精品解析：甘肃白银市靖远县第一中学等校2025-2026学年高三下学期2月阶段检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 设，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 8. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最大值为4，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 点是函数图象一个对称中心 D. 函数上有2个极大值点 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，公比，则的前6项和为___________． 13. 已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 14. 已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 17. 如图，在三棱台中，平面，． （1）证明：． （2）为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知双曲线经过点，且左顶点到双曲线的一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（均在轴上方），为坐标原点． （i）若，作，垂足为，求点的轨迹长度； （ii）设两点关于点对称，为右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 19. 甲、乙、丙三人玩某游戏，约定甲初始拥有技能强化权（拥有者会及时使用该权利去强化对应角色的某项技能，以提升能力）．技能强化权每经过固定时长自动触发一次转移，转移规则如下：若甲拥有技能强化权，下一次权利拥有者为甲、乙、丙的概率均为；若乙拥有技能强化权，下一次权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为，，；若丙拥有技能强化权，下一次该权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为，，． 每次转移无论权利拥有者是否改变，均计为一次转移过程，技能强化权依此规则在三人之间动态转移． （1）在技能强化权准备发生第3次转移时，记甲已使用过该权利的次数为，求的分布列及数学期望． （2）设经过次技能强化权的转移，该权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为． （i）求数列的通项公式； （ii）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】． 故选：B. 2. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程得出焦点坐标即可得解． 【详解】抛物线的焦点，所以其到直线的距离为5． 故选：C 3. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法和乘法计算化简，再根据实部和虚部确定复数对应点的象限. 【详解】， 若，则，∴复数z可能在第一象限； 若，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B； 若，则，∴复数z可能在第三象限； 若，则，∴复数z可能在第四象限． 故选：B. 4. 已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】（方法一）利用向量在方向上的投影向量的公式求解； （方法二）由向量在方向上的投影向量为得到，利用向量垂直的坐标公式求解. 【详解】（方法一）由题意，， ， 向量在方向上的投影向量为， ，，， ，，． （方法二）由题意，向量在方向上的投影向量为， ，，，，，． 故选：D. 5. 已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式结合题设列等量关系即可求解. 【详解】由题意，解得． 故选：C 6. 设，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式性质和对数函数性质、指数和对数运算性质逐项分析题设和条件的充分必要性即可求解． 【详解】，反之不一定成立， 则是“”的一个充分不必要条件，A项错误； ，则是“”一个充要条件，B项错误；，，若小于0则选项中对数无意义， 所以是“”的一个既不充分也不必要条件，C项错误；， 如时，， 而反之成立，所以是“”的一个必要不充分条件，故D正确. 故选：D 7. 将1，2，3，…，10这10个数平均分成甲、乙两组，若乙组的第75百分位数恰为甲组的中位数的2倍，则不同的分组个数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数与中位数的定义，结合组合原理求解即可. 【详解】甲、乙两组各5个数，各按从小到大排列，甲组的中位数是甲组的第3个数，设为，乙组的第75百分位数是乙组的第4个数，设为. 由题意，，，故或， 当时，，该分组个数为（在1，2，3中选2个数，5，6，7中选1个数，9，10中选1个数，与组成甲组）， 当时，，则甲组的中位数为3，甲组必须包含1和2；乙组的第75百分位数为6，乙组必须有3个小于6的数，由于1, 2, 3均在甲组，乙组只有2个小于6的数（4,5），故此情况不成立． 综上，不同的分组个数为18． 故选：A. 8. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据关系，结合两角和差正弦公式及余弦公式条件可化为，根据同角关系求，利用二倍角公式求结论； 解法二：由条件可得，设，其中，结合三角函数性质证明，结合二倍角公式求结论. 【详解】解法一：因为， 所以， ， ， ， 代入化简得，故， 则， 所以， 解法二：由题意，得，， 所以， 设，其中， 由，，， 得， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件结合正态密度曲线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：，A项正确； 对于B：，B项正确； 对于C：，C项错误； 对于D：，D项正确． 故选：ABD. 10. 已知函数的最大值为4，则（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 函数在上有2个极大值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得两函数图像重合，可求得，进而可得的解析式，逐项计算判断即可求解. 【详解】由题意，应同时取得最大值2， 因为两函数周期相同，所以函数图像重合， 即．故A项错误； 由A项知是偶函数，故B项正确； 又，故C项正确； 因为，所以，又因为， 所以函数在上有2个极大值点，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（ ） A. 椭圆的焦距为 B. 的最小值为 C. （为原点）是定值 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由离心率求出，再由求出可判断A；利用椭圆的定义、基本不等式可判断B；设，根据中点坐标公式、在上可判断C；求出利用配方法可判断D． 【详解】对于A，由题意，，解得， ，则焦距，A错误； 对于B， ， 当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，设，易知，为上的动点， 则，即，C正确； 对于D， ，即，D错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，公比，则的前6项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式与性质即可计算求解． 【详解】由题意， 则该数列前6项和为． 故答案为： 13. 已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得到，接着结合切点在切线上又在曲线上得到，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【详解】设切点坐标为，则即， 又且，所以， 所以， 设，则， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，则的最大值为． 故答案为： 14. 已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，取的中点，则，利用求出的范围，则三棱锥的体积，再利用导数求出最值可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，，球的半径． 如图，取的中点，连接， 则， 则是二面角的平面角．， 则， 所以，由得， 则三棱锥的体积 ， 令， 令，则（负根舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当三棱锥的体积最大时，， 则，此时，圆锥的侧面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件求，从而得解； （2）求出，利用两角和的余弦公式结合已知的值求出，利用正弦定理求出，利用表示，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 ，， ， ，. 【小问2详解】 ，， ，，， ，（为外接圆的半径）， ，， . 16. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数判断函数的单调性即可； （2）将问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导函数求出的单调性和取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递增 单调递减 0 单调递增 当时，函数取得极大值，极大值， 当时，函数取得极小值，极小值为0． 【小问2详解】 由题意知方程有两个根，即有两个根， 则直线与曲线有两个交点， 设，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则， 当时，，当时，． 综上，的取值范围是． 17. 如图，在三棱台中，平面，． （1）证明：． （2）为的中点，是上一点，若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直判定定理得到平面，所以．再结合得到． （2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法公式即可求得正弦值. 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面， 因为平面，∴， ∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以，， 设，， 则，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 由题意，即，令，则， 又，解得，所以． 设直线与平面所成的角为， 则． 18. 已知双曲线经过点，且左顶点到双曲线的一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（均在轴上方），为坐标原点． （i）若，作，垂足为，求点的轨迹长度； （ii）设两点关于点对称，为右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离和点在曲线上列方程组求解； （2）（i）设直线的方程为，根据韦达定理以及求出，从而得出点的轨迹为圆的一段弧，利用弧长公式求出即可； （ii）利用共线、共线得出直线的斜率，联立直线的方程即可. 【小问1详解】 由题意，，渐近线方程为， 易知左顶点到双曲线的一条渐近线的距离，即， 又，得，解得， 双曲线标准方程为． 【小问2详解】 （i）由题意可知直线的斜率存在， 故设直线的方程为， 由，得， 则， ，则， 则， 若，则， 得，可得点到直线的距离， 即直线与圆相切，故点的轨迹为圆的一段弧． 联立，易得轴上方两交点分别为， 则，则，则， 故点轨迹长度为． （ii），设， 由共线，得，即①， 由共线，得，即②， 由①②得， 因为， 所以， 则，即． 故直线的方程为， 联立，得，即点在定直线上． 19. 甲、乙、丙三人玩某游戏，约定甲初始拥有技能强化权（拥有者会及时使用该权利去强化对应角色的某项技能，以提升能力）．技能强化权每经过固定时长自动触发一次转移，转移规则如下：若甲拥有技能强化权，下一次权利拥有者为甲、乙、丙的概率均为；若乙拥有技能强化权，下一次权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为，，；若丙拥有技能强化权，下一次该权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为，，． 每次转移无论权利拥有者是否改变，均计为一次转移过程，技能强化权依此规则在三人之间动态转移． （1）在技能强化权准备发生第3次转移时，记甲已使用过该权利的次数为，求的分布列及数学期望． （2）设经过次技能强化权的转移，该权利拥有者为甲、乙、丙的概率分别为． （i）求数列的通项公式； （ii）设，证明：． 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出离散型随机变量的所有可能取值，接着求出各取值相应概率即可求出分布列，再由数学期望公式即可求解数学期望； （2）（i）先由题意得，和时的递推关系，结合即可分析得到数列是等比数列即可求解； （ii）先由时的递推关系求解得到即可求解数列，接着计算，利用函数在上的单调性分析得到，进而得到即可结合等比数列前n项和公式求证题设. 【小问1详解】 由题意，技能强化权已发生过两次转移，的可能取值为1，2，3， 当时，甲仅初始使用过权利，后两次转移中均未拥有该权利， 所以； 当时，甲初始使用过权利，后2次转移中有1次拥有该权利， 所以； 当时，已发生的2次转移，技能强化权拥有者未变动， 所以； 则的分布列为 1 2 3 所以． 【小问2详解】 （i）当时，， 当时，，又， 则，即， 所以， 数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； （ii）当时，， 所以， 由知， 则， 易知是递减数列，， 设，函数在上单调递增， 所以由得， 即， 所以， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $