第3章 第17节 二次函数的综合应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学减负作业本（广西专用）

第17节二次函数的综合应用 类型1二次函数的实际应用 1.(2025南宁四十七中模拟)某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种 植茶树的利润y,(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如图1所示；种植果树的利润 y2(万元)与投资量x(万元)成二次函数关系，如图2所示.如果这位专业户投入种植茶树 及果树资金共10万元，那么他能获取的最大总利润是 () y P(1.2 0(2.2 12 012x 图1 图2 A.20万元 B.32万元 C.48万元 D.50万元 2.(2025广西模拟)用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽 可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图所示）， 最佳方案是 () 方案1 方案2 方案3 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.都一样 3.(2025柳州模拟)如图1，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物 线.图2是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点0处，喷水头 的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距 离为8米时，达到最大高度5米 (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否能喷射到这棵果树？请 通过计算说明 8 图1 图2 32 4.(2025南宁外国语学校二模)九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组 研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实验活动.请你尝试帮助他们解 决相关问题 利用一边长为40cm的正方形纸板可以 素材1 设计成如图所示的无盖纸盒 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉 素材2 一个同样大小的小正方形，将剩余部分 折成一个无盖纸盒 (1)初步探究，制作一个底面积为484cm2的无盖纸盒，需要剪掉的小正方形边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪掉的小正方 形的边长：如果没有，请说明理由. 类型2二次函数与几何综合应用 5.(2021玉林)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/s 的速度逆时针运动一周，图2是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(s)变化 的关系图象，则图2中P点的坐标是 () A.(13,4.5) B.(13,4.8) C.(13,5) D.(13,5.5) D y/cm P B 81318x/s 图1 图2 AE→QF B 第5题图 第6题图 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E,F,且AE=EF=FB= 5cm,DE=12cm.动点P,Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD-DC -CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t(s),△APQ的面积为 y(cm2),则y与t对应关系的图象大致是 () ↑ylcm y/cm ↑y/cm ↑y/cm 90 90 78 78 78 0131831t/s 0131831t/s 013151831t/s 013151831t/s A B C D 33 7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点 F重合，点B,D(F),H在同一条直线上，将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重 合时停止，设点D,F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y, 则能大致反映y与x之间函数关系的图象是 () 022232 022232元 022232式 022232克 1 B C 0 8.(2025南宁十四中三模)综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动， 【观察发现】 (1)如图1，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD,E是AB边上的 动点，连接CE,DE,设AB=x米，△ECD的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式和 y的最大值 【探究迁移】 (2)工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮ABCD上分割出△EFG,用来填充不同材质的产 品，已知AB=6,BC=4,点E,F,G分别在边AB,BC,CD上，且AE=2CF,CG=2,设CF=t, △EFG的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； ②求S的最大值， (3)如图3，在(2)的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的位置，H是CG上一点，连 11 接FH.当四边形EFHG的面积为二时，求GH的长 图1 图2 图3 3414.解：(1)：抛物线y=x2-4mx+2m+1经过点(4,3)， .y1+y2=x+2ax1-3a+(3-x1)2+2a(3-x1)-3=2x-6x,+ .16-16m+2m+1=3,解得m=1, 3 .∴.抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 92号 此抛物线的顶点坐标为(2，-1) 9 (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, y+y22 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m 第17节二次函数的综合应用 .距离对称轴越远，y的值越大， 1.D2.C .·当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， 3.解：(1)由题可知抛物线的顶点为(8,5)， ∴.当x=2m-3时，y=4, 设水流运行轨迹的函数解析式为y=a(x-8)2+5, (2m-3-2m)2-4m2+2m+1=4, 1 将点(0.1)代人可得a= 16 解得似=或a=-1, :水流运行轨迹的函数解析式为)y=- 16(-8)2+5. 放m的值为子或1 (2)不能，理由如下： (3):抛物线y=x2-4mx+2m+1与线段0A(不含端点)恰 当x=12时，=16×(12-8)+5=4>3.5， 有一个交点， (2m+1>0, 或/2m+1<0, 水流不能喷射到这棵果树. (1-4m+2m+1<0(1-4m+2m+1>0, 4.解：(1)设剪掉的小正方形的边长为xcm,则折成的无盖纸 盒的底面是边长为(40-2x)cm的正方形， :m>1或m<2 1 .(40-2x)2=484, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 x1=9,x2=31(不符合题意，舍去). 1.A2.C【变式】(4，-3)3.D4.D 答：需要剪掉的小正方形的边长为9cm 5.y=-x2+x+2(答案不唯一）【变式1】y=-x2-2x+3 (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方 【变式2】y=x2-3x-1(答案不唯一) 形的边长为acm,折成的无盖纸盒的侧面积为Scm’, ∴.S=4(40-2a)a=-8a2+160a=-8(a-10)2+800. 【支式31= 2*1 .-8<0,.当a=10时，S取得最大值，最大值为800 6.y=-(x+3)2+17.y=x2-4x+38.16 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm', 此时剪掉的小正方形的边长为10cm 9解：(1)设二次函数的解析武为)=(+2)+， 5.C 把4(-2.5)代人得(-2宁产4=5，解得= 6.D【解析】在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD= √AE+DE=√5+12=13.AE=EF=FB=5cm,.AB=15 (*号 cm.∴AB>AD,点P先到点D,当0≤t<13时，过点P作 (2)点B平移后的坐标为(1-m,9), PmL于点则票器吗吕m AP AD' 3,. 则9=(1-m)2+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去)， ∴.m的值为4. x号官圆象为跑物线且开口向上， 10.y=-2x2-4x+16 ∴选项A,C不符合题意；当18<t<31时，点P在边BC上 11.(1)解：①·函数图象经过点(2,5)， .4+4a-3a=5,.a=1, 且点0在点8处5w=宁×15×号31-=0· .该二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 2790 ②油题意，得将点A向左平移5个单位长度后的坐标为 图象为一次函数图象，只有D选项符合题意 (m-5,n),点A向右平移4个单位长度后的坐标为(m+ 7.B 4,n) 8解：1)AB=x,BC-602=30-x, ·对称轴是直线x=-1, 2 (m-5)+(m+4) =-1,m=-29 1 20c.Bc=2(30-0=2415= 2(x-15)2+ 2 (2)证明：x1+x2=3,.x=3-x1 225 2 :M(x1,y1）,N(3-x1,y2)是二次函数y=x2+2ax-3a图象 上两点， 了0当：=15时y取限大值最大值为受 x1≠3-x1心1卡2 (2)①由题可知CF=t,AB=6,BC=4,AE=2CF. ∴.AE=2t,∴.BE=6-2t,BF=4-t. .·CE⊥BC,∴.∠BCE=90°， CG=2,.DG=4, ·∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° 六S△e=SE影C0-S号元D-SaBe-SaeG=6X4-】X4(2+4) (2)证明：由平移可知CD∥EF, ∴.∠EAC=∠DCA=30°. T)(6-2五)(4-)-号×26=-F+2+4(0≤t≤3乃 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°. ∴.∠EAC=∠ECA,∴.AE=CE,∠AEC=120° ②S=-t2+2t+4=-(t-1)2+5. 又.AB=CB,∴.BE垂直平分AC, -1<0.且0≤t≤3， :.当t=1时，S取最大值且最大值为5. ∠GEC= 2∠AEC=609 (3)在(2)的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的 由(1)知∠GCE=60°，.∠EGC=60°， 位置时，△EFG的最大面积为5，CF=1. ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC=60°， 11 Sh形EwG=S△Erc+S△om=2, ·△CEG是等边三角形. 第21节全等三角形 11 1 .Sar=2-5==2 GH CF=2GH=2. 1.B2.B3.A4.C5.D6.AC=AE(答案不唯一) .∴.GH=1. 7.证明：∠ABE=∠BAF,.CB=CA. .·CE=CF,.CB+CE=CA+CF,即BE=AF 第四章三角形 在△ABE和△BAF中， 第18节线段、角、相交线与平行线 (BE=AF. 1.B2.B3.C4.C5.C6.C ∠ABE=∠BAF, 7.垂线段最短8.-3（答案不唯一）；1（答案不唯一） AB=BA. 9.410.7 △ABE≌△BAF(SAS),∴AE=BF 第19节三角形及其基本性质 8.(1)证明：ABDE,.∠B=∠E, 1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.4:3 在△ABC和△DEF中， 8.109.A10.6 I∠B=∠E, 11.解：(1)DEBC,理由如下： ∠A=∠D .∠A=∠FEC,∴.EF∥AB,∴.∠ADE=∠DEF AC=DF, ∠DEF=∠B,∴∠ADE=∠B,DE∥BC. ∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2).DE平分∠ADC,∠ADE=∠B. (2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF.BC=EF, ∴∠EDC=LAE=∠B=3∠ADC .BF+CF=EC+CF,..BF=EC. .BF=4,FC=3,∴.EC=4, .∠BDC+∠EDC+∠ADE=180°，∠BDC=3∠B, .BE=BF+FC+EC=11. ∴.5∠B=180°，解得∠B=36°， 9.D ∴.∠ADC=2∠B=72°. 10.B【解析】如解图，过点F作FH .EF∥AB,∴.∠EFC=∠ADC=72 ⊥BC于点H,FW⊥CE于点N.: 12.B △ABC是等边三角形，.AC=BC 【解析】BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DFI =AB=7,∠ABC=∠ACB=∠BAC =60°.：将AD绕点D顺时针旋 1 BC DF=DE=3,S =2AB DE=9,SA= B HC 转60°得到ED,.AD=DE, 子C·nF=12Sk=S+5o=21AG是△MC ∠ADE=60°，.△ADE是等边三角形，∴.AD=DE=AE, ∠DAE=∠ADE=60°=∠BAC,∴.∠BAD=∠CAE,.∴.△ABD 的孩线ac·4G=2G=25誉- ≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=60°.：BD= BC 4 2,∴.CD=5,CE=2.:∠ACE=60°=∠ACB,FH⊥BC,FN 14.115.24 1 第20节等腰三角形和直角三角形 EF DF CD ⊥CE,.FN=FH. Saer2CE·Fw 1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.40°或100° SACPD 2CD·Fm 1 DF EFCE 8.229.1310.611.C12.6或1213.C14.B 15.(1)解：：△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60° 2 ~D是AB的中点∠DCB=∠DC1=号∠ACB=30 11.证明：(1)∠ACB=∠ADB,点F在ED ∴.∠ACB=∠ADF.