别相等的 四边形称之为“筝形”.在四边形ABCD 中，对角线AC,BD交于点O.下列条件 中，不能判断四边形ABCD是筝形的是 () A.BO=D0,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC.BO=DO 0.【旋转（手拉手）模型】如图，在等边三角 形ABC中，AB=7,D为边BC上一点， BD=2,连接AD,将AD绕点D顺时针旋 转60°得到ED,ED交AC于点F,连接 服，C则器的位为 () A.3 Rcn 2 1.【旋转（手拉手）模型】(2025河北)如图， 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED 上，∠BAF=∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD; (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD. E 4114.解：(1)：抛物线y=x2-4mx+2m+1经过点(4,3)， .y1+y2=x+2ax1-3a+(3-x1)2+2a(3-x1)-3=2x-6x,+ .16-16m+2m+1=3,解得m=1, 3 .∴.抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 92号 此抛物线的顶点坐标为(2，-1) 9 (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, y+y22 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m 第17节二次函数的综合应用 .距离对称轴越远，y的值越大， 1.D2.C .·当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， 3.解：(1)由题可知抛物线的顶点为(8,5)， ∴.当x=2m-3时，y=4, 设水流运行轨迹的函数解析式为y=a(x-8)2+5, (2m-3-2m)2-4m2+2m+1=4, 1 将点(0.1)代人可得a= 16 解得似=或a=-1, :水流运行轨迹的函数解析式为)y=- 16(-8)2+5. 放m的值为子或1 (2)不能，理由如下： (3):抛物线y=x2-4mx+2m+1与线段0A(不含端点)恰 当x=12时，=16×(12-8)+5=4>3.5， 有一个交点， (2m+1>0, 或/2m+1<0, 水流不能喷射到这棵果树. (1-4m+2m+1<0(1-4m+2m+1>0, 4.解：(1)设剪掉的小正方形的边长为xcm,则折成的无盖纸 盒的底面是边长为(40-2x)cm的正方形， :m>1或m<2 1 .(40-2x)2=484, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 x1=9,x2=31(不符合题意，舍去). 1.A2.C【变式】(4，-3)3.D4.D 答：需要剪掉的小正方形的边长为9cm 5.y=-x2+x+2(答案不唯一）【变式1】y=-x2-2x+3 (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方 【变式2】y=x2-3x-1(答案不唯一) 形的边长为acm,折成的无盖纸盒的侧面积为Scm’, ∴.S=4(40-2a)a=-8a2+160a=-8(a-10)2+800. 【支式31= 2*1 .-8<0,.当a=10时，S取得最大值，最大值为800 6.y=-(x+3)2+17.y=x2-4x+38.16 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm', 此时剪掉的小正方形的边长为10cm 9解：(1)设二次函数的解析武为)=(+2)+， 5.C 把4(-2.5)代人得(-2宁产4=5，解得= 6.D【解析】在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD= √AE+DE=√5+12=13.AE=EF=FB=5cm,.AB=15 (*号 cm.∴AB>AD,点P先到点D,当0≤t<13时，过点P作 (2)点B平移后的坐标为(1-m,9), PmL于点则票器吗吕m AP AD' 3,. 则9=(1-m)2+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去)， ∴.m的值为4. x号官圆象为跑物线且开口向上， 10.y=-2x2-4x+16 ∴选项A,C不符合题意；当18<t<31时，点P在边BC上 11.(1)解：①·函数图象经过点(2,5)， .4+4a-3a=5,.a=1, 且点0在点8处5w=宁×15×号31-=0· .该二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 2790 ②油题意，得将点A向左平移5个单位长度后的坐标为 图象为一次函数图象，只有D选项符合题意 (m-5,n),点A向右平移4个单位长度后的坐标为(m+ 7.B 4,n) 8解：1)AB=x,BC-602=30-x, ·对称轴是直线x=-1, 2 (m-5)+(m+4) =-1,m=-29 1 20c.Bc=2(30-0=2415= 2(x-15)2+ 2 (2)证明：x1+x2=3,.x=3-x1 225 2 :M(x1,y1）,N(3-x1,y2)是二次函数y=x2+2ax-3a图象 上两点， 了0当：=15时y取限大值最大值为受 x1≠3-x1心1卡2 (2)①由题可知CF=t,AB=6,BC=4,AE=2CF. ∴.AE=2t,∴.BE=6-2t,BF=4-t. .·CE⊥BC,∴.∠BCE=90°， CG=2,.DG=4, ·∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° 六S△e=SE影C0-S号元D-SaBe-SaeG=6X4-】X4(2+4) (2)证明：由平移可知CD∥EF, ∴.∠EAC=∠DCA=30°. T)(6-2五)(4-)-号×26=-F+2+4(0≤t≤3乃 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°. ∴.∠EAC=∠ECA,∴.AE=CE,∠AEC=120° ②S=-t2+2t+4=-(t-1)2+5. 又.AB=CB,∴.BE垂直平分AC, -1<0.且0≤t≤3， :.当t=1时，S取最大值且最大值为5. ∠GEC= 2∠AEC=609 (3)在(2)的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的 由(1)知∠GCE=60°，.∠EGC=60°， 位置时，△EFG的最大面积为5，CF=1. ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC=60°， 11 Sh形EwG=S△Erc+S△om=2, ·△CEG是等边三角形. 第21节全等三角形 11 1 .Sar=2-5==2 GH CF=2GH=2. 1.B2.B3.A4.C5.D6.AC=AE(答案不唯一) .∴.GH=1. 7.证明：∠ABE=∠BAF,.CB=CA. .·CE=CF,.CB+CE=CA+CF,即BE=AF 第四章三角形 在△ABE和△BAF中， 第18节线段、角、相交线与平行线 (BE=AF. 1.B2.B3.C4.C5.C6.C ∠ABE=∠BAF, 7.垂线段最短8.-3（答案不唯一）；1（答案不唯一） AB=BA. 9.410.7 △ABE≌△BAF(SAS),∴AE=BF 第19节三角形及其基本性质 8.(1)证明：ABDE,.∠B=∠E, 1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.4:3 在△ABC和△DEF中， 8.109.A10.6 I∠B=∠E, 11.解：(1)DEBC,理由如下： ∠A=∠D .∠A=∠FEC,∴.EF∥AB,∴.∠ADE=∠DEF AC=DF, ∠DEF=∠B,∴∠ADE=∠B,DE∥BC. ∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2).DE平分∠ADC,∠ADE=∠B. (2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF.BC=EF, ∴∠EDC=LAE=∠B=3∠ADC .BF+CF=EC+CF,..BF=EC. .BF=4,FC=3,∴.EC=4, .∠BDC+∠EDC+∠ADE=180°，∠BDC=3∠B, .BE=BF+FC+EC=11. ∴.5∠B=180°，解得∠B=36°， 9.D ∴.∠ADC=2∠B=72°. 10.B【解析】如解图，过点F作FH .EF∥AB,∴.∠EFC=∠ADC=72 ⊥BC于点H,FW⊥CE于点N.: 12.B △ABC是等边三角形，.AC=BC 【解析】BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DFI =AB=7,∠ABC=∠ACB=∠BAC =60°.：将AD绕点D顺时针旋 1 BC DF=DE=3,S =2AB DE=9,SA= B HC 转60°得到ED,.AD=DE, 子C·nF=12Sk=S+5o=21AG是△MC ∠ADE=60°，.△ADE是等边三角形，∴.AD=DE=AE, ∠DAE=∠ADE=60°=∠BAC,∴.∠BAD=∠CAE,.∴.△ABD 的孩线ac·4G=2G=25誉- ≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=60°.：BD= BC 4 2,∴.CD=5,CE=2.:∠ACE=60°=∠ACB,FH⊥BC,FN 14.115.24 1 第20节等腰三角形和直角三角形 EF DF CD ⊥CE,.FN=FH. Saer2CE·Fw 1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.40°或100° SACPD 2CD·Fm 1 DF EFCE 8.229.1310.611.C12.6或1213.C14.B 15.(1)解：：△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60° 2 ~D是AB的中点∠DCB=∠DC1=号∠ACB=30 11.证明：(1)∠ACB=∠ADB,点F在ED ∴.∠ACB=∠ADF. .∠BAF=∠EAD,.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF. ∠BAC=∠FAD. 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×2=5, I∠BAC=∠FAD. .∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, 在△ABC和△AFD中，AC=AD, ∴.EC=ED+DC=x+5. I∠ACB=∠ADF, 在R△BCE中，EC=BE x4 ,△ABC≌△AFD(ASA) -tanC-tan3790.753* 4 (2)由(1)得△ABC≌△AFD,.AB=AF, 3=+5,解得x=15, .BE=FE,∴.AC⊥BF,即AC⊥BD. 第22节相似三角形（含位似） ∴.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里. (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15, 1.D2.B3.A4.B5.D6.A .AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75. 7.∠ADE=∠C(答案不唯一）8.49.W5-110.8 .AD=AE+DE≈3.75+15=18.75， 11.(-8,4)或(8，-4) 18.75÷10=1.875(时)， 12(I)证明：rAB·AD=AC·AB,45-1g 从15：00经过1.875小时是16：52：30，在17：30之前， AC AD ·.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 又.·∠BAD=∠CAE, 第五章四边形 ·∠BAD+∠BAE=LCAE+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△AED,∴∠E=∠B. 第24节多边形与平行四边形 (2)解：S△m:S△Bc=9:16, 1.C2.D3.C4.B5.C6.B7.A8.D .DE93 9.2(答案不唯一)10.911.132 六BC√164BC=3DE=8. 12.（1)证明：.AF=CD, 13.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，.∠BAD=∠EAD. .∴.AF+CF=CD+CF,即AC=DF A=E服0-8 在△ABC和△DEF中， (AB=DE. △ABD∽△ADE. BC=EF, (2)解：.：△ABD∽△ADE,∴.∠ADB=∠AED AC=DF, :·∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE= ∴.△ABC≌△DEF(SSS),∴.∠ACB=∠DFE 180°， (2)解：四边形BFEC是平行四边形. ∴.∠CDE=∠DAE. 13.证明：(1)AB=BF,BE⊥AF,∴.AE=EF 又·∠DCE=∠ACD,.△DCE∽△ACD. (2).'AD∥BF,∴.∠ADE=∠FCE. 小告器台4想c 7 在△ADE和△FCE中， 4 ∠ADE=LFCE, 4 ∠AED=∠FEC. 14.D15.C16.D AE=FE. 第23节锐角三角函数及其应用 .△ADE≌△FCE(AAS),.AD=CF 1.B2.D3.164.153m .·AD∥BF,.四边形ACFD是平行四边形 5.12056.4.337.5tana+58.2 14.B15.D16.C 9.解：由题意，得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，CD=60 第25节矩形 米 1.D2.B【变式】(2+2W5)cm3.D4.C5.C 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈120米. 6.25 在△6C中，48=S=120g-207.6米 7.(1)证明：点0，D分别是边AB,BC的中点， .OD是△ABC的中位线，.OD∥AC 答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米. ·AE∥BC,∴.四边形AEDC是平行四边形， 10. 20 ∴.AE=CD. 11.解：(1)如解图，过点B作BE⊥AC于点E,设BE=x 点D是边BC的中点， 北 .BD=CD,∴AE=BD, →东 .四边形AEBD是平行四边形 (2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： :AB=AC,点D是BC边上的中点， .AD⊥BC,.∠ADB=90 由(1)可知，四边形AEBD是平行四边形， ∴.∠AOB=90°，∴.AC⊥BD 四边形AEBD是矩形. .口ABCD是菱形. 8.(1)证明：0是AC的中点，.0A=0C. 9.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=BC. .OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形 .·AE=CF,∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF ∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. 在△ABF和△CBE中」 (2)解：由题意得l2-l1=BC-AB=b-a=2, (AB=CB, L3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,.a+b=14, ∠B=∠B ga4=6应=8 a=6, BF=BE. .△ABF≌△CBE(SAS),AF=CE. .AC=√AB+BC=10. 10.(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC, 94051子2号 ∴.BE垂直平分AC,∴.AB=BC. .□ABCD是菱形 13.3或9【解析】作点C关于直线EF的对称点P,如解图 (2)解：BE=EF,∴.∠EBF=∠EFB 1,连接PC交直线EF于点G,连接并延长PE交AC于点 .·CF=CE,∴.∠CEF=∠CFE H,当点P在AC上方时.·在矩形ABCD中，AD=6,∠D ·.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF. 90°，∠CAD=60°，.∠ACD=30°，AC=2AD=12,CD= ∠BEC=90°，.∠CBE=30°，∠BCA=60°， VAC-0=6.点E是边cCD的中点CB=CD ∴.∠ACB=∠ACD=60°， ∴.∠DCF=60°，.∴.∠BCE=∠DCF =35.:点C关于直线EF的对称点为点P,PE=CE= 由(1)得BC=CD. 3v3,∠EGC=∠EGP=90°..·PH⊥AC.∴∠EIHC=∠EHF= CE=CF,.△BCE≌△DCF(SAS), 90°，∴.∠CEH=∠CAD=60°，∴.∠PEC=120°.PE=CE, ∴.∠DFC=∠BEC=90°. ∠CPE=LPcE=2(180P-∠PEC)=30.∠PEG=LFEH. CF=CE=4,DF=√3CF=45 LEGP=∠EIF=90°，∴.∠CPE=∠EFC=30°，∴.△CEF是 DFCF-4x5 等腰三角形，CI=FH=子CR在Ri△CRM中，CR=35, 1L.B12.A13. ∠HCE=30°，.CH=CE·cos∠IHCE= 2CF=2CH=9: 1433 2 【解析】如解图，设EF与BD 如解图2，当点P在AC下方时，PE⊥AC,.∠CHE= 交于点M,GH与BD交于点N,菱 90°..：∠ACD=30°，∴.∠CEP=60°，CH=CE·cos∠ACD= 形ABCD的边长为2，∴AB=BC=2, 9 2·PE=CE△CEP是等边三角形∠P=60,CE= :∠ABC=60°，∴AC=AB=2,BD=25.由折叠的性质知， △BEF是等边三角形，AE=x∴.BE=AB-AE=2-x,.EF= PC=PE=33,∴.∠HEF=30°，EH=PH=- Pg-35 2 , E=2-x∠BBM=7<Ac=30,Bw=r-2 2 3 =EH·tan∠PEF= CF=CH-HF=3.综上，CF的长 为3或9 N-9a-a-2p-0 m-25-52-=5DN=p-:∠6mN- 号∠A0c-7∠Ac=30,N=0Nbm0=子 GH=2GN=,S头边4形ERc=S经1CD-Sar-SADGH=2X2X 解图1 解图2 4 2(x-1)+35. 0 21 第26节菱形 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一）4.45.5 当x=1时，六边形AEFCHG的面积最大，为33 6.17.12 第27节正方形（含中点四边形） 8.证明：.AB=5,0A=4,0B=3, 1.D2.B3.B4B5.C6.2(答案不唯一) ∴.AB=25=0A+0B, 7.45