第6章 第30节 与圆有关的计算-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

.∠APB=90°，.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB. 母题变式练考点 ∠GPA=LPB,.△GPA△HPB,六HBBP GA AP 1.(1)圆上：圆外：圆内：相交(2)相切：相离 2.A an∠EAB=EBBP 1 -AB-AAB=BC,BE-3BC. 3.证明：连接OC OA=OB,点C为AB的中点，.OC⊥AB. BP 1 GA AP3HB =3. 又.OC是⊙0的半径，∴.直线AB是⊙O的切线， 4.证明：如解图，连接OD. G为AD的中点，AG=3, .·△ABC是等边三角形 .∴.HB=1,∴.AH=5,.∴.GH=√AG+A㎡=√34 ∴.∠C=∠A=60° 4.(1)①2 .·0C=0D. ②解：如解图，过点A作AT∥GH交BC ∴.∠CD0=∠C=∠A=60°， 于点T ∴.OD∥AB. .GH⊥BF,∴.AT⊥BF .DF⊥AB,∴.OD⊥DF .四边形ABCD为矩形，.ADBC, 0D是⊙0的半径， ∴.四边形ATG是平行四边形. .DF是⊙O的切线. ∴.AT=GH. 由O可得1r4B 5.证明：如解图，连接0C. GH m=2,小B =2 BF BC .:⊙0的半径为3，PB=2 (2)m .0C=0B=3,OP=0B+PB=5. 器 在△0PC中，PC=4,0C=3,0P=A 5, 第六章圆 ∴.0C+PC2=0p2 第28节圆的有关概念及性质 △0CP是直角三角形，∠0CP=90°，OC1PC. 核心知识全梳理 ·OC是⊙0的半径，.PC是⊙0的切线， ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 6.(1)证明：如解图，过点D作DF⊥BC于点F. .·∠BAD=90°，BD平分∠ABC, ⑧直径⑨圆心⑩A'B①A'B'2平分B平分 ..AD=DF..DF是⊙D的半径 ④垂直⑤平分6BM⑦CD⑧一半9相等 :DF⊥BC,.BC是⊙D的切线. ∠ADC 2 290°3互补②④180° (2)解：∠BAC=90°，.AB与⊙D相切. 母题变式练考点 BC是⊙D的切线，AB=FB. 1.(1)①A AB=5,BC=13, ②证明：AB=CD,.AB=CD, ..CF=BC-BF=8,AC=VBC-AB=12. 设DF=r,则AD=r,DC=12-x. :.AB+AC=C⑦D+AC,即BAC=ACD,.BC=AD. 在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2,即r2+82=(12-r)2, (2)C 2.(1)B(2)①4：3；2；8②32(3)553.B4.C 解得，=10 5.D6.90:64:64:64:32 CE=AC-2r=12-2x10-16 7.(1)证明BC=CD,.LB0C=∠D0C 3 .·OC=OC,0B=OD.∴.△B0C≌△D0C(SAS) (2)解：.OC=OB,∴.∠0CB=∠ABC=65°， ∴.∠C0B=180°-∠ABC-∠OCB=50°， .∠D0C=∠B0C=50°， ∴.∠AOD=180°-∠D0C-∠B0C=80° 7.(1)12(2)608(1)25(2)5,25 3；3 (3)1 .LABD=∠A0D=40° 小专题8与圆有关的最值及隐形圆（辅助圆）问题 8.65°【变式】2 1.25-22.D3.244.35.(1)7(2)√2I6.100 第29节与圆有关的位置关系 7.2√3-2【解析】如解图，连接CE,:P是直线AB上的 核心知识全梳理 ①<②=③<④相切⑤=⑥>⑦垂直⑧垂直 个动点，AE=2,AE=EF=2,∴.点F在以E为圆心，AE为 半径的圆上运动.，·在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,∴.CD ⑨半径0一个①PB②∠APBB垂直平分线 =AB=4,AD=BC=8,.DE=AD-AE=6.在Rt△CDE中，由 雪三个顶点巧2G角平分线⑩三条边⑧2 勾股定理得CE=√DE+CD=2√3，.FC的最小值为CE- EF=2√13-2. .·∠AFE=∠ADE=90°，OA=OD=OE=OF,A,D,E,F 四点共圆，.∠AED=∠AFD,.当⊙O与BC相切时， ∠AFD最大BF=CF=4易得△ABF∽△FCE,A 4-CE CE=8 BF 6 4 3,=Dc一G=,.当D五 8.5-19. 3 10.2/13-411.C 的长为9时，∠AD最大，乙AD最大 3w3 12. 4 【解析】如解图，连接 第30节与圆有关的计算 核心知识全梳理 BD,取BD的中点O,连接 0E,OF..·∠BAC=120°，AB ①2mr ③mr2 ④nm3 ⑤√P- B F C 10 360 =AC,∴.∠ABC=∠C=30°..DE⊥AB,DF⊥BC,OB=O 母题变式练考点 =0E=0F=2BD,B,D,E,F四点共圆∠BO=2 1.B 1 2.(1)T;3r ∠EBF=60,△OEF是等边三角形，EF=OF=2BD. 21.55 (3)2(4④12031 44-m5.32m6 25m25 ∠C=∠EBF=30°，AB=3,.BC=35..当BD⊥CD时， 3 42 7.c8 3 0的值最小，m=了c-39F的最本值为号切 9(I)6030°(2)9 35 4 5) 2 5 ,【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=V5, 第七章图形的变化 六AC=B+C=3,SAr=之AB·BC=5.:BE1 第31节尺规作图 1.