精品解析：2026年江苏省南京市鼓楼区名校联盟中考一模数学试题

2026届初三第一次调研 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列选项中是一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 3. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 4. 如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算()－1＋tan30°·sin60°=__________. 8. 俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形中心角的度数是_______． 9. 某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________． 10. 若方程的两根分别是，则___． 11. 如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为___________（结果保留）． 12. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 13. 已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是________． 14. 正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为___________（结果保留）． 15. 二次函数y=x2-2x+5的 图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为________. 16. 在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，双曲线 （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图像上，连接OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2=BD·AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长． 20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生身高（单位：cm），数据如下： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，171，172，175； （1）这组数据的中位数为 ，众数为 ； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 21. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为， （1）直接写出n的值_______； （2）所有球放入盒中，搅匀后若一次在盒子中随机摸出2个球，请用列表或树状图方法，求所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率． 22. 用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 23. 一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风?请说明理由. 24. 某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，，，其中，表示开始时的速度，表示秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当时，求滚动时间x． 25. 如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）①的长为______； ②的长用含的代数式表示为______； （2）当为矩形时，求的值； （3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交直线于点． （1）求直线解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以H、D、F三个点为顶点三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． （1）求点的坐标； （2）如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； （3）如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初三第一次调研 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列选项中是一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 2. 如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1， ∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4， ∴△ABC的面积为16． 故选D． 考点：相似三角形的性质． 3. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数的意义，解答本题的关键是掌握方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，方差是； ∴，即为正数或零，故A选项错误，不符合题意； 又∵乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵甲、乙成绩的众数不能确定，可能相同也可能不同，故C选项不一定正确，不符合题意； ∵甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同也可能不同，故D选项不一定正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接，在上任意取一点Q，连接，，根据正六边形的性质求出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，然后求出结果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ，是解决问题的关键． 【详解】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F，证明，得到EC、BF、AC的长度，再根据，得到，便可计算AD． 【详解】解：过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F,如图所示： ∵的距离为1，的距离为4 ∴AE=4 AH=1 ED=BE=3 又∵Rt△ABC ∠ACB=90°° ∴° ° ∴ 又 AC=BC ° ∴ ∴EC=BF=3 ∴AC= 又∵ ∴ ∴AD= 【点睛】本题考查了构造三角形全等，等腰三角形性质，利用三角形全等的性质，计算相关线段的长度，同时也考查了平行线分线段成比例，掌握这些知识点，再题目中合理的运算才是关键． 6. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误； ∴当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算()－1＋tan30°·sin60°=__________. 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可. 【详解】()－1＋tan30°·sin60°= 2+ 故答案为;2.5 【点睛】本题考查负整数指数幂和特殊角的三角函数值的相关知识，熟记及特殊的三角函数值是关键. 8. 俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 9. 某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x，则列出方程是______________． 【答案】=31.5 【解析】 【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解． 【详解】根据题意，得： =31.5 故答案为：=31.5． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 10. 若方程的两根分别是，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 11. 如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据刷子扫过的面积为计算即可． 【详解】解：，， ， ， 刷子扫过的面积为， 故答案为：． 12. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 13. 已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 【详解】解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看作在与在时有交点， ， 故答案为：． 14. 正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．延长交于点，连接交于点，连接，根据几何关系判断即可． 【详解】解：延长交于点，连接交于点，连接， ∵六边形是正六边形，， 是等边三角形， ∴是的直径， ∴经过点， ∴将正六边形绕点A顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧， ∴点的运动轨迹长， 故答案为：． 15. 