第4章 小专题2 与角平分线有关的辅助线作法-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

小专题2与角平分线有关的辅助线作法 (3年2考，2024.26,2023.23) 类型1 角平分线+垂线段→全等三角形(2024.26,2023.23) 【方法解读】 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于 情形1：垂两边 点D.若CD=m,AB=n,则△ABD的面积是 如图，P是∠AOB的平分线上一 点，PM1OA于点M. A 一B 2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点 作法：过，点P作PN⊥OB于 N,且AB=8,BC=13,MN=3,则△ABC的周长等于 ,点W 结论：△MOP≌△NOP. 情形2：垂中间 B 如图，OC是∠AOB的平分线， M ED⊥OC于点D. 3.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE,垂足为D.求证： A ∠2=∠1+∠C. —B 作法：延长ED交OB于，点F 2 结论：△EOF是等腰三角形， Rt△EOD≌Rt△FOD. 68 类型2角平分线+等线段→全等三角形 【方法解读】 4.【多解法】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,E是方法1：截长法 BD的中点，若AB=2BC,AD=6,则CE的长为 (AD平分∠BAC) 解法一：裁长法，在BA上裁取BF=BC,连接FE,构 在AB上 造全等三角形求解 截取 A AE=AC. 解法二：补短法，延长BC至点G,使CG=BC,连接 DG,构造全等三角形求解. B DC 连接DE B DO 5.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,AD=2,AC=3,则 结论：△AED≌△ACD. BC的长为 方法2：补短法 (AD平分∠BAC) 延长AC 至点F,使 AF=AB. B BDC连接DFBD 6.【多解法】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E,F分别在AB, 结论：△AFD≌△ABD. AC上，连接DE,DF.若∠BAC+∠EDF=180°，求证：DE=DF 解法一：作垂线，过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥ AC于点N,构造全等三角形求解. 解法二：裁长法，在AB上裁取AG=AF,连接DG, 构造全等三角形求解. 解法三：补短法，延长AC至点H,使AH=AE,连接 【方法解读】 DH,构造全等三角形求解. 方法1：作一边的平行线 如图，点D是∠ABC的平分线 BE上一点. A D B 作法：过点D作DF∥BC,交AB 类型3角平分线+平行线等腰三角形 于点F 7.【多解法】如图，在△ABC中，AB=4,BC=8,点D在AC边上，且 结论：△FBD是等腰三角形，FB m平分∠C,水06值 =FD 方法2：作角平分线的平行线 解法一：作一边的平行线，过点D作AB的平行 如图，BE是∠ABC的平分线，F D 线，再求解. 是AB上一点 解法二：作角平分线的平行线，过点A作AFBD A 交CB的延长线于点F,再求解. 作法：过，点F作FG∥BE交CB 的延长线于点G 结论：△FBG是等腰三角形，FB =GB. 69.BE=ED ⑧轴93060°①，22互余B90°0一半 在△ABE和△FDE中， 6子店-半@】®+松=c9相等②相等 (BE=DE, ∠AEB=∠FED ①45°21390°②4互余5a2+b2=c2 AE=FE. 即时自测 .△ABE≌△FDE(SAS), 1.(1)55(2)352.40°3.300 .∴.AB=DF,∠BAE=∠DFE 4.等腰直角三角形 ∠ADB是△ADC的外角， 母题变式练考点 .∴.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. 1（1)650(2)03②4(3)等勒三角形，3,25 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. 4 .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,.∠ADF=∠ADC. 2.√5-13.(1)①6②50(2)①60②52；25 .AB=DC,∴.DF=DC 4.C5.A (AD=AD. 6.(1)解：.∠CEF=62°，∠ACB=90°，∴.∠CBE=28° 在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC, BE平分∠ABC,∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°， FD=CD, .∴.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=34°. .∴△ADF≌△ADC(SAS),.∠C=∠AFD=∠BAE. (2)证明：∠ACB=90°，∠CBE+∠CEB=90°. 小专题2与角平分线有关的辅助线作法 .·CD⊥AB,∴.∠EBA+∠BFD=90°. 1 又.·BE平分∠ABC,.∠CBE=∠EBA,.∠CEF=∠BFD 12mn【解标】如解图，过点D作DE1AB,垂足为E,BD ,:∠BFD=∠CFE 是∠ABC的平分线，DE⊥AB,DC⊥BC,DE=CD=m, .∠CFE=∠CEF,.△CEF是等腰三角形 7.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° Sam=DE·AB=2mn 【变式3】80°或40° 8.16cm或14cm9.A 小专题1与中点有关的辅助线作法 1B2反四455 6号【安式2076 第1题解图 第3题解图 2.35 8.证明：如解图，连接0D. 3.证明：如解图，延长AD交BC于点F, ·∠BDC=∠BEC=90°，O为BC BE是角平分线，AD⊥BE, 的中点， .△ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. .OD=0E=0B=0C, 又.∠AFB=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. ∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 4.35.5 .·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， 6.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ 垂线，垂足分别为M,N, ∠BDO=2∠CBA, ∴.∠DMA=∠DNF=90° .∠B0E+∠C0D=120°，∠D0E=60°， AD平分∠BAC,.DM=DN .△DOE是等边三角形，.DE=OE. ∠EDF+∠BAC=180°. 【变式】4 ∴.∠AED+∠AFD=180°. 9.√710.14 .:∠DFN+∠AFD=180°， 11.证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. ∴.∠AED=∠DFN, D :AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. .△DEM≌△DFN(AAS), 解图1 又.·∠ADC=∠HDB,AD=HD, ∴.DE=DF .∴.△ADC≌△HIDB(SAS), .∴.AC=HB,∠CAD=∠H. ·AE=EF .∠EAF=∠AFE. .:∠AFE=∠BFH ∴.∠H=∠BFH,.BF=BH B D .BF=AC. 解图2 解图3 12.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF 解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG. AE是△ABD的中线， AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD. 又.·AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS) A0=BD=之B,AG=CB=4C 1 .·.∠AGD=∠AFD,DG=DF. .·∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， .BD=CE,.'.AD=AE,AB=AC. ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180°. (AB=AC, '∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED 在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A」 .DE=DG...DE=DF. AE=AD. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 .△ABE≌△ACD(SAS). 接D. 3.证明：(1)BF=DE, ·AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. ..BF-EF=DE-EF,..BE=DF. 又.·AD=AD,∴.△ADE≌△ADH(SAS), (2):四边形ABCD为平行四边形. .∠AED=∠AHD,DE=DH. ∴.AB=CD,且AB∥CD,.∴.∠ABE=∠CDF .·∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°. (AB=CD, ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180°. 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF .·∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD, BE=DF. ∴.DF=DH,∴.DE=DF. .△ABE≌△CDF(SAS) 7.解：解法一：如解图1，过点D作DEAB交BC于点E, 4.85.C ∠ABD=∠BDE. 第22节 相似三角形（含位似) BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, 核心知识全梳理 ∠BDE=∠DBC.BE=DE. ⑤EF ⑥G 设BE=DE=a,则CE=8-a. ①÷②32 3 9 DE AC Ea答子解得 3 ⑦相等⑧成比例⑨相似比①相似比①BC①AC A'C' .BE=DE 3CE-16.CD.C 8 B∠B=∠B'④∠B=∠B'(答案不唯一) 3AD BE =2. ⑤位似中心⑥相似比⑦(kx,y)或(-kx,-y) A 母题变式练考点 D 1.3-√52.2【变式】D 11 11 E 3.△4BC:2:36:93 解图1 4.证明：：AF,AG分别是△ABC和△ADE的高， 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 .AF⊥BC,AG⊥DE,.∠AFB=90°，∠AGD=90°， F,.∠FAB=∠ABD.∠F=∠DBC. .LBAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°. BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC, .·∠BAF=∠DAG,.∴.∠B=∠ADG. ∴.∠FAB=∠F,∴.BF=AB=4 .'∠EAD=∠BAC,∴.△ABC∽△ADE i0…0-器2 5.9 6.证明：(1)∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC, AD DE D ÷.△ADE∽△CDB,CDDB 又.·∠ADC=∠EDB,.△ACD∽△EBD B (2).·△ADE∽△CDB,∴.∠DCB=∠EAB. 解图2 .·CD平分∠ACB..∠ACD=∠BCD, 第21节全等三角形 .∠ACD=∠EAB. 核心知识全梳理 ,·∠AED=∠CEA,∴.△AED∽△CEA, ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 AE CE ⑦三边⑧夹角⑨夹边⑩对边 六DE-AEAE=DE·CE 方法模型精讲练 7.证明：在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60° 1.(1)①：SSS(答案不唯一) .·∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B=∠APD+∠DPC, (2)证明：，△ABC≌△DEF .∠DPC=∠PAB,.△ABP∽△PCD. ..∠A=∠EDF,.AB∥DE 8.135°9.D10.D 2.证明：(1)在△BOD和△COE中， 小专题3一线三等角模型 1∠BOD=∠COE, 例(1)证明：：CA⊥AB,DB⊥AB, ∠B=∠C ∴∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° BD=CE, CP⊥DP,∴∠CPA+∠DPB=90°， ∴△B0D≌△COE(AAS),.OD=OE. ∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2):点D,E分别是AB,AC的中点， (2)解：AP=BD(答案不唯一)