第1章 第3节 二次根式-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第3节二次根式 核心知识全梳理 知识点1二次根式的有关概念 概念 般地，形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式，“√J一”称为 次根号，a叫作被开方数 有意义 被开方数① 的条件 0 需同时满足两个条件： 最简二 (1)被开方数不含分母， √3，v02不是最简二次根式： 次根式 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如√⑧， √ab均不是最简二次根式 知识点2 二次根式的性质与运算(2025.13)》 (1)双重非负性：a≥0且√a≥0： (2)(√a)2=② (a≥0)； 二次根式 (3)√=lal= a(a≥0)， ③ 的性质 (a<0); (4)√ab=④ (a≥0，b≥0)； (5). a -⑤ b (a≥0，b>0) 乘除 a·b=⑥ (a≥0,6≥0)： =⑦ 运算 (a≥0，b>0) 二次根式 先将各二次根式化成⑧ 二次根式，再将 加减 的运算 运算 ⑨ 相同的二次根式进行合并，如√⑧+√2= 22+√2=32 混合 先乘除，后加减：有括号的先算括号里的：同级运算 运算 按从左往右依次进行计算 【知识拓展】(1)乘法公式在二次根式中的应用：（√a+b)2=a+2√ad+b: (√a+b)(a-√b)=a-b: (2)分母有理化：若二次根式中含分母，需将二次根式化为分母是有理 数的形式. 如化简：1 =0 2=① 2 3-1 【特别提醒】(1)在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二 次根式，并且分母中不念二次根式；(2)常见非负数及其性质：11≥0， a2≥0，√a≥0 即时自测 1.若二次根式√a-3有意义，则 实数a的取值范围是 即时自测 2.计算： (1)(√10)2=； (2)(3-m)了= (3)√18=； (4)-√(-3)7= (5)2x3= 7 知识点3二次根式的估值(2024.14) 即时自测 例√I在哪两个相邻整数之间？ 3.√T最接近的整数是 4.√T的整数部分为 步骤： (I)2=11 小数部分为 (1)先对二次根式平方； (2)找出与平方后所得数字相邻的两个能开得 确定9和16 尽方的整数； 5=3,16=4 (3)对以上两个整数开方； (4)定范围 3<<4 【特别提醒】记住常见的二次根式的估值，如2≈1.414，√3≈1.732， √5≈2.236，√6≈2.449，√7≈2.646，可提升解题速度 母题变式练考点 考点1二次根式的有关概念 1.x取何值时，下列式子有意义？ (2)- ；(3 2-x 2-x √x-1 2.（沪科八下P9T4改编)下列各式是最简二次根式的是 1 B.√8 C. √5 3 D.0.6 考点2二次根式的性质与运算 3.(2025广西13题)计算：√2×√/5= 变式(1)√18-√2= (2)√/40÷√5= (3)(3+2)2= (4)(√48+√3)÷√3= (5)(√3+√2)(3-√2)= 4.已知1a+11+√b-2+(c-1)2=0,则a+b+c= 5.计算下列各题 (2)W15× 1√/48+√J12 (1)√75÷√3+24： 55 (3)【易错】V27÷√3× (4)(4√3+6√6)÷23+2（√2-1）. 8参考 答案 2026广西·数学 基础精讲册P15~P22减负作业本P23~P28广西解答题专项P29~P35 基础题组仿真练P36~P38 基础精讲册 第一章数与式 2.解：原式=-8÷(-2)+4 第1节实数 =4+4 核心知识全梳理 =8. ①-5元②大于③1a-b1④a+6 ⑤-a 2 ⑥0⑦0 母题变式练考点 1.解：(1)原式=2+3=5. ⑧原点⑨上01①1和-1卫两B00,±15大 (2)原式=1-1-21+3=1-2+3=2. (3)原式=-3+4+4=5. G小⑦>⑧10 (4)原式=-12+4=-8. 即时自测 1 1.(1)①⑥⑧(2)③④(3)②⑦ (5)原式=8x2(-2)=4÷(-2)=-2 2.-30m3.D (6)原式=6-8+(-8)÷2=-2+(-4)=-6. 4.(1)2(2)±3(3)-3 第3节二次根式 5.(1)<;<;>(2)>;<;>;< 核心知识全梳理 6.(1)9.85×108(2)3.05×10-7(3)1.173×10 (4)2×1010 ①大于或等于②a③-a④a.6⑤石 ⑥√ad 母题变式练考点 1.A:D2.B3.-20km4.A @层 ⑧最简 ⑨被开方数0 ①3+1 6 5()-2:2(2)C:D(或D:C)(3)-3或1 即时自测 1.a≥3 (4)25)号 2.(1)10(2)m-3(3)32(4)-3(5)6 6.17.B8.±8；8；2【变式】49.C 3.34.3;√-3 10.A11.5;-6;-5和-6：-6 母题变式练考点 1.(1)x≥-1(2)x≥1且x≠2(3)x>1 12.解：8=2,1-31=3， 2.C ·各数在数轴上表示如解图。 3.√0【变式】(1)22(2)22(3)5+26(4)5 81-3引 (5)1 5-43-2-f012545 4.2 源<1-31. -T<-2 5.解：(1)原式=√75÷3+2√6=5+2W6 (2)原式=√3-（√16+4）=√3-6. 13.C14.B15.B 第2节实数的运算 (3)原式=√2m3x=5. 3 核心知识全梳理 ①相加②0③减去④a⑤na⑥(-b)⑦正⑧负 (4)原式=2+32+2-√2=4+22. 第4节整式 90⑩g①6+nBa+(b+o）Baa(c）5ab+ac 核心知识全梳理 1D负数⑧正数⑧-1国站国}② ①和②系数③不变④5ab⑤+b+c⑥-b-c⑦相加 ⑧am+n⑨相乘①a①a'b”2相减Bam:④相乘 -5- 5相加Gam+an+bm+bna2-b2⑧a2±2ab+b2四4a2x ②①a+b②@m(a+b+c） 即时自测 即时自测 1(1(2)-19(3)(41(51-万(6)4 1.4.5m2.(1)-2(2)-53.③⑤ 4.(1)9a2(2)6a3(3)4a2(4)2a (7)-2 5.(1)x+1(2)y-5x-y+5(3)m2+2mn+n2 6.(1)(a+2b)(a-2b)(2)b(a-2)2 第二章方程（组）与不等式（组） (3)m(m+n)(m-n)(4)(x+1)(x+2) 第6节 一次方程（组）及其应用 母题变式练考点 核心知识全梳理 1.(1)a2+b2(2)(1-15%)a(3)0.8a ①一个②1③整式 (4)(8m+100n) 即时自测 2.14【变式】A3.A4.②⑨ 1.x=-2;等式的性质2 5.解：原式=a2-a+a=a2. 2.解：去分母，得2(3x-1)=6-(4x-1), 6.解：原式=[x2-2x+x-2-(4x2-4x+1)+3]÷x 去括号，得6x-2=6-4x+1, =(x2-x-2-4x2+4x-1+3)÷x 移项、合并同类项，得10x=9, =(-3x2+3x）÷x 系数化为1，得一品 =-3x+3. 3.(10y=2x-4:3x+2(2-4)=-1x=1x=1y=-2:y=-2 x=1, 7.解：原式=x2-y2+y2-2y =x2-2y. (2)8x=8:x=1:x=1;y=1; x=1, 当1y宁时，原式=1-20 (y=1 8.解：(1)由题意，得M=-2xy-3y2+(2x+y)(2x-y)+(2xy- 4(1)20-320+32 (2) y-x=27 (y-5=10(x-5) 3x2+5y2)=-2xy-3y2+4x2-y2+2y-3x2+5y2=x2+y2. 母题变式练考点 (2).x+y=2,xy=1, 1.C2.2 .M=x2+y2=(x+y)2-2xy=22-2×1=2. 3.解：(1)x=1. (2)x=-8. 9.A10.a(a+5) 1 x=2, 1 第5节分式 4.2x=4;x=2;x=2:y= 2 1;4y=2:y= 2t2 2 核心知识全梳理 x=2, x=2, ①B≠0②B=0③A=0且B≠0④不等于0⑤不变 1 1:2x=4:x=2:4y=2;y= ⑥a·e ⑦：d ②be y= 2 2y=2 b·d b·c ⑧ a ⑨不变0加减① bd Badtbe 5. =2,(答案不唯一） (y=4 bd 即时自测 6(1)/10r-=6, 3y-9x=10 (2)2×3.x=4(20-x) 1.①③⑥⑦：①③2.(1)x≠0：x=3(2)x>-1 1 ③)7+。x=1(4)3+10=30+x+18 32(2话 (3)1 1() 7.每餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足初中学生的 母题变式练考点 需要 1.1(答案不唯一)【变式1】0【变式2】x≠3；x=3;x=5 第7节分式方程及其应用 2.③56 即时自测 3.解：原式=2x-1=(x+1)(x-1) 1.(x+1);x-3+x+1=x+2:x=4;x=4:x+1≠0：x=4 2x-1 2x-1 2.200.3000 .-1 2x-1 x+50 2x-1(x+1)(x-1) 母题变式练考点 1.解：(1)x=-1是原分式方程的解 x+ (2)原方程的解为x=-号. 4解：原式=+-1+ x 1 (x+1)(x-1)）x- 2.(1)100=300 (2)2x800800 (3)4+28 40-xx x+1x-2 2.4+2x13 当x=3时，原式=32 11 3.解：(1)设在乙商店租用服装每套x元，则在甲商店租用服 5解：原式=2m(m+2).(m-2) 装每套(+10)元，由题意，得50-400，解得x=40, x+10x m-2 m 经检验，x=40是该分式方程的解，且符合题意， =2(m+2)(m-2). .x+10=50. 当m=√3-1时， .在甲、乙两个商店租用的服装每套各50元、40元. 原式=2(5-1+2)(5-1-2) (2)在乙商店租用服装的费用较少， =2(√3+1)(3-3) 理由：该参赛队伍准备租用20套服装时， 甲商店的费用为50×20×0.9=900（元）， =2(3-3√3+√5-3) 乙商店的费用为40×20=800（元）. =-43. 900>800,.在乙商店租用服装的费用较少.