解：(1) C (2) BD,则∠ABC=∠EBD=90°.∠BDA=∠C,.△ABC∽ △Em-(0-四sw BD SAABC BC 5B 了，即当BD取得最大值时，△BDE的面积取得最大 (3) E (4) 值.∠BDA=∠C,∠ABC=90°，由圆周角定理可知，A,B, C,D四点共圆，.点D在以AC为直径的圆上，.BD≤AC= 3,即BD的最大值为3SAm的最大值为9, 5 (5) 14.205【解析】如解图，取MW的中点F,过点F作FE⊥ OB于点E,以MN为直径作⊙F.MN=2OM=40m,F是 MN的中点，..MF=FN=20m,OF=40m..∠AOB=30°. EF⊥OB,EF=20m,OE=20V5m,.EF=MF.EF⊥ A (7)作法不唯一 (8)作法不唯一 OB,EF为⊙F的半径，.OB是⊙F的切线，切点为E, 当点P与点E重合时，观景视角∠MPV最大，此时OP= 20w3m. B (9)作法不唯一 第14题解图 第15题解图 B 15. 10 2.(1)解：如解图，∠ECM即为所求。 【解析】如解图，取AE的中点O,连接OD,OF 21 (2)证明：由(1)，得∠ECF=∠A,第30节 与圆有关的计算 核心知识全梳理 知识点1弧长、扇形面积的计算(2025.18) 1.弧长、扇形面积公式 圆的周长 弧长 圆的面积 扇形的面积 为圆的半径， n°为圆心角度数， C= I= S= 公式 S=④ ① ② ③ rl L为AB的长 2.阴影部分面积的计算 公式法适用于规则图形 D S影=S扇形MPS阴影=S正方形0ABC 将不规则图形的面积转化为规则图形面积 和差法 D 的和或差 B A B S阴影=S扇形AOB-SANOn S阴影=S△AOB-S形CoD 利用平移、旋转、对称或证三角形全等等方 等面积 式，将不规则图形的面积转化为规则图形 转换法 S阴影=S△ACD 面积的和或差 B 当阴影部分是由几个图形叠加形成时，求 容斥 解阴影部分面积需先找出叠加前的几个图 原理 S阴影=S扇形CaE+S扇形CBD-S△ABC 形，然后理清图形之间的重叠关系 D 知识点2圆锥的相关计算 公式 几何图形 底面圆面积 S=Tr2 底面圆周长 C=2mr 圆锥的高 h=⑤ 侧面积 =Trl 1为母线长， r为底面圆的半径， 全面积 S全=S侧+S底=30+π=m/+T2 h为圆锥的高， n°为侧面展开扇形的圆心角度数 体积 注：圆锥的侧面展开图是扇形 114 知识点3正多边形与圆 公式 几何图形 360° 中心角 n 边心距 rR-() 周长 正n边形的周长为na 中心角：0；边长：a; 1 面积 S=2nar 边心距：r;半径：R 母题变式练考点 考点1弧长、扇形面积的计算 1.(2022北部湾)如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠BAC=a,将△ABC绕点A逆时针旋转2a,得到 △AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时，BB的长是 D A.23 103 3 B.43 3 m C.83 9 T D. 9 m 2.（人教九上P115T1改编) (1)一个扇形的半径为6，圆心角为30°，则该扇形的弧长为 ,面积为 (2)一个扇形的半径为8，弧长为3π，则该扇形的圆心角为 °，面积为 (3)75的圆心角所对的弧长是5πcm,则此弧所在圆的半径是 cm; (④)一个扇形的孤长是，它的面积是5，这个扇形的国心角度数是 3.【公式法】如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙0是△ABC的内切圆，连接OB,OC,则图 中阴影部分的面积是 cm2.（结果用含T的式子表示) 第3题图 第4题图 4.【和差法】如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为BC边的中点，连接AE,DE.以E为圆心，BE 长为半径画弧，分别与AE,DE交于点M,N,则图中阴影部分的面积为 115 5.【等面积转化法】（湘教九下P91T16改编）如图，点O是半圆的圆心，BE是半圆的直径，点A,D在 半圆上，且AD∥BO,∠ABO=60°，AB=8,过点D作DC⊥BE于点C,连接OD,BD,则阴影部分的面 积是 C B 第5题图 第6题图 6.【容斥原理】（人教九上P115T4改编）如图，已知等腰三角形ABC,AB=5,∠B=90°，以AB长为直 径的圆交AC于点D,以点C为圆心，BC为半径的圆交AC于点E,则阴影部分的面积为 考点2圆锥的相关计算 7.（2022柳州)如图，圆锥底面圆的半径AB=4,母线长AC=12,则这个圆锥的侧面积为() A.16m B.24T C.48m D.96m 第7题图 第8题图 8.（2021北部湾)如图，从一块边长为2，∠A=120的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为 圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC,CD分别相切于点E,F,将剪下来的扇形围成一个圆锥，则 圆锥的底面圆半径是 考点3正多边形与圆 9.（人教九上P106例改编)如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙O的半径是1.连接OC, OD,OF,DF. M (1)∠COD的度数为 ,∠EFD的度数为 (2)点O到边CD的距离为 (3)该正六边形的周长为 面积为 (4)DF的长为 ,△CDF的周长为 ,△CDF的面积为 ,△DEF的面积 为 ； (5)若点M为AF的中点，则CM的长为 116