精品解析：2025--2026学年八年级上学期学情自测数学试题

2025--2026学年八年级上学期1月阶段性检测数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 当时，下列各式中值为0的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（ ）米 A. 12 B. C. D. 21 8. 南山文体中心打算购买李宁、安踏两种不同品牌的篮球，已知李宁篮球的单价是安踏篮球的单价的倍，且用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，设安踏篮球的单价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 下列图形具有稳定性的是_______（填序号）． 10. 若点与点关于y轴对称，则______． 11. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯的理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______． 12. 中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 13. 若多项式因式分解后有一个因式，则________________． 14. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 15. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式：________； 16. 如图，在中，，且的面积是24，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 三．解答题（共9小题，满分64分） 17. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于的二项式． 【例题】化简：． 解：原式 ______． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； （2）计算：． 18. 计算： （1）因式分解：； （2）解方程： 19. 先化简，再求值：，从，0，1，2四个数中选择一个作为x的值代入求值． 20. 如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． （1）你选择的条件是______、______； （2）根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 21. 已知的三个顶点的坐标分别是，点，点． （1）在所给的平面直角坐标系中画出． （2）直接写出点到轴，轴的距离分别是多少？ （3）画出关于轴的对称图形． 22. 已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 23. 2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的． （1）该校第一次购置AED设备多少台？ （2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？ 24. 已知：，， （1）当n时，写出的值_______； （2）当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 25. 在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，若，当点M在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，若，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年八年级上学期1月阶段性检测数学试题 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，使用提公因式法或公式法（如完全平方公式、平方差公式）进行判断，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 4. 当时，下列各式中值为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件，逐个判断即可．注意分子为0，分母不为0． 【详解】解：A、当时，分子，分母，分式无意义，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，分子，分母，满足分式值为0的条件，故C符合题意； D、当时，分母，分式无意义，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形列出代数式，利用完全平方公式计算即可． 【详解】解析：根据题意，得 这个长方形的面积为 故选B． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 7. 古代大型武器投石机，是利用杠杆原理将载体以不同的抛物线投射出去的装置．图是图投石机的侧面示意图．为炮架的炮梢两顶点，已知A、B两点到炮轴O的距离分别为1米和8米，当炮索自然垂落垂直于地面时，落在地面上的绳索还有5米．如图，拉动炮索，炮梢绕炮轴O旋转，点A的对应点为，点B的对应点为．当炮索的顶端在地面且与炮轴在同一直线上时，若垂直地面，，此时，到水平地面的距离是（ ）米 A. 12 B. C. D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E，证明都是等边三角形，得到，再证明得到，则，即可得到，，设，则，求出，即可求出． 【详解】解：如图所示，延长交地面于C，延长交地面于D，设此时炮索的位置为E， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则炮索的长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到水平地面的距离是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 南山文体中心打算购买李宁、安踏两种不同品牌的篮球，已知李宁篮球的单价是安踏篮球的单价的倍，且用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，设安踏篮球的单价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是，根据用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是，根据题意得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 下列图形具有稳定性的是_______（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性， ∴具有稳定性的是③， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答． 10. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由关于轴对称的点的坐标的特点，即可计算．本题考查关于轴对称的点的坐标的特点，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 故答案为：1． 11. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖，石墨烯的理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，熟练掌握科学记数法是解题关键．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质．画出的轴对称图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以点B，A，在一条直线上． 由对称可知， ， 所以是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 13. 若多项式因式分解后有一个因式，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 14. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式：________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，利用两种方法，表示出大长方形的面积，即可得出结论． 【详解】解：大长方形的面积可表示为：，也可以表示为：， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在中，，且的面积是24，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再由等腰三角形的性质，可求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵的面积是24， ∴， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8 三．解答题（共9小题，满分64分） 17. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中是两个关于的二项式． 【例题】化简：． 解：原式 ______． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； （2）计算：． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键 （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答； （2）根据平方差公式、完全平方公式计算，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得：， 两边同除以y得：， 同理，得：y，两边同除以得：， 例题的化简结果为：； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）因式分解：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解和解分式方程，熟练掌握分解因式的方法、解分式方程的一般步骤是解题的关键； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程即为， 去分母，得， 解得， 经检验：是原方程的解． 所以原方程的解是． 19. 先化简，再求值：，从，0，1，2四个数中选择一个作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则及运算顺序，代入计算是解题的关键． 根据分式的运算法则先计算减法，再计算除法，再代入计算即可． 【详解】解： ， 且且， 取2， 当时，原式． 20. 如图，、交于点O，有下列三个条件：①，②，③．请你在上述三个条件中选择两个作为条件，证明是等腰三角形． （1）你选择的条件是______、______； （2）根据（1）选择的条件，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）①，②（或①，③）； （2） 证明：选择的条件是①，②， ∵在和中， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； 选择的条件是①，③， ∵在和中， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，对顶角相等，等腰三角形的判定和定义．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）根据全等三角形的判定条件选择即可； （2）选①、②根据“”证明，进而得出，由等角对等边即可证是等腰三角形；选①，③根据“”结合对顶角相等可证，得出，即是等腰三角形． 【小问1详解】 解：由在和中为公共边，结合①、②可证； 由在和中，结合①、③可证． 故可选条件为①、②或①、③， 故答案为：①，②（或①，③）； 【小问2详解】 略 21. 已知的三个顶点的坐标分别是，点，点． （1）在所给的平面直角坐标系中画出． （2）直接写出点到轴，轴的距离分别是多少？ （3）画出关于轴的对称图形． 【答案】（1） 解：如图所示， （2）点A到x轴，y轴的距离分别是3和2 （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，画轴对称图形，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）在直角坐标系中找出三点，然后依次连接即可； （2）直接写出点A到x轴，y轴的距离即可； （3）根据轴对称图形的画法画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 【答案】的三边长分别为，，． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，设等腰的腰长为，底边长为，分，两种情况建立二元一次方程组求解，再根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，则， ∵一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，设中线长为， ∴， 当时， 即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴能组成三角形； 当时，即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的三边长分别为，，． 23. 2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的． （1）该校第一次购置AED设备多少台？ （2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？ 【答案】（1）第一次购买AED设备4台 （2）最多可购买立式存储柜2个 【解析】 【分析】（1）设第一次购买AED设备台，则第二次购买AED设备台，根据“每台价格是第一次每台价格的”建立方程，解方程即可． （2）设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个，并根据“要使购买存储柜的总费用不超过7000元”可列不等式，求解可得出结论． 【小问1详解】 设第一次购买AED设备台， 根据题意，得 解，得， 经检验，是原方程的解， 答：第一次购买AED设备4台； 【小问2详解】 设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个， 根据题意，得， 解，得， 因为为正整数，所以的最大值为2， 答：最多可购买立式存储柜2个. 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24. 已知：，， （1）当n时，写出的值_______； （2）当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）20 （2）24 （3） 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； 【小问3详解】 略 25. 在中，，点在射线上，连接，并以为边在射线上方，右侧作等边，连接． （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，若，当点M在线段上时，与有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图③，若，当时，求线段的长． 【答案】（1）3 （2） ，理由如下： ∵，， 为等边三角形， ，， ∵为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中，， ， ； （3）6 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形，三角形的外角，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用三角形的内角和可知，再根据角所对的边是斜边的一半即可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，手拉手模型可得，即可证明； （3）根据题干易知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到为等边三角形，利用外角可知，即可求解线段的长． 【小问1详解】 解：在中，，， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ， ∵，， ， ∵，， 为等边三角形， ，， ∵， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $