第4章 第23节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

证明：由(1)得∠A=∠B=90°，∠C=∠DPB. 又.AP=BD,∴.△ACP≌△BPD(AAS). 1.42.0.83.DE=CE-BD 4.证明：(1).∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE,∠ACE= ∠B,∴.∠BAC=∠DCE. ·∠B=∠D,.△ABC∽△CDE. E B (2)由(I)得，△ABC∽△CDE, AB BCAC 解图1 解图2 CD DE CE 解法二：如解图2，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到 :C为BD的中点，BC=DC,BCCE AB AC CF,连接BF,DF,则△CDF为等边三角形.∠BCA+ ∠ACF=∠DCF+∠ACF,.∠BCF=∠ACD.在△BCF和 又·∠B=∠ACE,.△ABC∽△ACE, ABAC BC=AC. 六ACA花AC=AB·AE. △ACD中 ∠BCF=∠ACD,∴.△BCF≌△ACD(SAS),. 5.证明：如解图，过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F CF=CD. ∠BFC=∠ADC=30°，BF=AD=12..·∠CFD=60°， ∴.∠BFD=90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得DF= √BD2-BF=9,.CD=9. 2.43.√2 4.证明：.·AB=BC,AP=PD,∠APD=∠ABC 则∠F=∠AEC=90°，.∠ABF+∠BAF=90° .:∠BAC=90°，.∠BAF+∠CAE=90°， 六△ABC△APD,∠BAC=∠PAD,AB-AC 'AP AD ∴.∠ABF=∠CAE. ·.·∠BAP+∠PAC=∠CAD+∠PAC,.∴.∠BAP=∠CAD .'AB=AC,∴.△ABF≌△CAE(AAS), .△BAP∽△CAD,.∠ABC=∠ACD .·AF=CE,BF=AE 小专题5对角互补模型 .DE=CE,∴.AF=DE,∴.DF=AE 1.262.3 ∴.BF=DF,∴.∠BDF=45° .·∠DEC=90°，DE=CE 3.(1)①CD+CB=√2CA ∴∠CDE=45,∠BDC=90°. ②将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADM. 6.解：如解图，过点E作EF⊥BC,垂足 (2)证明：①如解图，延长CD至点M. 为F,过点D作DG⊥BA,垂足为G 使DM=BC,连接AM. 在Rt△BGD中，BD=4,∠ABC=60° .四边形ABCD为对角互补四边形， .∠B+∠ADC=180°. ·.·∠ADC+∠ADM=180° ∠BDG=30,BG= 2BD=2, .∠B=∠ADM. .GD=√BD2-BG=25. .·AB=AD,.△ABC≌△ADM(SAS) ∴.AC=AMM,∠BAC=∠DAM.∠ACB=∠M. .△PDE是等边三角形，.∠PDE=60°，PD=DE, ·.·∠BAD=∠BAC+∠CAD=60° .∴.∠PDB+∠EDF=180°-∠PDE=120° .∠CAM=∠CAD+∠DAM=60. .∠ABC=60°，∴.∠PDB+∠BPD=180°-∠ABC=120°， 又.AC=AM,.△ACM是等边三角形，∴.∠ACM=∠M. ∴.∠BPD=∠EDF. ∠PGD=∠DFE=90°，.△GPD≌△FDE(AAS), ·∠ACB=∠M,.∠ACB=∠ACM,即CA平分∠BCD ②.△ACM是等边三角形，CA=CM. ·.GD=EF=23, BC=DM,..CM=CD+DM=CD+CB, BDF5. ∴.CA=CB+CD 小专题4旋转（手拉手)模型 小专题6半角模型 1.9【解析】解法一：如解图1，将AD绕点A顺时针旋转60° 1.55 得到AE,连接DE,BE,则△ADE为等边三角形，.∠BAC= 2.45+4【解析】如解图，将 ∠DAE=∠AED=60°，DE=AD=12..:∠BAE+∠CAE=∠CAD △ACW绕点A顺时针旋转 +∠CAE,:∠BAE=∠CAD.在△BAE和△CAD中， 90°得到△ABE.由旋转得 AB=AC. ∠NAE=90°，AN=AE,EB= ∠BAE=∠CAD,.△BAE≌△CAD(SAS),∴.∠BEA= CN,∠ABE=∠ACD,∠EAB= ∠CAN.:∠BAC=∠D=90°，EB D AE=AD. ∠CDA=30°，BE=CD..∠AED=60°，.∠BED=90°.在Rt ∴.∠ABD+∠ACD=180°，∴.∠ABD+∠ABE=180°.又.·点M △BED中，由勾股定理得BE=√BD-DE=9,.CD=9. 在BD上，.点E,B,M,D共线.·∠MAN=45°，∠BAC=90° .∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC ∠MAN=45°，.∠EAM=∠MAN.在△AEM和△ANM中， (AE=AN. 北 北 ∠EAM=∠NAM,·△AEM≌△ANM(SAS),.MWN=ME= 西 Bi DE东 AM=AM, :BC=32海里，∠CBD=30°， EB+BM=CN+BM.在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD= 30,BD=BC·cos∠CBD=45,CD=2BC=4,.△DMN CD=2BC=16(海里). .16<18. 的周长为DM+DN+MW=DM+DN+BM+CN=BD+DC=43+4. .若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险。 3.EF=DF+BE 6.解：如解图，过点C作CH⊥E0于点H,EH=BD=30m. 4.(1)证明：如解图，将△BCF绕点C旋转使BC与CD重合， E 得到△DCF',则BF=DF'. 60°y75 .ADBC,AB=DC,∴.梯形ABCD为等腰梯形 ∴.∠BAD=∠ADC,∠BAD+∠ABC=180°. .∠ADC+∠ABC=180°. E D 由旋转可知∠ABC=∠CDF', .∠ADC+∠CDF'=180°， ∴.A,D,F三点共线 B D C. 在Rt△0EA中，∠AE0=90°，∠A0E=60°，0A=40m, .EA=0A·sin60°≈34.6(m),0E=0A·cos60°=20(m) 1 B :.∠BCF+LECD=LECF=2 在Rt△0HC中，∠C0H=53°，OH=EH-OE=10(m), ∴.CH=0H·tan53°≈10x1.33=13.3(m), ∠BCD. .EA-CH≈21(m. FC=F'C,EC=EC,∠ECF'=∠DCE+∠F'CD=∠DCE+ 答：两栋楼CD与AB的高度之差约为21m. ∠BCF=∠ECF, 第五章四边形 .△FCE≌△F'CE,∴.EF=EF'=DF'+ED, 第24节多边形与平行四边形 .BF=EF-ED. 核心知识全梳理 (2)解：如解图. :AB=BC,∠B=80°，.∠ACB=50° ①(n-2)·180°②360°③(n-3)④(m-3) 2 由(1)得∠FEC=∠DEC=70°. ⑤n-2)·180° 又.·AD∥BC. 6360 ⑦偶⑧奇⑨同心 ∴.∠BCE=∠DEC=70°，∠BCD=∠F'DC=∠B=80° 0平行且相等①相等②互补B∠BCD④180° ∴.∠DCE=10°，.∴.∠BCF=30°. ⑤∠ADC⑥平分⑦中心⑧对角线的交点⑩平行 .∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°. ②④AD∥BC相等②②AD=BC3平行且相等 第23节锐角三角函数及其应用 ②4AB=CD5互相平分60B=OD 核心知识全梳理 即时自测 ①②③5 1.900°；360°；142.93.C ⑤W5⑥a2+b=c2⑦90° b 2 母题变式练考点 ⑧6⑨20北偏东30°①南偏东60°卫北偏西45° 1.(1)①5：3：2②6(2)①9②140°：40°③是：不是 ④6 B上方下方6升 2.B 即时自测 3(10(2)60:120(3)①1w3:2②33③7：7 1(15,600(222(e29 (4)1(5)2 4.3 2.(1)5sina(2)C3.3;3.1:3.15 5.解法一：证明：DF∥BE, 母题变式练考点 .∠DFE=∠BEF,.∠AFD=∠CEB. 1.B2.⑤3.214.31 又.AF=CE,DF=BE,∴.△AFD≌△CEB(SAS). 5.解：(1)根据题意得∠CBE=30°，∠BAC=15°， ∴.AD=BC,∠DAF=∠BCE, AB=16×2=32(海里)， .AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形 .∠C=15°，.∠C=∠BAC, 解法二：证明：DF∥BE,.∠DFE=∠BEF ∴.BC=AB=32海里. 又.AF=CE,.AF+EF=CE+EF,∴.AE=CF 答：B处到灯塔C的距离为32海里。 又.DF=BE,∴.△ABE≌△CDF(SAS),∴.AB=CD (2)有触礁的危险，理由如下： 又.∠DFE=∠BEF,∴.∠AFD=∠CEB. 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. .AF=CE,DF=BE,∴.△AFD≌△CEB(SAS),第23节锐角三角函数及其应用 核心知识全梳理 知识点1锐角三角函数及解直角三角形(2025.6,2024.17、24、26， 即时自测 2023.17) 1.(人教九下P63例1改编)在 1.锐角三角函数相关概念 Bt△ABC中，∠ACB=90°，BC 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c =√2，AC=6,则 4 (1)tanB ,∠B= 。,∠A= (2)AB= C r (3)sin4= _CosA= ∠A的正弦：sinA= ∠A的对边a 斜边 ∠A的余弦：c01=∠A的邻边-① 斜边 ∠A的对边 ∠A的正切：tanA= ∠A的邻边 =② sinA 【知识拓展】三角函数之间的关系：sinA=cos(90°-∠A);tanA cosA i sinA +c0s2A=1. 2.特殊角的三角函数值 锐角a 30° 45° 60° 锐角三角函数 2 609 1 2 B30 sina 2 2 ③ √3 √2 cosa 2 ④ 459 5 tang ⑤ C 3 3.解直角三角形 三边关系⑥ (勾股定理) 三角关系 ∠A+∠B=∠C=⑦ sinA=cosB=:cosA=sinB= 边角关系 b;tanB=⑨ 知二推三：在Rt△ABC中，除∠C外的五个元素∠A,∠B,a,b,c,知道 其中的两个元素（至少有一个是边），即可根据三边关系、三角关系或 边角关系公式求解出其他三个未知元素 83 知识点2锐角三角函数的实际应用(2023.17) 即时自测 1.方向角，仰角、俯角，坡度（坡比）、坡角 2.如图是某幼儿园的滑梯的简 易图 图形语言 文字语言 B 如图： 北 点A位于点0的⑩ 方向； C A 459 30以A 方向角 点B位于点O的① 方向； (1)若∠A的度数为a,滑坡AB ·东 点C位于点0的② 方向， 的长为5m,则BC的高可表示 为 m; 也称为西北方向 (2)若滑坡AB的坡度是1：3， ，视线 仰角、 铅 角水平线 仰角：视线在水平线3 的角； 滑坡的水平宽度AC是6m,则 俯角 线 俯角 俯角：视线在水平线④ 的角 高BC为( )m. 视线 A.3 B.5 C.2 D.4 铅直 坡面 h. 坡度（坡 高度 坡度（坡比）=人；坡面与水平面的 3.如3.1465保留整数是 比)、坡角 精确到0.1为 ,精确 水平宽度 夹角a叫作坡角，i=tana=⑤ 到0.01为 2. 常见模型及辅助线作法 模型 常见辅助线作法 解题策略 母子型 构造直角三角 B 了B 形，通过建立 已知线段和未 知线段之间的 背靠背型 A B 等量关系求解 B4 D (通常涉及线 段的和、差、比 拥抱型 值) 4b@公B D 【特别提醒】在锐角三角函数的实际应用中，计算结果要求精确到哪一 位，即将结果四舍五入到那一位 母题变式练考点 考点1锐角三角函数及解直角三角形 1.(2025广西6题)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则sinB= A.10 B C.io D.7 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D.下列关于线段CD的表 示：0c·sn8,②4C·snd:34CLC,④4Cms∠ACn,⑤gm·sin BGD其中不 正确的是 .(填序号) 84 考点2锐角三角函数的实际应用 3.（2023广西17题)如图，焊接一个钢架，包括底角为37的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共 需钢材约 m(结果取整数).（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 4m i1:1.5A i=1:3 A37 B 第3题图 第4题图 4.【背靠背型】（人教九下P77T2改编）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,AD=4m,AF=DE=6m, 斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE与CE 的比，则BC的长为 m 5.【母子型】(2025广西模拟)如图，灯塔C在海岛A的北偏东75方向，某天上午8点，一艘船从海 岛A出发，以16海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处 的北偏东60°方向， (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围18海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有 触礁的危险？请你说明理由. C 北 北 B 6.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼CD与AB的高度之差，他们借助 无人机设计了如下测量方案： 方案设计：如图，无人机悬停在AB,CD两楼之间上方的点O处，此时测出到楼AB顶部点A处的 俯角为60°，测出到楼CD顶部点C处的俯角为53°.（点A,B,C,D,0在同一平面内） 测量结果：AE⊥E0,OA=40m,BD=30m. 参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33. 问题解决：求两栋楼CD与AB的高度之差.（结果精确到1m) 609 53 85