第4章 第19节 三角形及其基本性质-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

母题变式练考点 第15节二次函数的图象与性质 1C2A【变式A304B5y= 核心知识全梳理 6.解：(1)点B的坐标为(4，-2).【解法提示】如解图，过A ①上@下=名④（会，产）⑤小0大 2a 作AE⊥y轴于E,过B作BF⊥x轴于F,则∠AEO=∠BFO ⑦减小⑧增大⑨左侧①右侧①>0②<0B=0 =90°.：A(2,4),∴.AE=2,0E=4.由旋转的性质，得0A= OB,∠AOB=90°，∴.∠AOE=∠B0F.在△AOE和△B0F 2名0西异号c-0c<0国6-4a<0 I∠AOE=∠BOF, 即时自测 中，了∠AE0=∠BFO,.△AOE≌△BOF(AAS),∴BF=AE 1.(1)下：x=1;(0,3);大；大；4；(1,4)(2)增大；3 OA=OB. 2.①②③④⑤⑧ =2,0F=0E=4,∴.点B的坐标为(4，-2) 3.(1)x1=-1,2=3(2)x1=-1,x2=3 母题变式练考点 1.D2.<;<【变式】y2>y1>y 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 2a 对称轴为直线x= =-1. 2a H B (2)a<0, (2)设C(a,b).过C作CG⊥EA交EA的延长线于G,过B 作BH⊥GC交GC的延长线于H. ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+2= I∠ACG=∠BCH, a2-a+2. 在△ACG和△BCH中， ∠G=∠H, ·当-2≤x≤1时，函数的最大值为4. AC=BC. .∴.a2-a+2=4,解得a1=-1,a,=2(不合题意，舍去) ∴.△ACG≌△BCH(AAS),∴.AG=BH,CG=CH, ∴.a=-1. a-2=4-a,4-b=b+2,a=3,b=1,C(3,1) 4.D5.C :双曲线的函数解析式为y=”(m≠0)，且点C在双曲线 6.（1)x1=-3,x2=0(2)2(3)①y=x+3②x1=-3,x2=1 【拓展设问】-3<x<1 上1= 3m=3, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 3 核心知识全梳理 ∴.双曲线的函数解析式为y=- ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m 设直线AB的函数解析式为y=x+b'. ⑤a2+bx+c-m 起04，s4-2》代2年 即时自测 (-2=4k+b' 1.y=x2+22.y=3(x+2)2-1 .直线AB的函数解析式为y=-3x+10. 3.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度（答 1A8D94≤1≤0 53 案不唯一) 母题变式练考点 第14节反比例函数综合 1.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+9, ①之1②11③1④211⑤2I1⑥k1-k1 把(0，-8)代入解析式，得a+9=-8,解得a=-17, ..二次函数的解析式为y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8. 1.-62.B3.84.C (2)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为 例1B;>;<;>;> (-2,0), 例22；一、二、三；一、三；2x2+2x-5=0:>;两个不相等；2 .抛物线与x轴的另一个交点为(4,0) 例3-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1;<;>;<;>;-3<x<0或x 设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4), >1;x<-3或0<x<1 5.b<-2或b>2 把(0,12)代入解折式，得-8a=12,解得a=, 6.(1)5:(0.-5) (2②)解：反比例函数的解析式为y是(x>0)。 二次函数的解折式为y=之(x+24)=子+3+12 (3)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-5, 一次函数的解析式为y=2x-5. 5 把(0,0)代入解析式，得4a-5=0,解得a= (3)由题意得0<x<4. 4 (4)解：设点M的坐标为(m,12),其中m>0. 5 m 二次函数的解折式为y子(x-2)-5-5x S△M0B=1 0Bm=5,0B=55= 5m, (4)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x+3), 根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=-2. ∴.m=2,∴.点M的坐标为(2,6). 函数有最小值-5，顶点坐标为(-2，-5)， 代入解析式，得-a=-5,解得a=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分是 .二次函数的解析式为y=5(x+1)(x+3)=5x2+20x+15. 等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高为 (5)当x=2时，函数的最大值是1， 顶点坐标为(2,1)，抛物线的对称轴为直线x=2 7-1- 函数图象与x轴两个交点之间的距离为2， 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= .交点坐标分别为(1,0)，(3,0 设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3), 5,(0≤x≤2) 把(2,1)代入，得-a=1,解得a=-1. V5,(2<x≤5) .二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 2.A3.D4.C 4(7-x)只.(5<≤7) 第17节二次函数的综合应用 第四章三角形 35 1. 第18节线段、角、相交线与平行线 2.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 核心知识全梳理 ∴.y=x(40-2x)=-2x2+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20): ①两2线段③Bc④Bc⑤4B⑥ ⑦一⑧垂线段 (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. ⑨垂线段的长度090°①90°<a<180°②180°B360 -2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200. ④14524090°⑦相等⑧180°9相等②@相等 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积为 @相等2相等②∠2或∠4②④∠1或∠3雪180° 200m2. 四∠3②⑦L4四相等9∠5团L6①∠72∠8 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) 3L8④∠55∠50∠8⑦垂直8相等9垂直平 (2)W=-10x2+200x+15000 分线⑩一①∥2相等④3L2④相等5∠3 (3)10:16000 ④0互补④⑦180°⑧距离9相等 （4解：由题意，得10%≤150-100-≤30%. 即时自测 100 1.两点确定一条直线2.5 解得20≤x≤40. 3.(1)50(2)20(3)2 由(2)知，W=-10x+200x+15000=-10(x-10)2+16000. 4.(1)∠2：∠5(2)∠5：∠7(3)A :-10<0,.当x=20时，W取得最大值15000. 5.(1)⊥：=(2)=6.①③⑤6：⑤ 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 母题变式练考点 利润为15000元. 1.A【变式】两点之间，线段最短 4.解：(1)：正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 2.2或43.C 全等， 4.(1)锐角(2)42.7：85.4(3)3(4)①②③④ ∴.AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,∠A= 5.D6.C ∠D=90°.EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD. 7.C ∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， ∴.∠EHG=90°，.四边形EFGH是正方形， 【变式】互为补角的两个角有公共顶点且有一条公共边；假 .y=AE2+A㎡=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. 第19节三角形及其基本性质 (2)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 核心知识全梳理 解得x=1或x=3, ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 .当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. ⑧B⑨大于⑩<①大角②90°B内部@直角 (3)四边形EFGH的面积存在最小值. ⑤内部西外部⑩内部⑧】⑩】④}@相等 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2 2>0..当x=2时，y有最小值，最小值为8， ②中点8EF87 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 5.C6.B【变式1】B 即时自测 【变式2】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三角 1.C2.D3.D4.3 形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高为 母题变式练考点 2x, 1.B2.6(答案不唯一)3.(1)30°(2)直角三角形 4.B5.(1)①4②8(2)①12°②5：3③3 6.(1)高；6(2)角平分线①65°②15③110° 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分是 (3)中线①12②22 △A'B'C',底边为2，底边上对应的高为3， 第20节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 y=×2x5=5 ①相等②相等③∠C④1⑤相等⑥相等⑦60第19节 三角形及其基本性质 核心知识全梳理 知识点1三角形的分类及基本性质(2023.17) 即时自测 1.分类 1下列长度的三条线段中，能组 成三角形的是 () 三边都不相等的三角形 A.1,2,3 按边分 三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 ① 三角形 B.4,4,9 ② 三角形 C.5,6,10 锐角三角形（三个角都小于90） D.6,7,13 按角分 三角形 ③ 三角形（有一个角是90） 2.在△ABC中，若∠A=60°，则 钝角三角形（有一个角大于④ △ABC是 () A.锐角三角形 2.稳定性：三角形的稳定性是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定 B.等边三角形 其形状和大小就固定不变.例如：衣架、钢铁桥、自行车的三角支架都是以 C.钝角三角形 三角形形状构造的. D.不能确定 3. 三角形的三边关系及内外角关系 图示 结论 依据 三角形两边之和大于第三 a+b⑤ c,b-a 边：三角形两边之差小于第 ⑥ 三边 ∠A+∠B+∠ACB= 三角形三个内角的和等 ⑦ 于180° 三角形的一个外角等于与 ∠1=∠A+∠⑧ 它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角⑨ ∠1>∠A,∠1>∠B 任意一个与它不相邻 的内角 若LA<∠B,则a 在同一个三角形中，大边对 ⑩ b ① 知识点2三角形中的重要线段(2025.16,2024.24、26,2023.17、18、23) 即时自测 3.如图，在△ABC中，BC边上的 重要线段 图示 性质 高是 (I)AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=② (2)锐角三角形的高都在三角形③ 直角三角形的两条高恰好是两条④ 高 边，另一条高在三角形⑤ ;钝角三角 B D 形的两条高在三角形⑥ ,另一条高 在三角形⑦ (三角形的三条高所在 A.线段CD B.线段AB 的直线一定交于一点) C.线段BE D.线段AE 58 续表即时自测 BD=CD=⑧ 4.如图，CM是△ABC的中线， BC;S△M=S△ACD= AC=5,BC=8,则△BCM的周长 ⑨ SAABC' 比△ACM的周长大 中线 【知识拓展】三角形的重心是三角形三条中线 D C 的交，点，它到三角形顶点的距离等于它到该 M 顶，点对边中点的距离的2倍 (1)∠BAD=∠CAD=20 ∠BAC; (2)三角形三条角平分线的交点叫作三角形 的内心：三角形的内心到三角形三边的距离 角平分线 四 ,是三角形内切圆的圆心 D C 【对比学习】三角形的外心是三角形三条边的 垂直平分线的交点，到三角形三个顶，点的距 离相等，是三角形外接圆的圆心 若E,F分别是边AB,AC的② ,则 中位线 8 是△ABC的中位线，EF∥BC,EF= ③ BC 母题变式练考点 考点1三角形的分类及基本性质 1.埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的 设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是 A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.两点之间线段最短 2.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为2和5，则第三边的长可以为 (写出一 个即可) 3.如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD=120°，∠B=∠A 3 (1)∠B的度数为 (2)△ABC的形状是 59 考点2三角形中的重要线段 4.（2021梧州)如图，在Rt△ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，AC=8,BC=6,则四边 形CEDF的面积是 () A.6 B.12 C.24 D.48 B D D E 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE⊥BC于点E,已知S△Dc=6. (1)若AE=3. ①CD的长为 ②若AD是△ABC的中线，则BC的长为 (2)若AD是∠BAC的平分线 ①若∠C=58°，∠B=34°，则∠DAE= ②若AB:AC=5:3,则S△ABDSAADG= ③若AC=4,则点D到直线AB的最短距离为 6.【回归教材·折叠问题】（人教八上P8T4改编）如图，已知△ABC: 图1 图2 (1)按图1的折叠方法，折叠后点C落在BD上，则AD是△ABC的 若SA4BC=24,BC= 8,则AD= (2)按图2中的折叠方法，折叠后点C落在AB上，则AD是△ABC的 ①若LB=45°，∠CAD=35°，则∠C=—; ②过点D作DE⊥AB于点E.若SABc=132,AB=18,DE=8,则AC= ③∠BCA的平分线CF交AD于点O.若∠B=40°，则∠COA的度数为 (3)按图3中的折叠方法，折叠后点C与点B重合，则AD是△ABC的 图3 ①若S△ABc=24,则S△ADC= ②G是AB边的中点.若△BDG的周长等于11，则△ABC的周长等于 60