第2章 第8节 一元二次方程及其应用-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第8节一元二次方程及其应用 当k2-120=0,即k=±2√30时，方程有两个相等的实数根 核心知识全梳理 7.(1)3200(1-x)2=1600(2)1+x+x(1+x)=121 ①1②2③a≠0④-元一次⑤-元二次⑥-n±F (3)*(x,D=36(4)x[120-0.5(x-60)]=8800 ⑦-b±V6-4ac 2 ⑧a⑨b⑩不相等①相等②没有 8.(1)2x;(20+2x):(40-x) 2a (2)解：根据题意.得(40-x)(20+2x)=1200. -bC52x,x0(x,+x)2-4x1, 花t, 整理，得x2-30x+200=0, x1x2 解得x1=10,2=20. Ba(1+x)2=69a(1-x)2=b@a(1+x）2@nm- 2 .·要扩大销售量，尽快减少库存，.x=20 答：每件童装应降价20元 2n(n-1)3花·b②④(a-2x)(b-2x）5(a-x)(b-x) 9.解：(1)由题意，得S=x(34-3x+2)=-3x2+36x ②0(a-x)(b-x) 即S关于x的关系式是S=-3x2+36x. 即时自测 (2)不可以，理由如下： 1.是不是2.3-2-1 由题意，得-3x2+36x=160 即3x2-36x+160=0. -4±√64 3.(1)4;16;x+2;16;x1=2,x2=-6;1:4;-12;64; 4=b2-4ac=(-36)2-4×3×160=-624<0. 2×1 原方程无实数解， -2±4：x1=2,x2=-6. 两个鸡场的面积和不能等于160m2. 4.(1)k<3且k≠0(2)k>3(3)6:3 第9节一次不等式（组）及其应用 5.2.8(1+x)2=46.x(x-1)=870 母题变式练考点 核心知识全梳理 ①>②>③>④<⑤<⑥实心圆点⑦空心圆圈 1.(1)m≠-1(2)-1(3)x;1:-3x:-3:2 ⑧左⑨右①公共部分①x≥b2x<aBa≤x<b 【变式】-2 ④无解5≥0≤7≥8≤ 2.-2 3.解：配方法： 即时自测 由原方程得x2-6x+9=-8+9, 1.④6 即(x-3)2=1, 2.解：2x+3<1 2x<1-3, 解得x1=2,x2=4. 2x<-2. 公式法： a=1,b=-6,c=8, x<-1. 在数轴上表示略。 4=-4ac=40,x=6±4 3.x≥1：x<2;解集在数轴上表示如下： 2 解得x1=2,2=4. 因式分解法： 1013 1≤x<2 原方程可以转化为(x-2)(x-4)=0, 4.10x+(2x-1)≤35 即x-2=0或x-4=0 解得x1=2,x2=4. 母题变式练考点 1.A2.C3.x<-2 4.解：(1)x,=2+5,x2=2-5. 4.解：3(x-2)>2(7-x), (2)4,= 3 4 3x-6>14-2x, 41 3x+2x>14+6」 3-5 (3)x,=3+5 5x>20, 2 x>4. (4)x1=3,=2 1 解集在数轴上表示如下： 3 5.(1)①2：-3②5；-2 (2)2 -4-3-2-1012345 5.(1)-2≤x<1:-3 6.解：(1)将x=2代人方程，得20+2k-6=0 (2)解集在数轴上表示如下： 解得k=-7. 由k=-7,得原方程为5x2-7x-6=0, -3-2-10123 解得x1=2,2= 3 (3)(i)a≥1(ii)-2<a≤-1 5 6.解：(1)购买的甲种树苗的单价为60元，乙种树苗的单价 3 即它的另一个根为-了，k的值为-7， 为100元. (2)设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500-a)棵， (2)由题意得b2-4ac=k2+4×5×6=k2+120>0 160a+100(500-a)≤42000， 则方程有两个不相等的实数根 可列不等式组为 1 500-a≥ (3)由题意得b2-4ac=k2-4×5×6=k2-120. 4a. 解得200≤a≤400. 答：甲种树苗数量的取值范围是200≤a≤400(a取整数)， 则1x-(2x+10)1=5,解得x=10或x=30. 7.解：根据题意，得 故当甲、乙两个小飞机的高度相差5m时，飞机上升的时 若得到的两位数比原来的两位数大，则10b+a<10a+b, 间为10分或30分. .9b<9a,∴.b<a,即a>b. 3.审题：(80-60)：(120-90)：(100-x) 若得到的两位数比原来的两位数小，则10b+a>10a+b, 解：(1)根据题意，得y=(80-60)x+(120-90)(100-x)= ∴.9b>9a,∴.b>a,即a<b -10x+3000,.y与x的函数关系式为y=-10x+3000. 若得到的两位数等于原来的两位数，则10b+a=10a+b, (2):商场计划最多投人8400元购买甲、乙两种商品， .9b=9a,即a=b. .60x+90(100-x)≤8400，解得x≥20. 第三章函数 在y=-10x+3000中，y随x的增大而减小 第10节平面直角坐标系与函数 当x=20时，y取最大值，最大值为-10×20+3000= 2800. 核心知识全梳理 ①四②三③-④=⑤=⑥=⑦=⑧y1⑨-y2 .商场可获得的最大利润是2800元. ⑩纵①横2(a-c,b)B(a+c,b)④(a,b+c）5(a,b-c） 4.解：(1)yz=20x+20. (2)设草莓在生长旺季的销售价格为a元/千克. G(a,-b)⑦(-a,b)(-a,-b)9(b,-a）@(-b,a) 依题意，得4a+0.6×(14-4)a=20×14+20, @(-a,-b)2√+y31x-x1l④ly-y,I5唯一 解得a=30. 0≥1⑦>1 即两个采摘园的草莓在生长旺季的销售价格为30元/千克， 即时自测 .ym=30×4+0.6×30(x-4)=18x+48(x>4). 1.