第3章 第15节 二次函数的图象与性质-【众相原创·减负中考】2026年中考数学减负作业本（广西专用）

第15节 二次函数的图象与性质 目y基础夯实练 A.a>0 B.b<0 1.二次函数y=x2+1的图象大致是( C.c<0 D.b2-4ac>0 6.（2025威海)已知点(-2，y1),(3,y2),(7, y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象 上，则y1,y2,y的大小关系是(》 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 变式已知二次函数y=x2-4x的图象过点 A(3,y1),B(-1,y2),C(-2,y3),则1，y2, y3的大小关系为 () 2.抛物线y=-4x2+3的顶点坐标是( A.(3,0) B.(0,3) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.(-3,0) D.(0,-3) C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 3.(人教九上P41T4改编)抛物线y=ax2(a> 7.(2021贺州)如图，已知抛物线y=ax2+G 0)经过 与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2) A.第一、二象限 两点，则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m B.第二、三象限 的解集是 C.第二、四象限 D.第三、四象限 4.（2025贵港港北区一模)对于抛物线y= -(x-2)2+5,下列判断不正确的是( A.抛物线的开口向下 A.x≤-3或x≥1 B.对称轴为直线x=2 B.x≤-1或x≥3 C.抛物线的顶点坐标是(-2,5) C.-3≤x≤1 D.当x>3时，y随x的增大而减小 D.-1≤x≤3 5.(2025南宁一模)二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是 8.二次函数y=-x2+2x-1的最大值为， 变式二次函数y=x2-4x-3的最小值 y=ax+bx+c 是 9.（2024宁夏)若二次函数y=2x2-x+m的 图象与x轴有交点，则m的取值范围 是 28 10.（2024南宁一模)已知二次函数y=-(x-13.(2025南宁十四中期末)二次函数y=ax2 2)2+7. -6ax+2的图象上有A(a,y1),B(5,y2) (1)写出该函数图象的对称轴： 两点.下列选项正确的是 () (2)求该函数图象与x轴的交点坐标： A.当a<0时，y1<y2 (3)当-1≤x≤3时，求y的取值范围. B.当0<a<1时，y1<y2 C.当1<a<2时，y1>y2 D.当a>2时，y1>y2 14.(2024德州)已知抛物线y=x2-4mx+2m +1,m为实数 (1)如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛 物线的顶点坐标； (2)如果当2m-3≤x≤2m+1时，y的最 大值为4，求m的值 (3)点0(0,0)，点A(1,0),如果该抛物 线与线段OA(不含端点)恰有一个交点， 求m的取值范围. 目y综合提升练 11.(2022贺州)已知二次函数y=2x2-4x-1 在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则 a的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 12.(2025福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2) 在抛物线y=3x2+bx+1上，若3<b<4,则 下列判断正确的是 ( A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y D.y2<1<y1 29第8节一元二次方程及其应用 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使 1.B2.C3.C【变式1】A【变式2】m≤3 采摘的苹果个数不少于10000个 4.D5.A6.B7.x=±18.39.7 11.a<-112.m≤313.-2≤a<-1 10.解：(1)x1=4,x2=3. 14.解：任务1：设毛巾的单价为x元，扫把簸箕套装的单价为 (2)x1=3,x2=-5 y元， 2+√22-√2 (3)x,= 2 则3x+2=33解得红=3， 2 (4x+3y=48, （y=12 11.小路的宽度为2m 答：毛巾的单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元 任务2：设购进扫把簸箕套装a套，则购进毛巾2a条，购 12.C13.1014.3cm 进毛巾和扫把簸箕套装的费用为3×2a+12×a=18a(元)， 18()号 方案一：0.8×18a≤720，解得a≤50， 根据题意，得a≥50，.a=50,2a=100: (2)证明：由题意可得+，=- a,C 方案二：300+(18a-300)×0.7≤720，解得a≤50， 根据题意，得a≥50，.a=50,2a=100. 六+号=(t)2-2x=(-6)2-2._-2 答：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾. a a2 第三章函数 1 (3)解：x,x是关于x的方程+(m-1)x+4㎡-1=0 第10节平面直角坐标系与函数 的两个实数根， 1.B2.D【变式】x≥23.B【变式】(3,2) 4.A5.D6.A7.B8.B9.D10.C11.A 六，t,=1-m,名=4m-1, 12.413.y=10+0.3x(0≤x≤15) 1 4=(m-1)2-4(4m2-1)=-2m+5. 14.B15.(2,1)(答案不唯一)16.32 第11节一次函数的图象与性质 根据题意，得△≥0，即-2m+5≥0，解得m≤之 .5 1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.B8.A9.B 10.1(答案不唯一)11.(1,1)（答案不唯一） 6=(产-24=1-m2-2-1= 12.x≥1 2m+3, 13.解：(1)直线AP经过点C(0,1), 分-2m+3=m-1 ∴.1=0+n,.n=1, .直线AP的解析式为y=x+1. 整理，得m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4. 直线BP经过点B(3,0),∴.0=-3+m, m2 ∴.m=3,.直线BP的解析式为y2=-x+3. 由=x+1,解得 第9节一次不等式（组）及其应用 （y=-x+3, =1.P(1,2). y=2, 1.D2.A3.A4.B5.C6.C7.C (2)x>1. 8.x=1(答案不唯一) (3)连接BC, 9.解：(1)3(3x-1)≤2(2x+1), 把y=0代入y=x+1,得x=-1, 9x-3≤4x+2 ∴.A(-1,0),AB=3-(-1)=4, 9x-4x≤2+3J 1 5x≤5， 5a4a=2x4w1=2 x≤1. 14.A15.D16.B17.2(答案不唯一) (2)/+3c5,0 第12节一次函数的实际应用 2(x+1)>x-1,② 1.C2.C3.C4.C 解不等式①，得x<2, 5.解：(1)设每顶太阳帽的进价为a元，每把太阳伞的进价为 解不等式②，得x>-3, b元 .原不等式组的解集为-3<x<2. 根据题意，得4a+36=100 解得a10, 10.解：(1)根据题意，得25a=800-600,解得a=8. (6a+4b=140, (b=20. 答：a的值为8. 答：每顶太阳帽的进价为10元，每把太阳伞的进价为20 (2)设需要x个这样的机器人 元 根据题意，得3600x】 (2)设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞(600-x)把 8 ×4≥10000，解得≥0 根据题意，得x≥2(600-x),解得x≥400. 又x为正整数，x的最小值为6. 设销售所获利润为0元， w=(15-10)x+(30-20)(600-x)=-5x+6000. 9.-6 :-5<0,∴.w随x的增大而减小. x≥400，.当x=400时，0的值最大， 10.解：(1)点A(-2,-2)在反比例函数y=(k≠0)的图 0大=-5×400+6000=4000， 象上 600-400=200(把). ∴.k=(-2)×(-2)=4, 答：购进太阳帽400顶、太阳伞200把可使销售所获利润最 大，最大利润为4000元 “反比例函数的关系式为y=4 6.解：(1)2407.5 (2)由题意得机器人乙到达B区时所用时间为90÷10= 又：点B(a,)在反比例函数y=的图象上， 9(分)E(9,0), .a=4,∴.B(4,1) 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15-9)= 把A(-2,-2),B(4,1)代人y=mx+n(m≠0)，得 15(米/分)，则y=15(x-9)=15x-135, 1 (-2m+n=-2, m=- .线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135. 解得 2 (4m+n=1, (3)机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器 n=-1, 人甲、乙相距30米. ·一次函数的关系式为)y=21 第13节反比例函数及其应用 1.B2.D3.D4.C5.C【变式】D6.B (2)不等式女-<0的解集为-2<<0或D2 7.C8.y=一（答案不唯一）9.6（答案不唯一） (3)P(0,b)是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为 10100 11.0.5 直角边的直角三角形，直线4B的关系式为)=分-1， 12.解：(1)把B(1,6)代入y=中，得6= .设另一条直角边所在直线的关系式为y=-2x+b, 1k=6, 当直角顶点是A时，则有-2=-2×(-2)+b,解得b=-6; 把A(3,m)代入y=6中m= 6 3m=2. 当直角顶点是B时，则有1=-2×4+b,解得b=9, .b的值为-6或9. (2)根据(1)可得y 第15节二次函数的图象与性质 1.B2.B3.A4.C5.D6.C【变式C7.D ∴.图象在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， 80【变式】-79.m≤8 1 当0<y1<y2时，在第一象限，0<x2<x1, 当y,<y,<0时，在第三象限，x2<1<0, 10.解：(1)直线x=2. 当y1<0<y2时，x1<0<2 (2)当y=0时，-(x-2)2+7=0, 1B.D14.D15.--5 16.y= 18 解得，=2+万，x2=2-√7， 第14节反比例函数综合 ∴该函数图象与x轴的交点坐标为(2-7,0)和(2+√7， 1.C2.A3.B4.A5.-46.97.8 0). 8解：(1)将点4(-1,6)代人y=,得k=-6, (3)由题意知顶点坐标为(2,7)，抛物线开口向下， 当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ·反比例函数的表达式为y三 .当x=2时，y有最大值7， 将点B(m,-2)代人y=-6可得m=3B(3,-2)。 又.2-(-1)>3-2， .当x=-1时，y取得最小值，最小值为-2， 将点A(-1,6),B(3,-2)代入y=ax+b, .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. 得{h6解得化 a=-2, 11.D12.A (3a+b=-2, 13.A【解析】二次函数y=a2-6ax+2的图象的对称轴为直 .一次函数的表达式为y=-2x+4. 线x=3.A(a,y1),B(5,y2),y1=a3-6a2+2,y2=-5a+ (2)设一次函数的图象与x轴的交点为点C, 将y=0代人一次函数y=-2x+4得x=2, 2,y1-y=a3-6a+5a=a(a-1)(a-5).当a<0时，a,a- .C(2,0),∴.0C=2, 1,a-5均为负，乘积为负，故1<2，故选项A正确.当0<a 由(1)得A(-1,6),B(3,-2), <1时，a>0,a-1<0,a-5<0,乘积为正，故y1>y2,故选项B .△A0C的0C边上的高为6，△B0C的0C边上的高为2， 错误.当1<a<5时，a>0,a-1>0,a-5<0,乘积为负，故y1< 5aa=5m+5e-寸2x6分2x2=8 y2,故选项C,D错误.当a>5时，a,a-1,a-5均为正，乘积 为正，故y1>y2 14.解：(1)：抛物线y=x2-4mx+2m+1经过点(4,3)， .y1+y2=x+2ax1-3a+(3-x1)2+2a(3-x1)-3=2x-6x,+ .16-16m+2m+1=3,解得m=1, 3 .∴.抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 92号 此抛物线的顶点坐标为(2，-1) 9 (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, y+y22 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m 第17节二次函数的综合应用 .距离对称轴越远，y的值越大， 1.D2.C .·当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， 3.解：(1)由题可知抛物线的顶点为(8,5)， ∴.当x=2m-3时，y=4, 设水流运行轨迹的函数解析式为y=a(x-8)2+5, (2m-3-2m)2-4m2+2m+1=4, 1 将点(0.1)代人可得a= 16 解得似=或a=-1, :水流运行轨迹的函数解析式为)y=- 16(-8)2+5. 放m的值为子或1 (2)不能，理由如下： (3):抛物线y=x2-4mx+2m+1与线段0A(不含端点)恰 当x=12时，=16×(12-8)+5=4>3.5， 有一个交点， (2m+1>0, 或/2m+1<0, 水流不能喷射到这棵果树. (1-4m+2m+1<0(1-4m+2m+1>0, 4.解：(1)设剪掉的小正方形的边长为xcm,则折成的无盖纸 盒的底面是边长为(40-2x)cm的正方形， :m>1或m<2 1 .(40-2x)2=484, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 x1=9,x2=31(不符合题意，舍去). 1.A2.C【变式】(4，-3)3.D4.D 答：需要剪掉的小正方形的边长为9cm 5.y=-x2+x+2(答案不唯一）【变式1】y=-x2-2x+3 (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方 【变式2】y=x2-3x-1(答案不唯一) 形的边长为acm,折成的无盖纸盒的侧面积为Scm’, ∴.S=4(40-2a)a=-8a2+160a=-8(a-10)2+800. 【支式31= 2*1 .-8<0,.当a=10时，S取得最大值，最大值为800 6.y=-(x+3)2+17.y=x2-4x+38.16 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm', 此时剪掉的小正方形的边长为10cm 9解：(1)设二次函数的解析武为)=(+2)+， 5.C 把4(-2.5)代人得(-2宁产4=5，解得= 6.D【解析】在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD= √AE+DE=√5+12=13.AE=EF=FB=5cm,.AB=15 (*号 cm.∴AB>AD,点P先到点D,当0≤t<13时，过点P作 (2)点B平移后的坐标为(1-m,9), PmL于点则票器吗吕m AP AD' 3,. 则9=(1-m)2+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去)， ∴.m的值为4. x号官圆象为跑物线且开口向上， 10.y=-2x2-4x+16 ∴选项A,C不符合题意；当18<t<31时，点P在边BC上 11.(1)解：①·函数图象经过点(2,5)， .4+4a-3a=5,.a=1, 且点0在点8处5w=宁×15×号31-=0· .