第4章 第18节 线段、角、相交线与平行线-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

母题变式练考点 第15节二次函数的图象与性质 1C2A【变式A304B5y= 核心知识全梳理 6.解：(1)点B的坐标为(4，-2).【解法提示】如解图，过A ①上@下=名④（会，产）⑤小0大 2a 作AE⊥y轴于E,过B作BF⊥x轴于F,则∠AEO=∠BFO ⑦减小⑧增大⑨左侧①右侧①>0②<0B=0 =90°.：A(2,4),∴.AE=2,0E=4.由旋转的性质，得0A= OB,∠AOB=90°，∴.∠AOE=∠B0F.在△AOE和△B0F 2名0西异号c-0c<0国6-4a<0 I∠AOE=∠BOF, 即时自测 中，了∠AE0=∠BFO,.△AOE≌△BOF(AAS),∴BF=AE 1.(1)下：x=1;(0,3);大；大；4；(1,4)(2)增大；3 OA=OB. 2.①②③④⑤⑧ =2,0F=0E=4,∴.点B的坐标为(4，-2) 3.(1)x1=-1,2=3(2)x1=-1,x2=3 母题变式练考点 1.D2.<;<【变式】y2>y1>y 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 2a 对称轴为直线x= =-1. 2a H B (2)a<0, (2)设C(a,b).过C作CG⊥EA交EA的延长线于G,过B 作BH⊥GC交GC的延长线于H. ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+2= I∠ACG=∠BCH, a2-a+2. 在△ACG和△BCH中， ∠G=∠H, ·当-2≤x≤1时，函数的最大值为4. AC=BC. .∴.a2-a+2=4,解得a1=-1,a,=2(不合题意，舍去) ∴.△ACG≌△BCH(AAS),∴.AG=BH,CG=CH, ∴.a=-1. a-2=4-a,4-b=b+2,a=3,b=1,C(3,1) 4.D5.C :双曲线的函数解析式为y=”(m≠0)，且点C在双曲线 6.（1)x1=-3,x2=0(2)2(3)①y=x+3②x1=-3,x2=1 【拓展设问】-3<x<1 上1= 3m=3, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 3 核心知识全梳理 ∴.双曲线的函数解析式为y=- ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m 设直线AB的函数解析式为y=x+b'. ⑤a2+bx+c-m 起04，s4-2》代2年 即时自测 (-2=4k+b' 1.y=x2+22.y=3(x+2)2-1 .直线AB的函数解析式为y=-3x+10. 3.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度（答 1A8D94≤1≤0 53 案不唯一) 母题变式练考点 第14节反比例函数综合 1.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+9, ①之1②11③1④211⑤2I1⑥k1-k1 把(0，-8)代入解析式，得a+9=-8,解得a=-17, ..二次函数的解析式为y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8. 1.-62.B3.84.C (2)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为 例1B;>;<;>;> (-2,0), 例22；一、二、三；一、三；2x2+2x-5=0:>;两个不相等；2 .抛物线与x轴的另一个交点为(4,0) 例3-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1;<;>;<;>;-3<x<0或x 设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4), >1;x<-3或0<x<1 5.b<-2或b>2 把(0,12)代入解折式，得-8a=12,解得a=, 6.(1)5:(0.-5) (2②)解：反比例函数的解析式为y是(x>0)。 二次函数的解折式为y=之(x+24)=子+3+12 (3)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-5, 一次函数的解析式为y=2x-5. 5 把(0,0)代入解析式，得4a-5=0,解得a= (3)由题意得0<x<4. 4 (4)解：设点M的坐标为(m,12),其中m>0. 5 m 二次函数的解折式为y子(x-2)-5-5x S△M0B=1 0Bm=5,0B=55= 5m, (4)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x+3), 根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=-2. ∴.m=2,∴.点M的坐标为(2,6). 函数有最小值-5，顶点坐标为(-2，-5)， 代入解析式，得-a=-5,解得a=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分是 .二次函数的解析式为y=5(x+1)(x+3)=5x2+20x+15. 等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高为 (5)当x=2时，函数的最大值是1， 顶点坐标为(2,1)，抛物线的对称轴为直线x=2 7-1- 函数图象与x轴两个交点之间的距离为2， 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= .交点坐标分别为(1,0)，(3,0 设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3), 5,(0≤x≤2) 把(2,1)代入，得-a=1,解得a=-1. V5,(2<x≤5) .二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 2.A3.D4.C 4(7-x)只.(5<≤7) 第17节二次函数的综合应用 第四章三角形 35 1. 第18节线段、角、相交线与平行线 2.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 核心知识全梳理 ∴.y=x(40-2x)=-2x2+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20): ①两2线段③Bc④Bc⑤4B⑥ ⑦一⑧垂线段 (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. ⑨垂线段的长度090°①90°<a<180°②180°B360 -2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200. ④14524090°⑦相等⑧180°9相等②@相等 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积为 @相等2相等②∠2或∠4②④∠1或∠3雪180° 200m2. 四∠3②⑦L4四相等9∠5团L6①∠72∠8 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) 3L8④∠55∠50∠8⑦垂直8相等9垂直平 (2)W=-10x2+200x+15000 分线⑩一①∥2相等④3L2④相等5∠3 (3)10:16000 ④0互补④⑦180°⑧距离9相等 （4解：由题意，得10%≤150-100-≤30%. 即时自测 100 1.两点确定一条直线2.5 解得20≤x≤40. 3.(1)50(2)20(3)2 由(2)知，W=-10x+200x+15000=-10(x-10)2+16000. 4.(1)∠2：∠5(2)∠5：∠7(3)A :-10<0,.当x=20时，W取得最大值15000. 5.(1)⊥：=(2)=6.①③⑤6：⑤ 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 母题变式练考点 利润为15000元. 1.A【变式】两点之间，线段最短 4.解：(1)：正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 2.2或43.C 全等， 4.(1)锐角(2)42.7：85.4(3)3(4)①②③④ ∴.AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,∠A= 5.D6.C ∠D=90°.EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD. 7.C ∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， ∴.∠EHG=90°，.四边形EFGH是正方形， 【变式】互为补角的两个角有公共顶点且有一条公共边；假 .y=AE2+A㎡=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. 第19节三角形及其基本性质 (2)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 核心知识全梳理 解得x=1或x=3, ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 .当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. ⑧B⑨大于⑩<①大角②90°B内部@直角 (3)四边形EFGH的面积存在最小值. ⑤内部西外部⑩内部⑧】⑩】④}@相等 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2 2>0..当x=2时，y有最小值，最小值为8， ②中点8EF87 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 5.C6.B【变式1】B 即时自测 【变式2】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三角 1.C2.D3.D4.3 形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高为 母题变式练考点 2x, 1.B2.6(答案不唯一)3.(1)30°(2)直角三角形 4.B5.(1)①4②8(2)①12°②5：3③3 6.(1)高；6(2)角平分线①65°②15③110° 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分是 (3)中线①12②22 △A'B'C',底边为2，底边上对应的高为3， 第20节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 y=×2x5=5 ①相等②相等③∠C④1⑤相等⑥相等⑦60第四章 三角形 第18节 线段、角、相交线与平 核心知识全梳理 知识点1直线、线段、 垂线(2025.8) 1.直线和线段 两个基 (1)① 点确定一条直线：(2)两点之间，② 本事实 最短 两点的距离 连接两点间的线段的长度 如图，在线段AC上有一点B, 线段的 则AB+③ =AC:AB=AC-④ 和、差 BC=AC-⑤ A BM 如图，点M把线段AC分成相等的两条线段AM和 线段的 概念 MC,则点M叫作线段AC的中点 中点 性质 若M是线段AC的中点，则AM=CM=⑥ 2.垂线 在同一平面内，过一点有且只有⑦ 条直线 基本事实 与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段的性质 ⑧ 最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的⑨ 知识点2 角和角的平分线(2024.6) 1.角的分类 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 角度0°<a<90° a=0 ① X=② 4=③ 2.度、分、秒之间的换算：1°=60'，1'=60.如7.24°=7°④ 5 3.余角、补角 定义 性质 若∠1+∠2=⑥ ,则∠1与∠2 同角（等角）的余角 余角 互为余角 0 若∠1+∠2=⑧ ,则∠1与∠2 同角（等角）的补角 补角 互为补角 9 54 行线 即时自测 1.如图，经过刨平的木板上的两 个点，能且只能弹出一条笔直 的墨线，能解释这一实际应用 的数学原理是 2.在直线L上从左到右取点A, B,C,若AB=3,AC=8,则BC 即时自测 3.如图，∠AOB=40°，OC平分 ∠AOB,点P在OC上，PD⊥OB. (1)∠AOB的余角= (2)∠A0C= O; (3)若PD=2,则点P到射线 OA的距离是 A P B 4.角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个四 的角 定义 的射线叫作这个角的平分线 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边距离@ 性质定理 在一个角的内部，到这个角的两边距离② 的点在 的逆定理 这个角的平分线上 知识点3相交线与平行线(2024.13,22,26,2023.7,26) 1.相交线与角 ∠1与3 ,∠2与4 邻补角 性质：邻补角之和等于巧 ∠1与6 ,∠2与⑦ 对顶角 性质：对顶角8 三 ∠1与29 ,∠2与30 同位角 4 线 ∠3与3① ,∠4与32 2 八 内错角 ∠2与3 ,∠3与4 角同旁内角 ∠2与35 ,∠3与6 6 2.垂直平分线 定义 经过一条线段的中点，并且⑦ 于这条线段的直线 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离8 性质定理 到线段两个端点距离相等的，点在这条线段的⑨ 的逆定理 3. 平行线 经过直线外一点，有且只有⑩ 条直线与这条直线 平行公理 平行 若ac,bc,则a④ 推论 【知识拓展】在同一平面内，若a⊥c,b⊥c,则a% 两直线平行台同位角② 如图，a%台∠1=3 平行线 两直线平行内错角④ 的判定 如图，a/仍曰∠4=⑤ 与性质 两直线平行台→同旁内角⑥ 如图，a%曰∠3+∠2=@ 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线 两条平行线 的4⑧ 之间的距离 性质：两条平行线之间的距离处处9 即时自测 4.(人教七下P9T11改编)如图， 已知直线a,b,直线c分别交 直线a,b于点A,B. D a b C E (1)∠1的对顶角是 同位角是 (2)∠2的内错角是 同旁内角是 (3)小西说，如果图中∠1= ∠5，则直线a和b就互相平 行，他判断的依据是（) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 5.如图： (1)l是线段AB的垂直平分线 台l AB且AC BC; (2)点P在线段AB的垂直平 分线上台PA PB. 55 知识点4 命题与定理 即时自测 6.下列语句中，是命题的是 类型 概念 ,是真命题的是 判断一件事情的语句叫作命题.命题由题设和结论两部分 命题 (填序号) 组成 ①内错角相等； 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真 ②你喜欢数学吗？ 真命题 命题 ③周长相等的两个三角形 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫 全等； 假命题 作假命题 ④取线段AB的中点； ⑤若a=b,则a2=b2; 在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结 ⑥若x2>0,则x>0. 论，且第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两 互逆命题 个命题叫作互逆命题，把其中一个命题叫作另一个命题的 逆命题 有些命题的正确性是用推理证实的，这样得到的真命题叫 定理 作定理.定理也可以作为继续推理的依据 【特别提醒】(1)判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例，它符合 命题的题设，但不满足命题的结论；(2)证明一个命题是真命题时，可以 用反证法，先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，再由矛盾 断定假设不正确，从而得到原命题成立 母题变式练考点 考点1直线、线段、垂线 1.(2025广西8题)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测量线段 AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是() 起跳线BC A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两直线平行，内错角相等 变式如图，小米同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树 叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学原理是 2.【易错】（人教七上P130T10改编）点A,B,C在同一条直线上，若AB=3cm,BC=1cm,则AC的长 为 cm. 56 考点2角和角的平分线 3.（2024广西6题)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为 A.20° B.40° C.60° D.80° 10 65 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.(人教七下P8T8改编)如图，直线AB和CD交于点0，OE平分∠AOD.已知∠AOD=8524'. (1)∠AOD是 ;(填“钝角”“直角”或“锐角”) (2)∠AOE= °，∠COB= (3)若P是OE上一点，点P到直线AB的距离为2，点F是射线OD上一点，OF=3,则△OPF的 面积为 (4)∠AOD的内部有一点Q,在以下条件中，可说明点Q在∠AOD的平分线上的有 ·（填 序号) ①∠A0Q=2∠A0D:②∠A0D=2∠D00:③LA00=∠D00:④点Q到0A和0D的距离相等. 考点3 相交线与平行线 5.(2023广西7题)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果∠A=130°，那么∠B 的度数是 () A.160° B.150 C.140° D.130° 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D, E为圆心大于。DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若 CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为 A.无法确定 C.1 D.2 考点4命题与定理 7.有以下命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种； ④不相交的两条直线是平行线； ⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角， 其中，是假命题的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式以上命题⑤的逆命题是 ,该命题是 命题（填“真”或“假”）. 57