(1)四(2)①2；②1：③m<1(3)72.A (3)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓.理由如下： 3.(1)(-1,6)(2)(2,4)4.5;12:13 当y2=200时，有200=20x+20,解得x=9: 5.5x,x和y6.(1)x≠2(2)x≤7 当y甲=200时，：200>4×30， 母题变式练考点 1.C【变式设问】(15,10) 六200=18x+48,解得x=76 9 2.(1)(3,2):(-3,-2):(3,-2) 976 (2)(-6,2):(-3,-2):1:上：2 >)去乙采摘园采摘可以得到更多的草莓 (3)(-2,-3):(2,3):(3,-2) 【变式设问1】当x=5时，ym=18×5+48=138,yz=20×5+ (4)(1,2):(-3,4) 20=120. 3.(1)4:3:5(2)√29(3)①1m-31②(-2,4)或(8,4) ·138>120,.去乙采摘园采摘更划算 4.x≥-1且x≠05.D6.A7.B 【变式设问2】由题意可知，当y甲=yz时，x=14; 第11节一次函数的图象与性质 令ym>y2,即18x+48>20x+20,解得x<14; 令ym<yz,即18.x+48<20x+20,解得x>14. 核心知识全梳理 综上所述，当4<x<14时，去乙采摘园采摘更划算：当x=14 ①一、二、三②一、三③一、三、四④一、二、四 时，去两个采摘园采摘一样划算；当x>14时，去甲采摘园 ⑤二、四⑥二、三、四⑦增大⑧减小⑨正半轴 采摘更划算 国原点①负半轴®三，四B(0.6)4(冬，0) 5.B 6.解：(1)图象如解图. 5+mG-m⑦+mB-m9x②0y=k(-x)+b 2y=-kx+b 2x,y 2-y=h(-x)+b 2y=hx-b 4/千克 即时自测 1.(1)0(2)A2.y=2x-3 3(1)y,t(2)y=2-14.D 母题变式练考点 0 24681012x/厘米 1.(1)0(2)k<0,b<0(3)<:>(4)-2:-6 根据图象可知，x=7,y=2.75这对数据是错误的. (5)(-3,0);(0,-6) (2)y=0.25x+0.5. 2.b>a>c3.D (3)不能一次性称出此物体的质量，理由如下： 4.(1)4(2)1(3)y=x+3(4)y=x-1(5)y=x+5 当x=25时，y=0.25x+0.5=6.75 (6)y=x+2(7)y=-x-3 6.75千克<8千克 5(1)x=3;x=1(2)红=1， (3)x≤1(4)3 .不能一次性称出此物体的质量， (y=-1.5 第13节反比例函数及其应用 第12节一次函数的实际应用 核心知识全梳理 1.C ①k②>③<④一、三⑤二、四⑥减小⑦增大 2.解：(1)甲飞机的函数解析式为y=x ⑧原点 乙飞机的函数解析式为y=2+10, 即时自测 (2)当这两个小飞机的高度相差5m时， 1D2y=23y=44124 R第8节一元二次方程及其 核心知识全梳理 知识点1一元二次方程的有关概念 只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是 ② 的整式方程 概念 二次项系数一次项系数 一般形式： g+华+9三0a≠0 二次项一次项常数项 (1)若题目中有“一元二次方程ax2+bx+c=0”,则必然隐含着 注意 ③ 这一条件： 事项 (2)若未说明方程类型，则需分类讨论：当a=0且b≠0时，方 程是④ 方程；当a≠0时，方程是⑤ 方程 知识点2 一元二次方程的解法 直接开平方法形如(x+n)2=p(p≥0)的根为x=⑥ 配方法 适用二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的方程 适用于所有一元二次方程，化为一般式ax2+bx+c=0(a 公式法 ≠0，b2-4ac≥0)，方程的解为x=⑦ 因式分解法 (x-a)(x-b)=0,根为x1=⑧ ,x2=⑨ 解法选择 直接开平方法因式分解法→配方法→公式法 (优先顺序) 【注意事项】用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同的未 知数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解 知识点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.根的判别式与方程根的关系（根的判别式为b2-4ac,即△=b2-4ac): (1)△=b2-4ac>0曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个⑩ 的实数根； (2)△=b2-4ac=0<曰一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个① 的实数根； (3)△=b2-4ac<0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)② 实 数根 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系 数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件 20 立用 即时自测 1.x2+2=0一元二次方 程：2x2+3x-1=2(x2-4) 一元二次方程.（填“是” 或“不是”) 2.方程3x2-2x=1的二次项系数 是 ，一次项系数是 ,常数项是 即时自测 3.解方程：x2+4x-12=0. 配方法：移项、配方，得x2+4x+ 即( 解得 公式法：a=,b= C= b2-4ac= 由求根公式，得x= 即方程的解为 即时自测 4.已知关于x的一元二次方程 kx2-6x+3=0. (1)若方程有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是 (2)若方程没有实数根，则k 的取值范围是 (3)若k=1,x1,x2是该方程的 两个根，则x,+x2= x1x2= 2.根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两 根分别是心1，x2,那么x,+2=B 一，xx2=④ 【拓展变形】根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和分式的性质填空： （1)x7+x=(x+x2)2-⑤ ； (2)(x1-x2)2=⑥ (3)1+-@ ； (4)当，5_（2)2-2x2 x1 x2 X2 x1 x比2 知识点4一元二次方程的实际应用(2023.11) 一元二次方程的常见类型及数量关系 设a为原来的量，b为变化后的量， 变化率问题 若平均增长率为x,增长次数为2，则⑧ 若平均下降率为x,下降次数为2，则四 若初始数据为a,每次传播x个，则第一轮后共有a(1+ 病毒传播问题 x)个，第二轮后共有四 个 握手、单循 若共有人，则握手（单循环赛）总次数为@ 环赛问题 互赠礼物问题 若共有n人，则送礼物总份数为②② 单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元时，少卖的数量为 每每问题 8 如图，在矩形ABCD中，设阴影部分的宽为x,则图1中 S室h=4 ,图2中S室白=⑤ ,图3中 S室的=26 面积问题 a 图1 图2 图3 母题变式练考点 考点1一元二次方程的有关概念 1.（人教九上P4T1改编)已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ； (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 ,二次项系数是 系数是 ,常数项是 变式若方程(k-2)x1+2x+5=0是一元二次方程，则k的值是 2.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+x+c=0的一个根，则c的值是 即时自测 5.南宁市大力推进“以旧换新' 政策，某店月销售额从一月份 的2.8万元增长到三月份的4 万元.设这两个月的平均增长 率为x,根据题意可列出方程： 6.联欢会上，每位同学向其他同 学赠送1件礼物，结果共有互 赠礼物870件，求参加联欢会 的同学人数.若设参加联欢会 的同学有x人，那么可列出方 程： ,一次项是 ,一次项 21 考点2一元二次方程的解法 3.解方程：x2-6x+8=0. 配方法： 公式法： 因式分解法： 4.（沪科八下P31T6改编)选择合适的方法解下列一元二次方程： (1)(x-2)2=5; 2r80 (3)x2+3x+1=0; (4)2x(x-3)+x=3. 考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 5.(人教九上P16例4改编)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k=0的两个实数根分别为x1,x (1)当k=2时， ①x1x2= ,x1+x2= 11 ②x+x= ’x1x2 (2)若x,=2x,则常数k的值为 6.（沪科八下P36练习2改编)已知方程5x2+x-6=0. (1)若该方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值； (2)试判断方程根的情况； (3)小聪在求解时，误将方程抄写成5x2+kx+6=0,则当k为何值时，方程有两个相等的实数根？ 考点4一元二次方程的实际应用 7.根据下列实际问题列方程， (1)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了1600元.设平均 每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是 22 (2)【病毒传播问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感.设每轮传染中 平均一个人传染了x个人，则可列方程为 (3)【握手、单循环赛问题】某中学组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共 进行了36场比赛.若设共有x支队伍参加比赛，则可列方程为 (4)【每每问题】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定：如果 购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵， 所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8800元.设该校共 购买了x棵树苗，则可列方程为 8.（湘教九上P50T2改编)某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接国庆节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：若每件童 装降价1元，则平均每天可多售出2件.如果要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件 童装应降价多少元？ (1)填空：设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出 件，一天可售出 件， 每件盈利 元； (2)列方程求解上述问题. 9.【面积问题】（人教九上P25T8改编）如图，利用一面墙（墙的长度为20m),用34m长的篱笆围成 两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门.设AB的长为xm,两个鸡场的面 积和为Sm2. (1)求S关于x的关系式：（不用写出自变量的取值范围） (2)两个鸡场的面积和可以等于160吗？如果可以，求出此时AB的长：如果不可以，请说明 理由. 20m 23