该二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 2790 ②油题意，得将点A向左平移5个单位长度后的坐标为 图象为一次函数图象，只有D选项符合题意 (m-5,n),点A向右平移4个单位长度后的坐标为(m+ 7.B 4,n) 8解：1)AB=x,BC-602=30-x, ·对称轴是直线x=-1, 2 (m-5)+(m+4) =-1,m=-29 1 20c.Bc=2(30-0=2415= 2(x-15)2+ 2 (2)证明：x1+x2=3,.x=3-x1 225 2 :M(x1,y1）,N(3-x1,y2)是二次函数y=x2+2ax-3a图象 上两点， 了0当：=15时y取限大值最大值为受 x1≠3-x1心1卡2 (2)①由题可知CF=t,AB=6,BC=4,AE=2CF. ∴.AE=2t,∴.BE=6-2t,BF=4-t. .·CE⊥BC,∴.∠BCE=90°， CG=2,.DG=4, ·∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° 六S△e=SE影C0-S号元D-SaBe-SaeG=6X4-】X4(2+4) (2)证明：由平移可知CD∥EF, ∴.∠EAC=∠DCA=30°. T)(6-2五)(4-)-号×26=-F+2+4(0≤t≤3乃 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°. ∴.∠EAC=∠ECA,∴.AE=CE,∠AEC=120° ②S=-t2+2t+4=-(t-1)2+5. 又.AB=CB,∴.BE垂直平分AC, -1<0.且0≤t≤3， :.当t=1时，S取最大值且最大值为5. ∠GEC= 2∠AEC=609 (3)在(2)的条件下，且点F位于△EFG的面积最大时的 由(1)知∠GCE=60°，.∠EGC=60°， 位置时，△EFG的最大面积为5，CF=1. ∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC=60°， 11 Sh形EwG=S△Erc+S△om=2, ·△CEG是等边三角形. 第21节全等三角形 11 1 .Sar=2-5==2 GH CF=2GH=2. 1.B2.B3.A4.C5.D6.AC=AE(答案不唯一) .∴.GH=1. 7.证明：∠ABE=∠BAF,.CB=CA. .·CE=CF,.CB+CE=CA+CF,即BE=AF 第四章三角形 在△ABE和△BAF中， 第18节线段、角、相交线与平行线 (BE=AF. 1.B2.B3.C4.C5.C6.C ∠ABE=∠BAF, 7.垂线段最短8.-3（答案不唯一）；1（答案不唯一） AB=BA. 9.410.7 △ABE≌△BAF(SAS),∴AE=BF 第19节三角形及其基本性质 8.(1)证明：ABDE,.∠B=∠E, 1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.4:3 在△ABC和△DEF中， 8.109.A10.6 I∠B=∠E, 11.解：(1)DEBC,理由如下： ∠A=∠D .∠A=∠FEC,∴.EF∥AB,∴.∠ADE=∠DEF AC=DF, ∠DEF=∠B,∴∠ADE=∠B,DE∥BC. ∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2).DE平分∠ADC,∠ADE=∠B. (2)解：由(1)可知△ABC≌△DEF.BC=EF, ∴∠EDC=LAE=∠B=3∠ADC .BF+CF=EC+CF,..BF=EC. .BF=4,FC=3,∴.EC=4, .∠BDC+∠EDC+∠ADE=180°，∠BDC=3∠B, .BE=BF+FC+EC=11. ∴.5∠B=180°，解得∠B=36°， 9.D ∴.∠ADC=2∠B=72°. 10.B【解析】如解图，过点F作FH .EF∥AB,∴.∠EFC=∠ADC=72 ⊥BC于点H,FW⊥CE于点N.: 12.B △ABC是等边三角形，.AC=BC 【解析】BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DFI =AB=7,∠ABC=∠ACB=∠BAC =60°.：将AD绕点D顺时针旋 1 BC DF=DE=3,S =2AB DE=9,SA= B HC 转60°得到ED,.AD=DE, 子C·nF=12Sk=S+5o=21AG是△MC ∠ADE=60°，.△ADE是等边三角形，∴.AD=DE=AE, ∠DAE=∠ADE=60°=∠BAC,∴.∠BAD=∠CAE,.∴.△ABD 的孩线ac·4G=2G=25誉- ≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=60°.：BD= BC 4 2,∴.CD=5,CE=2.:∠ACE=60°=∠ACB,FH⊥BC,FN 14.115.24 1 第20节等腰三角形和直角三角形 EF DF CD ⊥CE,.FN=FH. Saer2CE·Fw 1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.40°或100° SACPD 2CD·Fm 1 DF EFCE 8.229.1310.611.C12.6或1213.C14.B 15.(1)解：：△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60° 2 ~D是AB的中点∠DCB=∠DC1=号∠ACB=30 11.证明：(1)∠ACB=∠ADB,点F在ED ∴.∠ACB=∠ADF.