第4章 第21节 全等三角形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第21节全等三角形 核心知识全梳理 知识点 全等三角形的性质与判定（2025.20,2024.17、24,2023.23、24) 定义 能够① 的两个三角形叫作全等三角形 (1)全等三角形的对应边② ,对应角③ 性质 (2)全等三角形的周长④ ,面积⑤ (3)全等三角形对应的中线、高、角平分线、中位线都⑥ 文字语言 符号语言 (AB=DE, ⑦ 分别相等 边边边 .BC=EF, 的两个三角形全等 (SSS) AC=DF, (基本事实)》 ∴.△ABC≌△DEF (AB=DE, 两边及其⑧ 边角边 {∠B=∠E, 分别相等的两个三角 (SAS) BC=EF, 形全等（基本事实） ∴.△ABC≌△DEF ∠A=∠D, 判定 两角及其⑨ 角边角 .AB=DE, 分别相等的两个三角 (ASA) ∠B=∠E, 形全等（基本事实） .△ABC≌△DEF 两角分别相等且其中 「∠A=∠D, 角角边 组等角的0 {∠C=∠F, (AAS) 相等的两个三角形 AB=DE, 全等 ∴.△ABC≌△DEF 斜边和一条直角边分 (AB=DE, 斜边、直 别相等的两个直角三 (AC=DF, 角边(HL) 角形全等 ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF 【易错警示】(1)“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等；(2)“HL”只适用于 全等时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上 【技巧点拨】全等三角形的判定思路： (1)已知两边→①找夹角(SAS):②找第三边(SSS);③找直角(HL或SAS 边为角的对边→找任意一角(AAS) (2)已知一边和一角{边为角的邻边→①找角的另一边(SAS):②找边的另 ③找边的对角(AAS), (3)已知两角①找夹边(ASA):②找其中一角的对边(AAS). 70 图形语言 B E B A B C E 直角三角形：(3)证明三角形 -角(ASA); 方法模型精讲练 1.【平移型】(2022柳州)如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AB= DE,BC=EF.有下列三个条件：①AC=DF,②∠ABC=∠DEF, ③∠ACB=∠DFE. (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF 你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得 分)，你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”或“SAS” 或“ASA”或“AAS”); (2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB∥DE. 2.【轴对称型】(2021百色)如图，点D,E分别是AB,AC的中点，BE, CD相交于点O,∠B=∠C,BD=CE. 求证：(1)0D=0E; (2)△ABE≌△ACD. 模型1平移型 【解题策略】 (1)在移动方向上加（或减）公 共线段，得到线段相等； (2)利用平行线的性质得到对 应角相等 模型2轴对称型 (1)有公共边（线段） (2)公共角或对顶角 解题策略】 (1)注意其中隐含的公共边或 公共角； (2)一组等边有公共顶点时， 常会用到“等边对等角”，得到 一组等角 71 3.【中心对称型】(2022桂林)如图，在□ABCD中，点E和点F是对角 线BD上的两点，且BF=DE. (1)求证：BE=DF; (2)求证：△ABE≌△CDF. 4.【一线三等角模型】如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形 ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落 在边CD的中点处，若BC=12,则AB的长为 D 第4题图 第5题图 5.【旋转（手拉手）模型】如图，AB=AC,AE=AD,点E在BD上，∠EAD= ∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度数为 () A.56° B.60°C.62° D.64° 72 模型3中心对称型 (1)共顶点 (2)不共顶点 【解题策略】 (1)找等边：加（或减）共线部 分，得到对应边相等； (2)找等角：对顶角相等或利 用平行线的性质找对应角 相等 【链接】一线三等角模型见 P78,旋转（手拉手）模型 见P80..BE=ED ⑧轴93060°①，22互余B90°0一半 在△ABE和△FDE中， 6子店-半@】®+松=c9相等②相等 (BE=DE, ∠AEB=∠FED ①45°21390°②4互余5a2+b2=c2 AE=FE. 即时自测 .△ABE≌△FDE(SAS), 1.(1)55(2)352.40°3.300 .∴.AB=DF,∠BAE=∠DFE 4.等腰直角三角形 ∠ADB是△ADC的外角， 母题变式练考点 .∴.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. 1（1)650(2)03②4(3)等勒三角形，3,25 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. 4 .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,.∠ADF=∠ADC. 2.√5-13.(1)①6②50(2)①60②52；25 .AB=DC,∴.DF=DC 4.C5.A (AD=AD. 6.(1)解：.∠CEF=62°，∠ACB=90°，∴.∠CBE=28° 在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC, BE平分∠ABC,∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°， FD=CD, .∴.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=34°. .∴△ADF≌△ADC(SAS),.∠C=∠AFD=∠BAE. (2)证明：∠ACB=90°，∠CBE+∠CEB=90°. 小专题2与角平分线有关的辅助线作法 .·CD⊥AB,∴.∠EBA+∠BFD=90°. 1 又.·BE平分∠ABC,.∠CBE=∠EBA,.∠CEF=∠BFD 12mn【解标】如解图，过点D作DE1AB,垂足为E,BD ,:∠BFD=∠CFE 是∠ABC的平分线，DE⊥AB,DC⊥BC,DE=CD=m, .∠CFE=∠CEF,.△CEF是等腰三角形 7.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° Sam=DE·AB=2mn 【变式3】80°或40° 8.16cm或14cm9.A 小专题1与中点有关的辅助线作法 1B2反四455 6号【安式2076 第1题解图 第3题解图 2.35 8.证明：如解图，连接0D. 3.证明：如解图，延长AD交BC于点F, ·∠BDC=∠BEC=90°，O为BC BE是角平分线，AD⊥BE, 的中点， .△ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. .OD=0E=0B=0C, 又.∠AFB=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. ∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 4.35.5 .·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， 6.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ 垂线，垂足分别为M,N, ∠BDO=2∠CBA, ∴.∠DMA=∠DNF=90° .∠B0E+∠C0D=120°，∠D0E=60°， AD平分∠BAC,.DM=DN .△DOE是等边三角形，.DE=OE. ∠EDF+∠BAC=180°. 【变式】4 ∴.∠AED+∠AFD=180°. 9.√710.14 .:∠DFN+∠AFD=180°， 11.证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. ∴.∠AED=∠DFN, D :AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. .△DEM≌△DFN(AAS), 解图1 又.·∠ADC=∠HDB,AD=HD, ∴.DE=DF .∴.△ADC≌△HIDB(SAS), .∴.AC=HB,∠CAD=∠H. ·AE=EF .∠EAF=∠AFE. .:∠AFE=∠BFH ∴.∠H=∠BFH,.BF=BH B D .BF=AC. 解图2 解图3 12.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF 解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG. AE是△ABD的中线， AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD. 又.·AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS) A0=BD=之B,AG=CB=4C 1 .·.∠AGD=∠AFD,DG=DF. .·∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， .BD=CE,.'.AD=AE,AB=AC. ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180°. (AB=AC, '∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED 在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A」 .DE=DG...DE=DF. AE=AD. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 .△ABE≌△ACD(SAS). 接D. 3.证明：(1)BF=DE, ·AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. ..BF-EF=DE-EF,..BE=DF. 又.·AD=AD,∴.△ADE≌△ADH(SAS), (2):四边形ABCD为平行四边形. .∠AED=∠AHD,DE=DH. ∴.AB=CD,且AB∥CD,.∴.∠ABE=∠CDF .·∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°. (AB=CD, ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180°. 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF .·∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD, BE=DF. ∴.DF=DH,∴.DE=DF. .△ABE≌△CDF(SAS) 7.解：解法一：如解图1，过点D作DEAB交BC于点E, 4.85.C ∠ABD=∠BDE. 第22节 相似三角形（含位似) BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, 核心知识全梳理 ∠BDE=∠DBC.BE=DE. ⑤EF ⑥G 设BE=DE=a,则CE=8-a. ①÷②32 3 9 DE AC Ea答子解得 3 ⑦相等⑧成比例⑨相似比①相似比①BC①AC A'C' .BE=DE 3CE-16.CD.C 8 B∠B=∠B'④∠B=∠B'(答案不唯一) 3AD BE =2. ⑤位似中心⑥相似比⑦(kx,y)或(-kx,-y) A 母题变式练考点 D 1.3-√52.2【变式】D 11 11 E 3.△4BC:2:36:93 解图1 4.证明：：AF,AG分别是△ABC和△ADE的高， 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 .AF⊥BC,AG⊥DE,.∠AFB=90°，∠AGD=90°， F,.∠FAB=∠ABD.∠F=∠DBC. .LBAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°. BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC, .·∠BAF=∠DAG,.∴.∠B=∠ADG. ∴.∠FAB=∠F,∴.BF=AB=4 .'∠EAD=∠BAC,∴.△ABC∽△ADE i0…0-器2 5.9 6.证明：(1)∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC, AD DE D ÷.△ADE∽△CDB,CDDB 又.·∠ADC=∠EDB,.△ACD∽△EBD B (2).·△ADE∽△CDB,∴.∠DCB=∠EAB. 解图2 .·CD平分∠ACB..∠ACD=∠BCD, 第21节全等三角形 .∠ACD=∠EAB. 核心知识全梳理 ,·∠AED=∠CEA,∴.△AED∽△CEA, ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 AE CE ⑦三边⑧夹角⑨夹边⑩对边 六DE-AEAE=DE·CE 方法模型精讲练 7.证明：在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60° 1.(1)①：SSS(答案不唯一) .·∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B=∠APD+∠DPC, (2)证明：，△ABC≌△DEF .∠DPC=∠PAB,.△ABP∽△PCD. ..∠A=∠EDF,.AB∥DE 8.135°9.D10.D 2.证明：(1)在△BOD和△COE中， 小专题3一线三等角模型 1∠BOD=∠COE, 例(1)证明：：CA⊥AB,DB⊥AB, ∠B=∠C ∴∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° BD=CE, CP⊥DP,∴∠CPA+∠DPB=90°， ∴△B0D≌△COE(AAS),.OD=OE. ∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2):点D,E分别是AB,AC的中点， (2)解：AP=BD(答案不唯一)