专题02二次根式的加法与减法同步专项训练讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题02二次根式的加法与减法同步专项训练讲义 【题型01 同类二次根式】..........................................2 【题型02 二次根式的加减运算】....................................4 【题型03 二次根式的混合运算】....................................5 【题型04 分母有理化】............................................7 【题型05 已知字母的值.化简求值】..................................9 【题型06 已知条件式.化简求值】...................................12 【题型07 比较二次根式的大小】....................................14 【题型08 二次根式的应用】........................................17 【题型09 复合二次根式的化简】....................................19 【解答题5题】....................................................21 ★知识梳理★ 知识点01:核心前提：同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 ✅ 判定两步走：先化简为最简二次根式 → 再看被开方数是否一致 ❌ 易错点：未化简直接判断，如和​，先化简​=2，被开方数均为 2，是同类二次根式；和（=2）也是同类二次根式。 2. 关键性质 只有同类二次根式才能进行加减合并，非同类二次根式不能合并（如+无法再化简）。 知识点02:二次根式的加减运算法则 1. 核心法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项一致。 2. 四步运算步骤 化：将所有二次根式化为最简二次根式； 找：找出式子中的同类二次根式； 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数和根指数保持不变）； 检：检查结果是否为最简形式（被开方数无分母、无开得尽方的因数 / 因式）。 知识点03:二次根式的加减混合运算 1. 运算顺序 与有理数加减混合运算一致：从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。 2. 去括号法则 同有理数去括号：括号前是 “+”，去括号后各项符号不变；括号前是 “−”，去括号后各项符号要变号。 知识点04:核心公式与结论 1.同类二次根式判定：最简后，被开方数相同； 2.合并同类二次根式：m+n=(m+n)，m−n=(m−n)（a≥0，、为有理数）； 3.四则运算核心：先乘除后加减，先化简后合并。 【题型1.同类二次根式】 【典例】下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、 已是最简，，所以A选项不是同类二次根式； B、 已是最简，，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式； C、，，被开方数分别为和，所以C选项不是同类二次根式； D、 和 被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式； 故选： B． 【跟踪专练1】下列二次根式：． （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式的应用，先把每个根式化成最简二次根式，再判断即可． 【详解】解： （1）能与合并的是； （2）∵ ∴能和合并的有． 故答案为：；． 【跟踪专练2】在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题关键． 将各二次根式化简为最简形式，判断被开方数是否与相同即可． 【详解】解：∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式． ∴ 与是同类二次根式的有个. 故选：B． 【跟踪专练3】已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 【题型2.二次根式的加减运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，掌握二次根式减法的运算法则是解题关键．首先，将 化简为 ，再与 进行减法运算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意， C、，故该选项符合题意， D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为 ：． 【跟踪专练3】估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和计算，无理数的估值，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和计算法则． 先对二次根式进行化简计算，再对无理数进行估值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在5和6之间， 故选：B． 【题型3.二次根式的混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的乘法运算以及加法运算．正确求解是解决本题的关键． 先根据乘法分配律展开式子，再分别计算各项乘积，最后进行化简和加法运算． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练1】估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式． 先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴原式的值在7和8之间． 故选：C． 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 【题型4.分母有理化】 【典例】分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的运算，通过有理化分母，将每个分式化为相邻平方根的差，然后利用裂项相消求和即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 【题型5.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【答案】 【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】解：∵x＝2﹣， ∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣） ＝2﹣2＋ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式化简求值的方法． 根据分式的除法和因式分解可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：， ， 当时，原式， 故选：D． 【跟踪专练2】当时，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，先对式子进行化简，然后将的值代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练3】如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是把代数式进行化简． 首先将进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， ． 即． 故选：A． 【题型6.已知条件式.化简求值】 【典例】若分式无意义，则 ． 【答案】1 【分析】由分式无意义知，求出值，代入求解即可． 【详解】分式无意义， ， 解得， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式化简求值等知识点，属于基础题，难度较小，熟练掌握基本知识是解题关键． 【跟踪专练1】已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解． 【详解】解：若代数式++有意义， 则， 解得：x≥2， ∵由，，都随x的增大而增大， ∴当x＝2时，代数式的值最小， 即++＝1+0+2＝3． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围． 【题型7.比较二次根式的大小】 【典例】比较大小： （填“>”或“<”或“=”号）； 【答案】< 【分析】本题考查二次根式的大小比较，将各数写成某数的算术平方根的形式，比较被开方数即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 【跟踪专练2】比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型8.二次根式的应用】 【典例】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为 ． 【答案】 【分析】根据题目中所给出的公式，将这个三角形三边长度代入，即可求出答案．这个三角形的面积为． 【详解】解：由题意得：这个三角形的三边长分别为2，3，4 将此三角形三边长度代入公式 得： 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点为：代数式求值，即已知代数式，将字母所代表的数字代入求值。本题需要学生认真审题，结合题意解决问题．认真审题，理解代数式求值的方法，是解决本题的关键． 【跟踪专练1】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 【跟踪专练2】如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则． 根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解． 【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意， B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意， C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意， D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意， 故选：C． 【题型9.复合二次根式的化简】 【典例】化简＝ ． 【答案】 【分析】根据平方的性质，二次根式的性质化简即可； 【详解】解： ＝ ＝5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了平方的非负性，二次根式因数的外移；掌握是解题关键． 【跟踪专练1】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【跟踪专练3】满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 【解答题】 1．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1)不是； (2)不是； (3)不是； (4)是． 【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案； （4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴和不是同类二次根式； （2）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （3）解：∵； ∴和不是同类二次根式； （4）解：∵，， ∴和是同类二次根式． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （2）原式化简二次根式，再合并即可； （3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （4）原式化简二次根式，再合并即可； （5）原式化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 4．已知，且x为奇数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式有意义的条件． 根据分式和二次根式有意义的条件确定x的值，再化简后代入即可求解． 【详解】解：由题意，得，， 解得， ∵x为奇数， ∴， ∵， ∴原式． 5．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体和圆柱体的体积公式以及二次根式的运算，解题的关键是根据倒出的水的体积相等列出方程． 设长方体塑料容器中的水下降的高度为，根据体积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方体塑料容器中的水下降的高度为， 根据题意，得， 解得． 当取3时，， 长方体塑料容器中的水下降的高度是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次根式的加法与减法同步专项训练讲义 【题型01 同类二次根式】..........................................2 【题型02 二次根式的加减运算】....................................3 【题型03 二次根式的混合运算】....................................3 【题型04 分母有理化】............................................3 【题型05 已知字母的值.化简求值】..................................4 【题型06 已知条件式.化简求值】....................................4 【题型07 比较二次根式的大小】.....................................4 【题型08 二次根式的应用】.........................................5 【题型09 复合二次根式的化简】.....................................5 【解答题5题】.....................................................6 ★知识梳理★ 知识点01:核心前提：同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 ✅ 判定两步走：先化简为最简二次根式 → 再看被开方数是否一致 ❌ 易错点：未化简直接判断，如和​，先化简​=2，被开方数均为 2，是同类二次根式；和（=2）也是同类二次根式。 2. 关键性质 只有同类二次根式才能进行加减合并，非同类二次根式不能合并（如+无法再化简）。 知识点02:二次根式的加减运算法则 1. 核心法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项一致。 2. 四步运算步骤 化：将所有二次根式化为最简二次根式； 找：找出式子中的同类二次根式； 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数和根指数保持不变）； 检：检查结果是否为最简形式（被开方数无分母、无开得尽方的因数 / 因式）。 知识点03:二次根式的加减混合运算 1. 运算顺序 与有理数加减混合运算一致：从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。 2. 去括号法则 同有理数去括号：括号前是 “+”，去括号后各项符号不变；括号前是 “−”，去括号后各项符号要变号。 知识点04:核心公式与结论 1.同类二次根式判定：最简后，被开方数相同； 2.合并同类二次根式：m+n=(m+n)，m−n=(m−n)（a≥0，、为有理数）； 3.四则运算核心：先乘除后加减，先化简后合并。 【题型1.同类二次根式】 【典例】下列各根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练1】下列二次根式：． （1）能与合并的是 ； （2）能与合并的是 ． 【跟踪专练2】在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【题型2.二次根式的加减运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ． 【跟踪专练3】估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【题型3.二次根式的混合运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】估计的值应在（   ）之间 A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【跟踪专练3】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 【题型4.分母有理化】 【典例】分母有理化： ． 【跟踪专练1】二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简： ． 【跟踪专练3】先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【题型5.已知字母的值.化简求值】 【典例】已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练2】当时，式子的值是 ． 【跟踪专练3】如果，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 【题型6.已知条件式.化简求值】 【典例】若分式无意义，则 ． 【跟踪专练1】已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】代数式的最小值是（    ） A．0 B．3 C． D．不存在 【题型7.比较二次根式的大小】 【典例】比较大小： （填“>”或“<”或“=”号）； 【跟踪专练1】已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【跟踪专练2】比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 【跟踪专练3】下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.二次根式的应用】 【典例】我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，其中a、b、c为三角形的三条边，c为最长边．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则此三角形面积为 ． 【跟踪专练1】在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练3】如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24 【题型9.复合二次根式的化简】 【典例】化简＝ ． 【跟踪专练1】下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简的结果为 ． 【跟踪专练3】满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答题】 1．判断下列二次根式是否为同类二次根式． (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 4．已知，且x为奇数，求的值． 5．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $