第3章 第17节 二次函数的综合应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

母题变式练考点 第15节二次函数的图象与性质 1C2A【变式A304B5y= 核心知识全梳理 6.解：(1)点B的坐标为(4，-2).【解法提示】如解图，过A ①上@下=名④（会，产）⑤小0大 2a 作AE⊥y轴于E,过B作BF⊥x轴于F,则∠AEO=∠BFO ⑦减小⑧增大⑨左侧①右侧①>0②<0B=0 =90°.：A(2,4),∴.AE=2,0E=4.由旋转的性质，得0A= OB,∠AOB=90°，∴.∠AOE=∠B0F.在△AOE和△B0F 2名0西异号c-0c<0国6-4a<0 I∠AOE=∠BOF, 即时自测 中，了∠AE0=∠BFO,.△AOE≌△BOF(AAS),∴BF=AE 1.(1)下：x=1;(0,3);大；大；4；(1,4)(2)增大；3 OA=OB. 2.①②③④⑤⑧ =2,0F=0E=4,∴.点B的坐标为(4，-2) 3.(1)x1=-1,2=3(2)x1=-1,x2=3 母题变式练考点 1.D2.<;<【变式】y2>y1>y 3.解：(1)：二次函数y=ax2+2ax+a2+2(a≠0)， 2a 对称轴为直线x= =-1. 2a H B (2)a<0, (2)设C(a,b).过C作CG⊥EA交EA的延长线于G,过B 作BH⊥GC交GC的延长线于H. ·.二次函数图象开口向下，且对称轴为直线x=-1, .当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=a-2a+a2+2= I∠ACG=∠BCH, a2-a+2. 在△ACG和△BCH中， ∠G=∠H, ·当-2≤x≤1时，函数的最大值为4. AC=BC. .∴.a2-a+2=4,解得a1=-1,a,=2(不合题意，舍去) ∴.△ACG≌△BCH(AAS),∴.AG=BH,CG=CH, ∴.a=-1. a-2=4-a,4-b=b+2,a=3,b=1,C(3,1) 4.D5.C :双曲线的函数解析式为y=”(m≠0)，且点C在双曲线 6.（1)x1=-3,x2=0(2)2(3)①y=x+3②x1=-3,x2=1 【拓展设问】-3<x<1 上1= 3m=3, 第16节二次函数的解析式的确定及图象的变换 3 核心知识全梳理 ∴.双曲线的函数解析式为y=- ①不变②相反③a(x-m)2+b(x-m)+c④ax2+bx+c+m 设直线AB的函数解析式为y=x+b'. ⑤a2+bx+c-m 起04，s4-2》代2年 即时自测 (-2=4k+b' 1.y=x2+22.y=3(x+2)2-1 .直线AB的函数解析式为y=-3x+10. 3.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度（答 1A8D94≤1≤0 53 案不唯一) 母题变式练考点 第14节反比例函数综合 1.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+9, ①之1②11③1④211⑤2I1⑥k1-k1 把(0，-8)代入解析式，得a+9=-8,解得a=-17, ..二次函数的解析式为y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8. 1.-62.B3.84.C (2)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为 例1B;>;<;>;> (-2,0), 例22；一、二、三；一、三；2x2+2x-5=0:>;两个不相等；2 .抛物线与x轴的另一个交点为(4,0) 例3-3<x<0或x>1;x<-3或0<x<1;<;>;<;>;-3<x<0或x 设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4), >1;x<-3或0<x<1 5.b<-2或b>2 把(0,12)代入解折式，得-8a=12,解得a=, 6.(1)5:(0.-5) (2②)解：反比例函数的解析式为y是(x>0)。 二次函数的解折式为y=之(x+24)=子+3+12 (3)设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-5, 一次函数的解析式为y=2x-5. 5 把(0,0)代入解析式，得4a-5=0,解得a= (3)由题意得0<x<4. 4 (4)解：设点M的坐标为(m,12),其中m>0. 5 m 二次函数的解折式为y子(x-2)-5-5x S△M0B=1 0Bm=5,0B=55= 5m, (4)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x+3), 根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=-2. ∴.m=2,∴.点M的坐标为(2,6). 函数有最小值-5，顶点坐标为(-2，-5)， 代入解析式，得-a=-5,解得a=5. 当移动距离x的取值范围为5<x≤7时，三角形重叠部分是 .二次函数的解析式为y=5(x+1)(x+3)=5x2+20x+15. 等边三角形，底边为2-(x-5)=7-x,底边上对应的高为 (5)当x=2时，函数的最大值是1， 顶点坐标为(2,1)，抛物线的对称轴为直线x=2 7-1- 函数图象与x轴两个交点之间的距离为2， 综上所述，y与x之间的函数关系式为y= .交点坐标分别为(1,0)，(3,0 设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3), 5,(0≤x≤2) 把(2,1)代入，得-a=1,解得a=-1. V5,(2<x≤5) .二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3. 2.A3.D4.C 4(7-x)只.(5<≤7) 第17节二次函数的综合应用 第四章三角形 35 1. 第18节线段、角、相交线与平行线 2.解：(1)根据题意，得AB=xm,则BC=(40-2x)m, 核心知识全梳理 ∴.y=x(40-2x)=-2x2+40x, 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x(0<x<20): ①两2线段③Bc④Bc⑤4B⑥ ⑦一⑧垂线段 (2)由(1)得y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200. ⑨垂线段的长度090°①90°<a<180°②180°B360 -2<0,.当x=10时，y取得最大值，最大值为200. ④14524090°⑦相等⑧180°9相等②@相等 答：当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积为 @相等2相等②∠2或∠4②④∠1或∠3雪180° 200m2. 四∠3②⑦L4四相等9∠5团L6①∠72∠8 3.(1)10x:(300+10x):(150-x):(150-x-100) 3L8④∠55∠50∠8⑦垂直8相等9垂直平 (2)W=-10x2+200x+15000 分线⑩一①∥2相等④3L2④相等5∠3 (3)10:16000 ④0互补④⑦180°⑧距离9相等 （4解：由题意，得10%≤150-100-≤30%. 即时自测 100 1.两点确定一条直线2.5 解得20≤x≤40. 3.(1)50(2)20(3)2 由(2)知，W=-10x+200x+15000=-10(x-10)2+16000. 4.(1)∠2：∠5(2)∠5：∠7(3)A :-10<0,.当x=20时，W取得最大值15000. 5.(1)⊥：=(2)=6.①③⑤6：⑤ 答：当每盒售价降低20元时，每天所获的利润最大，最大 母题变式练考点 利润为15000元. 1.A【变式】两点之间，线段最短 4.解：(1)：正方形纸片ABCD的边长为4,4个直角三角形 2.2或43.C 全等， 4.(1)锐角(2)42.7：85.4(3)3(4)①②③④ ∴.AB=AD=BC=CD=4,AE=DH=x,BE=AH=4-x,∠A= 5.D6.C ∠D=90°.EH=HG=FG=EF,∠AEH=∠GHD. 7.C ∠AEH+∠AHE=90°，.∠AHE+∠GHD=90°， ∴.∠EHG=90°，.四边形EFGH是正方形， 【变式】互为补角的两个角有公共顶点且有一条公共边；假 .y=AE2+A㎡=x2+(4-x)2=2x2-8x+16. 第19节三角形及其基本性质 (2)当y=10时，即2x2-8x+16=10, 核心知识全梳理 解得x=1或x=3, ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 .当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. ⑧B⑨大于⑩<①大角②90°B内部@直角 (3)四边形EFGH的面积存在最小值. ⑤内部西外部⑩内部⑧】⑩】④}@相等 由(2)得y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8. 2 2>0..当x=2时，y有最小值，最小值为8， ②中点8EF87 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8. 5.C6.B【变式1】B 即时自测 【变式2】解：当移动距离x的取值范围为0≤x≤2时，三角 1.C2.D3.D4.3 形重叠部分是等边三角形，底边为x,底边上对应的高为 母题变式练考点 2x, 1.B2.6(答案不唯一)3.(1)30°(2)直角三角形 4.B5.(1)①4②8(2)①12°②5：3③3 6.(1)高；6(2)角平分线①65°②15③110° 当移动距离x的取值范围为2<x≤5时，三角形重叠部分是 (3)中线①12②22 △A'B'C',底边为2，底边上对应的高为3， 第20节等腰三角形和直角三角形 核心知识全梳理 y=×2x5=5 ①相等②相等③∠C④1⑤相等⑥相等⑦60第17节二次函数的综合应用 类型1二次函数的实际应用 1.【抛物线形问题】(2024广西18题)如图，壮壮同学投掷实心球，出【特别提醒】选择合适的位置 7 建立平面直角坐标系，要方便 手（点P处）的高度0P是4m,出手后实心球沿一段抛物线运行， 图象上的点的表示，使点坐标 到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M, 尽可能为正数 则OM= m. 4 m O 5m 2.【面积最值问题】（课标P148例71改编）如图，用一段长为40m的 【解题思路】 篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙足够长.设矩形的AB 用含有自变量的代数式表示 边的长为xm,面积为ym2. 相关线段的长度 A 根据几何图形的相关计算公 B 式，列出所求几何量与自变 (1)求y与x之间的函数关系式； 量之间的关系式，并确定自 变量的取值范围 根据二次函数的性质（增减 性或最值)，结合自变量的取 值范围解决问题 (2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 50 3.【利润最值问题】（人教九上P50探究2改编）广西百色是“中国芒【解题步骤】 果之乡”，芒果有抗菌消炎、祛痰止咳、防治便秘等功效某水果超 审题，找出题目中的数量关系 市推出一款成本为100元的芒果礼盒，当每盒售价为150元时，每 天可销售300盒.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，超市 根据数量关系确定二次函数 采取降价措施，根据市场调查发现，每盒售价每降低1元，每天销 解析式和自变量的取值范围 量可增加10盒.设每盒售价降低x元时，超市销售该礼盒每天所获 利润为W元 利用二次函数的性质（增减 (1)每盒售价降低x元时，每天的销量可增加 盒，每天可 性或最值)，结合自变量的取 销售 盒：降价后每盒的售价为 元，每盒的利润 值范围进行求解 为 元； (2)W与x之间的函数关系式为 (3)当每盒售价降低 元时，超市销售该礼盒每天所获的利【常用等量关系】 润最大，最大利润为 元； （1)常用公式： (4)若要满足超市销售该礼盒利润率不低于10%，不高于30%，那①每件利润=每件售价-每件 么当每盒售价降低多少元时，每天所获的利润最大？最大利润为成本； 多少元？ ②总利润=每件利润×销售 数量； ③利润率=利润÷成本×100%. (2)每每问题中，单价每涨a 元，少卖b件，则涨价x元时， 少卖的数量为·b件 51 类型2二次函数与几何综合(2025.22,2023.24) 4.【点动问题】如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全【通性通法】 等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH 分析判断函数图象，要抓住以 的面积为y. 下几，点：①自变量变化而函数 值不变化的图象用水平线段 表示；②自变量不变化而函数 值变化的图象用铅垂线段表 示；③自变量变化函数值也变 B (1)求y关于x的函数解析式； 化的增减变化情况，简单记 为：一变一不变，图象是直线； (2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ 两个都变图象是曲线；同增同 (3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值： 减口向上，一增一减口向下； 若不存在，请说明理由. ④函数图象的最低点和最 高点 5.【线动问题】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P从点【思路点拔】分析图象横纵坐 A出发运动到点B时停止，过点P作PQ⊥AB,交直角边AC(或 标代表的含义，根据图2可知 BC)于点Q,设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,y与x之间 AB=8,利用正切函数的定义 的函数关系图象如图2所示，当x=5时，△APQ的面积为() 求得PQ的长，再利用三角形 面积公式求解即可. 23 图1 图2 3√3 A. B.23 5w3 C. D.43 2 2 52 6.【面动问题】如图，长为2、宽为1的矩形和边长为3的正方形在同【思路点拨】根据图象可得出 一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形.设穿过的重叠部分三角形的边长为：， 时间为t,正方形与矩形重叠部分的面积为S,则S与t的函数关系 根据特殊角的三角函数值可 的大致图象为 得高为 ,由此得出面积y 是x的二次函数，直到重合面 积固定，再往右移动重叠部分 的边长变为(4-x),同时可得 高和面积，两个三角形重合时 A B D 面积正好为√3，由二次函数图 变式1如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的 象的性质可判断答案 边BC,EF在同一条直线1上，点C,E重合，现将△ABC沿直线I向 右移动，直至点B与F重合时停止移动，在此过程中，设点C移动 的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数 图象大致为 ( B C(E) D 变式2如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角 【思路点拨】把△A'B'C'的移 形，点B',C',B,C都在直线I上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直 动分为三个阶段：0≤x≤2,2< 线L上自左向右平移.开始时，点C'与点B重合，当点B移动到与 x≤5,5<x≤7，对每一个阶段 讨论重叠部分的面积y与x的 点C重合时停止.设△A'B'C'移动的距离为x,两个三角形重叠部 关系，求出解析式 分的面积为y,求y与x之间的函数关系式. B'B(C) 53