二次函数y=x2-2x+5的 图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为________. 【答案】y= x2+2x+2. 【解析】 【分析】先将抛物线转化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【详解】解：由题意得：y= x2－2x+5=(x－1)2+4， ∴将二次函数向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数解析式为：y=(x－1+2)2+4－3=(x+1)2+1=x2+2x+2. 故答案为：y= x2+2x+2. 【点睛】本题考查了抛物线的平移和抛物线的顶点式与一般式的转化，属于基础题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解答的关键. 16. 在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作，的垂线，分别交，于点，，求得的长度，根据求得的长度，根据勾股定理，进而求得的长度，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，． ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴线段的长是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握基本解法是解题的关键． （1）开平方法求解； （2）公式法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得或， ∴原方程的解为：，； 小问2详解】 解： ， ， ， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 18. 如图，双曲线 （1）点A（1，3）在这个函数的图象上吗？请说明理由； （2）点P在该函数图像上，连接OP． ①若将线段OP沿着x轴翻折得到线段OM，求经过点M的双曲线的表达式； ②若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，求经过点N的双曲线的表达式． 【答案】（1）在，理由见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）令x=1，求出此时的y的值即可得到答案； （2）①先求出点M的坐标，即可利用待定系数法得到答案；②如图所示，过点P作PB⊥x轴于B，过点N作NC⊥x轴于C，证明△CNO≌△BOP，从而求出点N的坐标为（-b，a），由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：点A在这个函数图像上 理由：当x=1时，y=3， ∵3=3， ∴点A在这个函数图像上； 【小问2详解】 解：①设点P的坐标为（a，b）， ∵将线段沿着x轴翻折得到线段OM， ∴点M与点P关于x轴对称， ∴点M的坐标为（a，-b）， ∵点P在双曲线上， ∴， 设经过点M的双曲线解析式为， ∴， ∴经过点M的双曲线解析式为； ②如图所示，过点P作PB⊥x轴于B，过点N作NC⊥x轴于C， ∴∠NCO=∠OBP=90°， 由旋转的性质可知NO=OP，∠NOP=90°， ∴∠CNO+∠CON=90°=∠CON+∠BOP， ∴∠CNO=∠BOP， ∴△CNO≌△BOP（AAS）， ∴OC=PB，CN=OB， ∴点N的坐标为（-b，a）， ∴同①可求得经过点N的双曲线解析式为． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的函数值，坐标与图形变化—旋转与轴对称，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2=BD·AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC=6，BC=8，求GH的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OE，利用“AE平分∠BAC，OA＝OE”证明∠CAE＝∠AEO，从而可证OEAC，再结合∠ACB=90°，可证OE⊥BC，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据余角的性质证明∠BED=∠EAB，然后根据“角角”证明△BED∽△BAE，最后根据相似三角形的性质即可得证； （3）过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，在Rt△BEM中，根据勾股定理构造关于EM的方程，从而求出EM，然后由△BED∽△BAE可求DE， 再证明△EGM∽△HGO，即可求出OG，最后由勾股定理求出GH即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接OE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC． ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线 【小问2详解】 由（1）可知，BC与⊙O相切于点E，∴∠OED＋∠BED＝90°． ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO＋∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED． ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE，　 ∴＝，即BE2＝BD·AB； 【小问3详解】 解：如解图，过点E作EM⊥AB于点M，连接OH， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝10． ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB－AM＝4． 设CE＝x，则EM＝EC＝x， ∴BE＝8－x， 在Rt△BEM中，EM2＋BM2＝BE2， ∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5． Rt△ACE中，AE＝＝3， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴＝＝， ∴DE＝， 在Rt△AED中，AD＝＝， ∴DM＝＝，即OM＝OD－DM＝． ∵H是的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴＝＝， 设MG＝a，则OG＝OM－MG＝－a， ∴， ∴a＝1，即MG＝1，OG＝， ∴在Rt△OHG中，GH＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 20. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，171，172，175； （1）这组数据的中位数为 ，众数为 ； （2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 （3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ． 【答案】（1）166，165 （2）甲组 （3）170，172 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差， （1）根据众数和中位数的定义进行计算； （2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较； （3）根据方差进行比较． 【小问1详解】 解：数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 则舞蹈队16名学生身高的中位数为，众数为， 故答案为：166，165； 【小问2详解】 解：甲组学生身高的平均值是：， 甲组学生身高的方差是：， 乙组学生身高的平均值是：， 乙组学生身高的方差是：， ∵， ∴甲组舞台呈现效果更好． 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：∵168，168，172的平均数为， 且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小， 可供选择的有, 平均数为：， 方差为：， ∴选出的另外两名学生的身高分别为和， 故答案为：和 21. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的3个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为， （1）直接写出n的值_______； （2）所有球放入盒中，搅匀后若一次在盒子中随机摸出2个球，请用列表或树状图的方法，求所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式列出方程求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到所摸出两个球为一个白球和一个黑球的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：设3个黑球分别用A、B、C表示，1个白球用D表示，列表如下： A B C D A B C D 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中所摸出两个球为一个白球和一个黑球的结果数有6种， ∴所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率． 【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图和建立方程是解题的关键． 22. 用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】查了反证法．解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法步骤给出证明即可解决问题． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：假设与相交于点， 则过点有两条直线平行于直线， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以， 所以平行于同一条直线的两直线平行． 23. 一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动距台风中心100 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，测得台风中心此时位于轮船正南方向200海里处，如果这艘轮船继续航行，3小时后，会不会遇到台风?请说明理由. 【答案】会遇到台风. 【解析】 【分析】先根据题意画出数学模型，在图中台风三小时后到达的位置D，轮船原来的位置B，轮船现在的位置C刚好形成了直角三角形，根据题意计算BD和BC的长度，利用勾股定理就可以求出DC的长度，与100海里进行比较即可得出结论. 【详解】会遇到台风.理由如下： 如图所示，线段表示台风中心经过的路径，线段表示轮船航行的路径. 由题意，得（海里）， （海里）， 在中，根据勾股定理，得， 即海里. 所以轮船会遇到台风. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在本题中根据实际问题构建数学模型是一个难点，当把图画出来之后易求直角三角形的两边，利用勾股定理很容易求出第三边. 24. 某一小球以一定的初速度开始向前滚动，并且均匀减速，小球滚动的速度v（单位：米/秒）与时间x（单位：秒）之间关系的部分数据如表一： 表一： 时间x（秒） 0 1 2 2.5 3 … 速度v（米/秒） 8 6 4 3 2 … （1）根据表一的信息，请在表二中填写滚动的距离s（单位：米）的对应值，（提示：本题中，，，其中，表示开始时的速度，表示秒时的速度．） 表二： 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 … （2）根据表二中的数据在给出的平面坐标系中画出相应的点； （3）选择适当的函数表示s与x之间的关系，求出相应的函数解析式； （4）当时，求滚动时间x． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）函数解析式为：； （4）． 【解析】 【分析】（1）首先求出的值，进而分别得出s的值，即可得出答案； （2）利用（1）中所求描出各点即可； （3）利用待定系数法确定函数关系式即可； （4）利用，进而代入（3）中解析式进而得出答案． 【小问1详解】 解：（1）当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 时间x（秒） 0 1 2 3 … 距离s（米） 0 7 12 15 … 【小问2详解】解：如图所示： 【小问3详解】 解：由图象可得是的二次函数，设，把代入可得： ， 解得：， 故相应的函数解析式为：； 【小问4详解】 解：当时，则， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确求出各点坐标是解题关键． 25. 如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）①的长为______； ②的长用含的代数式表示为______； （2）当为矩形时，求的值； （3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）①25；②3t；（2）；（3）当0＜t≤时，S=-3t2+48t；当＜t＜3，S=t2−14t+96． 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理即可直接计算AB长； ②根据三角函数即可计算出PN； （2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值． （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15． ∴AB==25． ∴sin∠CAB＝， 由题可知AP=5t， ∴PN=AP•sin∠CAB=5t•=3t． 故答案为：①25；②3t． （2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ=90°， ∵PN⊥AB， ∴PQ∥AB， ∴， 由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t， ∴， 解得t=， 即当▱PQMN为矩形时t=． （3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点， 由（1）题可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=15-5t，PN=QM=3t． ∴AN=AP•cosA=4t，BG=BQ•cosB=9-3t，QG=BQ•sinB=12-4t， ∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG， ∴0＜3t≤12-4t， ∴0＜t≤． ∴NG=25-4t-（9-3t）=16-t． ∴当0＜t≤时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S=PN•NG=3t•（16-t）=-3t2+48t． Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时， 即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3， ▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S=NG(PN+QG)= (16−t)(3t+12−4t)= t2−14t+96． 综上所述：当0＜t≤时，S=-3t2+48t． 当＜t＜3，S=t2−14t+96． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标和的长，进而求出B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和直线的解析式，求出点C的坐标即可； （2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，连接，可证明四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； （3）根据题意可得点C与点O是对应点，则平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此可求出D、E、F的坐标，再分点D，点F，点H分别为直角顶点，三种情况利用一线三垂直模型构造全等三角形求解即可． 【小问1详解】 解：， 点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得， 解得， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：， 点在点的上方， 为直线上一动点且在第一象限内， ∴可设点的坐标为，其中， 点到轴的距离为， ， ， 解得， ， 点的坐标是， 如图，过点向左作轴，且，则的坐标为， 再作点关于轴的对称点，则的坐标为， 连接，连接， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴ ∴最小值为； 【小问3详解】 解：∵沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时， ∴点C与点O是对应点， ∵点的坐标是， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点D的坐标为，即，点F的坐标为，即，点E的坐标为， ∴，； 如图所示，当为直角顶点时， 则， 过点H作交延长线于G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为； 如图所示，当点F为直角顶点时，则， 过点H作交延长线于K， 同理可证明， ∴， ∴点H的坐标为； 如图所示，当点H为直角顶点时，则， 过点H作交延长线于P，过点F作交延长线于Q， 同理可证明， ∴， 设， ∴， ， ∴， 解得 ， ∴点H的坐标为． 综上所述，点H的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于构造平行四边形，解（3）的关系在于利用一线三垂直模型构造全等三角形． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． （1）求点的坐标； （2）如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； （3）如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质． （1）先求出，根据三角形面积公式求出，最后根据点B在x轴负半轴上即可求出点的坐标； （2）分点P在上、点P在的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点作于，根据三角形面积公式求出，证明，，得到，即可求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：， 点B在x轴的负半轴上， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：当点P在上时， 当点P在的延长线上时， ∴ 【小问3详解】 解：过点作于， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ， ， 在和中， （）， ， 点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $