第4章 第22节 相似三角形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第22节 相似三角形（含位似） 核心知识全梳理 知识点1比例线段及性质（含黄金分割） 1.成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 即al=bc),我们就说这四条线段成比例. a c 2.比例的性质 若号京则ad=c: 基本性质 (2)若ad=加(a,6c,d标不为0)，则号 若3x=5y,则5=② ① 若=c b d (b+d+…+n≠0)，则 n 等比性质 若=、2 a+c+...+m_a -子(6d≠0)，则③ b+d+…+nb 合比性质 李之C山十b-C二2C—Z b 6db=d(d≠0) n 3.黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,且 且G=BG,那么就说线段AB被点C黄金分割，点 C叫作线段AB的黄金分刹点，AC与AB的比叫作黄金比，即AC-5-1-0.618 AB 2 C B 4.平行线分线段成比例 文字语言 符号语言 图形语言 两条直线被一组平行 基本 若4，/以，则-DE BC=EF' 线所截，所得的对应 事实 线段成比例 提股- 平行于三角形一边的 直线截其他两边（或 推论 若DEBC,则AD_AEAD DB EC'AB 两边的延长线)，所得 ⑥ 的对应线段成比例 73 知识点2相似三角形的性质与判定(2025.22、23,2024.12、26) (1)相似三角形的对应角⑦ 对应边⑧ 性质 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于⑨ (3)相似三角形的周长比等于⑩ ,面积比等于相似比的平方 文字语言 符号语言 图形语言 平行于三角形一边的直线和其 .DE/① 他两边相交，所构成的三角形 ∴.△ADE∽△ABC 与原三角形相似 AB BC 三边对应成比例的两个三角形 ABB'C =② 判定 相似 ∴.△ABC∽△A'B'C' 两边对应成比例且夹角相等的 AB BC 两个三角形相似 ARBCB ∴.△ABC∽△A'B'C 两角对应相等的两个三角形 .∠A=∠A',④ 相似 .·.△ABC∽△A'B'C 【特别提醒】相似三角形的分类讨论：①当对应顶点不确定时，需要分类讨论；②当两个相似三角形没有 用“∽”连接时，需分类讨论。 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： (1)有平行截线→用平行线的性质找等角； (2)有一对等角我另一对等角， 该角的两边对应成比例； 找夹角相等， (3)有两边成比例 第三边也对应成比例； 「斜边和一条直角边对应成比例， (4)有两个直角三角形找 对锐角相等， 两组直角边对应成比例 知识点3 位似 图形 如果一个图形上的点A,B,…,P,…和另一个图形上的点A',B',…,P',…分别对应，并且它 定义 们的流线4从，服一，p…经过时一点0，=一郑么这商个性 OA'OB' 形叫作位似图形，点0是⑤ 74 续表 (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)对应点的连线所在直线都经过同一点； (3)对应边互相平行或在同一条直线上： (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑥ 性质 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它与原 图形的相似比为k,那么原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为⑦ (注意：有两种情况) 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似 (1)确定位似中心； 作图步骤 (2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； (3)顺次连接各点画出新图形 母题变式练考点 考点1比例线段及性质（含黄金分割） 1.(2021百色)如图，△ABC中，AB=AC,∠B=72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D,则，点D是线段 AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= 2.（人教九下P29探究改编)如图，AB//CD/EF,直线I1,l2与这三条平行线分别交于点A,C,E和点 B,D,F.已知AC=3,CE=6,BF=6,则BD的长为 A∠B E 变式下面是小明画线段AB的三等分点的步骤（如图）：①以A为端点画一条射线；②用圆规在射 线上依次截取3条等长线段AC,CD,DE,连接BE:③过点C,D分别作BE的平行线，交线段AB于 点M,N.M,N就是线段AB的三等分点. 这个过程体现的数学依据是 A.两直线平行，同位角相等 B.两条平行线之间的距离处处相等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 75 考点2相似三角形的性质与判定 3.【A字型】（人教九下P31T2改编）如图，△ABC 模型1A字型 中，点D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E. D (1)正A字型 若AD=3,AE=2,BD=6,则△ADE∽ 若DEBC,则△ADE∽△ABC. B AE AE EC AC ,AC= D S AADE二 B4 ,△ADE与△ABC的周长比为 S△ABC (2)斜A字型 4.【A字型】如图，AF,AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF= 若∠1=∠2，则△ADE∽△ABC ∠DAG.求证：△ABC∽△ADE. B C(D 【解题策略】 (1)隐藏条件：公共角相等； (2)找平行线或另一组等角或 公共角的两边对应成比例. 5.【8字型】(2024广西24题改编)如图，延长平行四边形ABCD一边模型28字型 若∠1=∠2，则△ADE∽△ABC 至点F,连接AF交CD于点E,若=，BC=3,则CP的长 (1)正8字型(X型) 为 EX1/D B4 (2)反8字型（蝶型） 6.【8字型】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，射线CD交AB于点D,E D 是射线CD上一点，且∠AEC=∠ABC,连接BE. (1)求证：△ACD∽△EBD; (2)若CD平分∠ACB,求证：AE2=DE·CE. 【解题策略】 (1)隐藏条件：对顶角相等； (2)找平行线或另一组等角或 对顶角的两边对应成比例： (3)当题目中未标明相似三角 形对应顶点时，需要分类 讨论 【链接】一线三等角模型见 P78,旋转（手拉手）模型 见P80. 76 7.【一线三等角模型】如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上的一点，D为AC上的一点，连接 AP,PD,∠APD=60°.求证：△ABP∽△PCD. 160° 8.【旋转（手拉手）模型】（人教九上P63T10改编）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=90°，将 △ABC绕，点C顺时针旋转后得到△EDC,连接AE,BD相交于点F,则∠BFE的度数为 考点3位似 0A1 9.(2022梧州)如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知 A3,若四 边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是 () A.4 B.6 C.16 D.18 A(-3,6)y B B(-9,-3) 第9题图 第10题图 10.（人教九下P50T2改编)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点0为 位似中心，相似比为？把△AB0缩小，则点A的对应点4的坐标是 () A.(-1,2) B.(-9,18) C.(-9,18)或(9，-18) D.(-1,2)或(1，-2) 77.BE=ED ⑧轴93060°①，22互余B90°0一半 在△ABE和△FDE中， 6子店-半@】®+松=c9相等②相等 (BE=DE, ∠AEB=∠FED ①45°21390°②4互余5a2+b2=c2 AE=FE. 即时自测 .△ABE≌△FDE(SAS), 1.(1)55(2)352.40°3.300 .∴.AB=DF,∠BAE=∠DFE 4.等腰直角三角形 ∠ADB是△ADC的外角， 母题变式练考点 .∴.∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD. 1（1)650(2)03②4(3)等勒三角形，3,25 .·∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD. 4 .∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,.∠ADF=∠ADC. 2.√5-13.(1)①6②50(2)①60②52；25 .AB=DC,∴.DF=DC 4.C5.A (AD=AD. 6.(1)解：.∠CEF=62°，∠ACB=90°，∴.∠CBE=28° 在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC, BE平分∠ABC,∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°， FD=CD, .∴.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=34°. .∴△ADF≌△ADC(SAS),.∠C=∠AFD=∠BAE. (2)证明：∠ACB=90°，∠CBE+∠CEB=90°. 小专题2与角平分线有关的辅助线作法 .·CD⊥AB,∴.∠EBA+∠BFD=90°. 1 又.·BE平分∠ABC,.∠CBE=∠EBA,.∠CEF=∠BFD 12mn【解标】如解图，过点D作DE1AB,垂足为E,BD ,:∠BFD=∠CFE 是∠ABC的平分线，DE⊥AB,DC⊥BC,DE=CD=m, .∠CFE=∠CEF,.△CEF是等腰三角形 7.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° Sam=DE·AB=2mn 【变式3】80°或40° 8.16cm或14cm9.A 小专题1与中点有关的辅助线作法 1B2反四455 6号【安式2076 第1题解图 第3题解图 2.35 8.证明：如解图，连接0D. 3.证明：如解图，延长AD交BC于点F, ·∠BDC=∠BEC=90°，O为BC BE是角平分线，AD⊥BE, 的中点， .△ABF是等腰三角形，且∠2=∠AFB. .OD=0E=0B=0C, 又.∠AFB=∠1+∠C,∴.∠2=∠1+∠C. ∴.∠CBA=∠BDO,∠BCA=∠CEO. 4.35.5 .·∠BAC=120°，∴.∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°， 6.证明：解法一：作垂线.如解图1，过点D分别作AB,AC的 .·∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA,∠COD=∠CBA+ 垂线，垂足分别为M,N, ∠BDO=2∠CBA, ∴.∠DMA=∠DNF=90° .∠B0E+∠C0D=120°，∠D0E=60°， AD平分∠BAC,.DM=DN .△DOE是等边三角形，.DE=OE. ∠EDF+∠BAC=180°. 【变式】4 ∴.∠AED+∠AFD=180°. 9.√710.14 .:∠DFN+∠AFD=180°， 11.证明：如解图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. ∴.∠AED=∠DFN, D :AD是△ABC的中线，∴.BD=CD. .△DEM≌△DFN(AAS), 解图1 又.·∠ADC=∠HDB,AD=HD, ∴.DE=DF .∴.△ADC≌△HIDB(SAS), .∴.AC=HB,∠CAD=∠H. ·AE=EF .∠EAF=∠AFE. .:∠AFE=∠BFH ∴.∠H=∠BFH,.BF=BH B D .BF=AC. 解图2 解图3 12.证明：如解图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF 解法二：截长法.如解图2，在AB上截取AG=AF,连接DG. AE是△ABD的中线， AD平分∠BAC,.∠GAD=∠FAD. 又.·AD=AD,∴.△ADG≌△ADF(SAS) A0=BD=之B,AG=CB=4C 1 .·.∠AGD=∠AFD,DG=DF. .·∠GED+∠EDF+∠DFA+∠FAE=360°， .BD=CE,.'.AD=AE,AB=AC. ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠GED+∠DFA=180°. (AB=AC, '∠EGD+∠AGD=180°，∴.∠EGD=∠GED 在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A」 .DE=DG...DE=DF. AE=AD. 解法三：补短法.如解图3，延长AC至点H,使AH=AE,连 .△ABE≌△ACD(SAS). 接D. 3.证明：(1)BF=DE, ·AD平分∠BAC,.∠EAD=∠HAD. ..BF-EF=DE-EF,..BE=DF. 又.·AD=AD,∴.△ADE≌△ADH(SAS), (2):四边形ABCD为平行四边形. .∠AED=∠AHD,DE=DH. ∴.AB=CD,且AB∥CD,.∴.∠ABE=∠CDF .·∠AED+∠BAC+∠AFD+∠EDF=360°. (AB=CD, ∠EDF+∠BAC=180°，∴.∠AED+∠AFD=180°. 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF .·∠AFD+∠DFH=180°，∴.∠AED=∠DFH=∠AHD, BE=DF. ∴.DF=DH,∴.DE=DF. .△ABE≌△CDF(SAS) 7.解：解法一：如解图1，过点D作DEAB交BC于点E, 4.85.C ∠ABD=∠BDE. 第22节 相似三角形（含位似) BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, 核心知识全梳理 ∠BDE=∠DBC.BE=DE. ⑤EF ⑥G 设BE=DE=a,则CE=8-a. ①÷②32 3 9 DE AC Ea答子解得 3 ⑦相等⑧成比例⑨相似比①相似比①BC①AC A'C' .BE=DE 3CE-16.CD.C 8 B∠B=∠B'④∠B=∠B'(答案不唯一) 3AD BE =2. ⑤位似中心⑥相似比⑦(kx,y)或(-kx,-y) A 母题变式练考点 D 1.3-√52.2【变式】D 11 11 E 3.△4BC:2:36:93 解图1 4.证明：：AF,AG分别是△ABC和△ADE的高， 解法二：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 .AF⊥BC,AG⊥DE,.∠AFB=90°，∠AGD=90°， F,.∠FAB=∠ABD.∠F=∠DBC. .LBAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°. BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC, .·∠BAF=∠DAG,.∴.∠B=∠ADG. ∴.∠FAB=∠F,∴.BF=AB=4 .'∠EAD=∠BAC,∴.△ABC∽△ADE i0…0-器2 5.9 6.证明：(1)∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC, AD DE D ÷.△ADE∽△CDB,CDDB 又.·∠ADC=∠EDB,.△ACD∽△EBD B (2).·△ADE∽△CDB,∴.∠DCB=∠EAB. 解图2 .·CD平分∠ACB..∠ACD=∠BCD, 第21节全等三角形 .∠ACD=∠EAB. 核心知识全梳理 ,·∠AED=∠CEA,∴.△AED∽△CEA, ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 AE CE ⑦三边⑧夹角⑨夹边⑩对边 六DE-AEAE=DE·CE 方法模型精讲练 7.证明：在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60° 1.(1)①：SSS(答案不唯一) .·∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B=∠APD+∠DPC, (2)证明：，△ABC≌△DEF .∠DPC=∠PAB,.△ABP∽△PCD. ..∠A=∠EDF,.AB∥DE 8.135°9.D10.D 2.证明：(1)在△BOD和△COE中， 小专题3一线三等角模型 1∠BOD=∠COE, 例(1)证明：：CA⊥AB,DB⊥AB, ∠B=∠C ∴∠A=∠B=90°，∴.∠C+∠CPA=90° BD=CE, CP⊥DP,∴∠CPA+∠DPB=90°， ∴△B0D≌△COE(AAS),.OD=OE. ∴.∠C=∠DPB,.△ACP∽△BPD: (2):点D,E分别是AB,AC的中点， (2)解：AP=BD(答案不唯一)