第4章 小专题1 与中点有关的辅助线作法-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

.BE=ED ⑧轴93060°①，22互余B90°0一半 在△ABE和△FDE中， 6子店-半@】®+松=c9相等②相等 (BE=DE, ∠AEB=∠FED ①45°21390°②4互余5a2+b2=c2 AE=FE. 即时自测 .△ABE≌△FDE(SAS), 1.(1)55(2)352.40°3.300 .∴.AB=DF,∠BAE=∠DFE 4.等腰直角三角形 ∠ADB是△ADC的外角， 母题变式练考点 .∴.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. 1（1)650(2)03②4(3)等勒三角形，3,25 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. 4 .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,.∠ADF=∠ADC. 2.√5-13.(1)①6②50(2)①60②52；25 .AB=DC,∴.DF=DC 4.C5.A (AD=AD. 6.(1)解：.∠CEF=62°，∠ACB=90°，∴.∠CBE=28° 在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC, BE平分∠ABC,∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°， FD=CD, .∴.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=34°. .∴△ADF≌△ADC(SAS),.∠C=∠AFD=∠BAE. (2)证明：∠ACB=90°，∠CBE+∠CEB=90°. 小专题2与角平分线有关的辅助线作法 .·CD⊥AB,∴.∠EBA+∠BFD=90°. 1 又.·BE平分∠ABC,.∠CBE=∠EBA,.∠CEF=∠BFD 12mn【解标】如解图，过点D作DE1AB,垂足为E,BD ,:∠BFD=∠CFE 是∠ABC的平分线，DE⊥AB,DC⊥BC,DE=CD=m, .∠CFE=∠CEF,.△CEF是等腰三角形 7.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° Sam=DE·AB=2mn 【变式3】80°或40° 8.16cm或14cm9.A 小专题1与中点有关的辅助线作法 1B2反四455 6号【安式2076 第1题解图 第3题解图 2.35 8.证明：如解图，连接0D. 3.证明：如解图，延长AD交BC于点F, ·∠BDC=∠BEC=90°，O为BC BE是角平分线，AD⊥BE, 的中点， .△ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. .OD=0E=0B=0C, 又.∠AFB=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. ∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 4.35.5 .·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， 6.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ 垂线，垂足分别为M,N, ∠BDO=2∠CBA, ∴.∠DMA=∠DNF=90° .∠B0E+∠C0D=120°，∠D0E=60°， AD平分∠BAC,.DM=DN .△DOE是等边三角形，.DE=OE. ∠EDF+∠BAC=180°. 【变式】4 ∴.∠AED+∠AFD=180°. 9.√710.14 .:∠DFN+∠AFD=180°， 11.证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. ∴.∠AED=∠DFN, D :AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. .△DEM≌△DFN(AAS), 解图1 又.·∠ADC=∠HDB,AD=HD, ∴.DE=DF .∴.△ADC≌△HIDB(SAS), .∴.AC=HB,∠CAD=∠H. ·AE=EF .∠EAF=∠AFE. .:∠AFE=∠BFH ∴.∠H=∠BFH,.BF=BH B D .BF=AC. 解图2 解图3 12.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF 解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG. AE是△ABD的中线， AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD. 又.·AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS) A0=BD=之B,AG=CB=4C 1 .·.∠AGD=∠AFD,DG=DF. .·∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， .BD=CE,.'.AD=AE,AB=AC. ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180°. (AB=AC, '∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED 在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A」 .DE=DG...DE=DF. AE=AD. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 .△ABE≌△ACD(SAS). 接D. 3.证明：(1)BF=DE, ·AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. ..BF-EF=DE-EF,..BE=DF. 又.·AD=AD,∴.△ADE≌△ADH(SAS), (2):四边形ABCD为平行四边形. .∠AED=∠AHD,DE=DH. ∴.AB=CD,且AB∥CD,.∴.∠ABE=∠CDF .·∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°. (AB=CD, ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180°. 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF .·∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD, BE=DF. ∴.DF=DH,∴.DE=DF. .△ABE≌△CDF(SAS) 7.解：解法一：如解图1，过点D作DEAB交BC于点E, 4.85.C ∠ABD=∠BDE. 第22节 相似三角形（含位似) BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, 核心知识全梳理 ∠BDE=∠DBC.BE=DE. ⑤EF ⑥G 设BE=DE=a,则CE=8-a. ①÷②32 3 9 DE AC Ea答子解得 3 ⑦相等⑧成比例⑨相似比①相似比①BC①AC A'C' .BE=DE 3CE-16.CD.C 8 B∠B=∠B'④∠B=∠B'(答案不唯一) 3AD BE =2. ⑤位似中心⑥相似比⑦(kx,y)或(-kx,-y) A 母题变式练考点 D 1.3-√52.2【变式】D 11 11 E 3.△4BC:2:36:93 解图1 4.证明：：AF,AG分别是△ABC和△ADE的高， 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 .AF⊥BC,AG⊥DE,.∠AFB=90°，∠AGD=90°， F,.∠FAB=∠ABD.∠F=∠DBC. .LBAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°. BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC, .·∠BAF=∠DAG,.∴.∠B=∠ADG. ∴.∠FAB=∠F,∴.BF=AB=4 .'∠EAD=∠BAC,∴.△ABC∽△ADE i0…0-器2 5.9 6.证明：(1)∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC, AD DE D ÷.△ADE∽△CDB,CDDB 又.·∠ADC=∠EDB,.△ACD∽△EBD B (2).·△ADE∽△CDB,∴.∠DCB=∠EAB. 解图2 .·CD平分∠ACB..∠ACD=∠BCD, 第21节全等三角形 .∠ACD=∠EAB. 核心知识全梳理 ,·∠AED=∠CEA,∴.△AED∽△CEA, ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 AE CE ⑦三边⑧夹角⑨夹边⑩对边 六DE-AEAE=DE·CE 方法模型精讲练 7.证明：在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60° 1.(1)①：SSS(答案不唯一) .·∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B=∠APD+∠DPC, (2)证明：，△ABC≌△DEF .∠DPC=∠PAB,.△ABP∽△PCD. ..∠A=∠EDF,.AB∥DE 8.135°9.D10.D 2.证明：(1)在△BOD和△COE中， 小专题3一线三等角模型 1∠BOD=∠COE, 例(1)证明：：CA⊥AB,DB⊥AB, ∠B=∠C ∴∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° BD=CE, CP⊥DP,∴∠CPA+∠DPB=90°， ∴△B0D≌△COE(AAS),.OD=OE. ∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2):点D,E分别是AB,AC的中点， (2)解：AP=BD(答案不唯一)小专题1与中点有关的辅助线作法 (必考，2025.16,2024.24,2023.18) 类型1构造中位线(2023.18) 【方法解读】 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2,BC=5,点E,F分别是 情形1：有两个中点时. 对角线AC,BD的中点，则EF的长为 () (D,E分别是AB,AC中点) (1)连接两中点构造中位线。 A.1 B.1.5 C.2.5 D.3.5 D入E连接DED人E B C B入 (2)连接两条线段的端点，构造 含中位线的三角形 2.（2023广西18题)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分 别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF,AF的中点，则MN的最 大值为 结论：DE∥BC,且DE= 2 BC, △ADE∽△ABC. 情形2：只有一个中点时. (D为AB的中，点) B (1)在三角形内作平行线. 过点D作 3.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D,E分别为AB,BC的 DE∥BC D,2E 中点，EF⊥AC于点F,G为EF的中点，连接DG,则DG的长 B B 为 结论：DE= BC,△ADE △ABC. (2)在三角形外作平行线。 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D为AC边的中点，点E在BC 边上，连接DE.若AB=4,∠DEC=60°，则DE的长为 作法：过，点A作AC∥DE,交BE 的延长线于点C,或延长BE到 C,使BE=CE. 5.如图，在△ABC中，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC交AB于 结论：①DE∥AC,②DE=24C: 点F,交CB的延长线于点E.若F为DE的中点，BF=5,则AF的 ③△DBE∽△ABC;④S△BE= 长为 65 类型2构造中线(2025.16,2024.24) 【方法解读】 6.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC边的中点，MW情形1：当遇直角三角形斜边上 ⊥AC于点N,则MN的长度为 的中点时，考虑作斜边上的中 线.(D为斜边AB的中点) 连接CD D B M B 变式如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=50°，点D是BC的 中点，延长BA至点E,使得AE=BD,连接DE,则∠BED的度数 结论：CD=AD=BD=2AB 为 情形2：当遇等腰三角形底边上 的中点时，考虑作底边上的中 线，利用“三线合一”解题.(AB =AC,D是BC的中点) 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是AC,AB的中点，延 连接AD 长BC至点F,使CF=BF,连接DE,DF,若AB=12,则DF的长 B 为 结论：AD⊥BC,AD平分∠BAC 8.如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中 点，BD,CE相交于点A,∠BAC=120°.求证：DE=OE. 变式如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD,E,F分别为 AC,BD的中点，AC=8,连接EF,则EF的长为 66 类型3构造倍长中线（或类中线)】 【方法解读】 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，E是AB情形1：当遇三角形中存在中线 边上一点，DF⊥DE交AC于点F,连接EF,若BE=2,CF=5, 时，考虑倍长中线构造全等三角 则EF的长为 形.(AD是BC边上的中线) 倍长中线 构造全等 B 辅助线作法1：延长AD至，点E, 10.【多解法】如图，在口ABCD中，点E是CD的中点，连接AE,过点 使得DE=AD,连接BE; E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF.若∠AFB=28°，则∠DAE 辅助线作法2：过，点B作BE∥AC 的度数为 交AD的延长线于点E. 结论：△BDE≌△CDA. 情形2：当遇三角形中存在一条 C F 线段过一边的中点时，考虑延长 11.如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F,连接BF并延长 这条线段，作等线段或作平行线 交AC于点E,使AE=EF,求证：BF=AC 与这条线段的延长线交于一点 构造全等三角形.(D是边BC的 中点，E是边AB上一点) 倍长类中线 E 枸造全等E B D C B DC 辅助线作法1：延长ED到点F, 使DF=ED,连接CF; 辅助线作法2：过点C作CF∥AB 交ED的延长线于点F 12.如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.求 结论：△BDE≌△CDF 证：∠C=∠BAE. 67