21.3.1矩形(十三大题型)2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.1矩形（十三大题型） 题型一、矩形性质的理解 1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、利用矩形的性质求角度 5．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则 ． 6．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是 ． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型三、利用矩形的性质求线段长 9．已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 10．如图，在矩形中，E，F，分别为边，上的点，，，若，矩形的周长为26，求矩形的面积． 11．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 12．如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 题型四、利用矩形的性质求面积 13．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 15．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为 ． 16．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五、利用矩形的性质证明 17．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 18．如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 19．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 20．如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 题型六、求矩形在坐标系中的坐标 21．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      22．已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 23．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 题型七、矩形与折叠问题 25．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 26．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 27．如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 28．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 题型八、斜边中线等于斜边的一半 29．如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（   ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 31．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 32．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型九、矩形判定定理的理解 33．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 34．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 35．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 36．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 题型十、添一条件使四边形是矩形 37．如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 38．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 39．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 40．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 题型十一、证明四边形是矩形 41．如图，在中，，是的外角的平分线． (1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形是矩形． 42．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 43．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 44．如图所示，的四个内角的平分线分别相交于点．求证：四边形是矩形． 题型十二、矩形的性质与判定综合应用 45．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 46．如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 47．如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 48．综合与实践 【问题情境】 下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】 （1）如图，将长方形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在线段上的点处，折痕交于点F．请在图中找出折痕和点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【推理证明】 （2）智慧小组在操作过程中发现线段和存在数量关系，请判断和的数量关系，并说明理由． 题型十三、矩形的性质与判定求面积 49．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 50．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 51．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 52．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1矩形（十三大题型） 1．下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 2．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 4．矩形的对称轴的条数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，矩形的性质，矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线所在的直线，据此可得答案． 【详解】解：矩形的对称轴有两条，是通过对边中点的两条直线， 故选：B． 5．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图——作垂线及矩形的性质，正确得出是的垂直平分线是解题关键．由作图可知，，是的垂直平分线，根据矩形的性质得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是的垂直平分线， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴． 故答案为： 6．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等． 设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的两个锐角互余求出角度． 9．已知矩形的对角线的长为20，那么顺次连接矩形的四边中点所得的四边形的周长为（    ） A．40 B．10 C．20 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据矩形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，，最后求出中点四边形的周长即可． 【详解】解：如图， ∵矩形的对角线相等， ∴， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为． 故选：A． 10．如图，在矩形中，E，F，分别为边，上的点，，，若，矩形的周长为26，求矩形的面积． 【答案】40 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由矩形的性质得，再证，得，然后求出，则，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵矩形的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 13．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 14．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 【答案】． 【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积． 【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案， 则草坪部分转化为宽为，长为的长方形， 草坪部分的面积． 15．直径为的圆，平移到圆，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到半圆的面积等于半圆的面积，再根据矩形的面积公式计算即可得到答案．解题的关键是掌握：平移不改变图形的形状和大小． 【详解】解：如图， ∵直径为的圆，平移到圆， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 16．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 17．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 18．如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 19．如图，在矩形中，延长至点，使得，连接交于点．求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得出，结合已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，即点是的中点． 20．如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ． 21．如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【答案】点B到原点O的距离为 【分析】该题考查了矩形的性质，勾股定理，先根据已知条件求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴点B到原点O的距离为． 22．已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 23．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 25．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 26．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点 恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 27．如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【详解】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 28．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 29．如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：A． 30．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，点D是边的中点，， ∴， ∴， 故选：D 31．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边中线定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴， ∴平分的面积， 故①正确； ②∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确； ③∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴，， ∴， ∵分别为两腰的中点， ∴， ∴， 故③正确； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 32．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 33．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的定义、矩形与平行四边形的关联及性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 结合相关概念逐一分析选项判断即可． 【详解】解：A、矩形是特殊的平行四边形，故选项不符合题意； B、矩形是特殊的平行四边形，则平行四边形具有的性质矩形都具有，故选项不符合题意； C、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，比如直角梯形，故选项符合题意； D、矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，故选项不符合题意． 故选：C． 34．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 35．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 36．下列命题是假命题的是（    ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形的两组对边分别相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形和矩形的性质与判定定理，判断各选项的真假． 本题考查了命题与定理的知识，了解平行四边形的判定、矩形的性质及矩形的判定方法是解题关键． 【详解】解： A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B、矩形的对角线相等，这是矩形的性质，正确，是真命题； C、平行四边形的两组对边分别相等，这是平行四边形的性质，正确，是真命题； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，，是假命题. 故选：D． 37．如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 38．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定条件，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意； B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意． 故选：A． 39．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 40．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 41．如图，在中，，是的外角的平分线． (1)在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来． （1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点． （2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧交于点； ③作射线交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求． （2）证明：∵， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 42．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 43．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 44．如图所示，的四个内角的平分线分别相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理等知识点，掌握矩形的判定及平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的邻角互补及角平分线定义得，，，，再根据三角形内角和定理及对顶角相等得，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 又∵平分，平分，平分，平分， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ∴四边形是矩形． 45．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论； 对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案； 对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 根据旋转，得， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：或． 当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 所以的长为或． 46．如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)4米； (2)小明需要后退1米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）过E作于点M，证明四边形为矩形，得出米，，再由勾股定理得米，即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为4米； （2）解：如图，过E作于点M， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， 由勾股定理得：（米）， ∴米， ∴（米）， 答：小明需要后退1米． 47．如图，在矩形中，与交于点，点是的中点，连接交于点，延长至G，使，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形性质得到，结合，可得到为的中位线，即可得到结论； （2）利用平行线的性质先证明，可证得四边形是平行四边形，结合且，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又， 为的中位线， 即； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与定理是解答本题的关键． 48．综合与实践 【问题情境】 下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】 （1）如图，将长方形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点的直线折叠，使点D落在线段上的点处，折痕交于点F．请在图中找出折痕和点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【推理证明】 （2）智慧小组在操作过程中发现线段和存在数量关系，请判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质及尺规作图-线段垂直平分线． （1）点D关于折痕的对称点是，因此折痕是线段的垂直平分线，利用“过一点作已知线段的垂线”：在上，在上，通过画弧找垂直关系确定F的位置，进而确定和； （2）利用矩形的性质和折叠的性质得出，，，，，进而推导出线段和角的关系：，再证明，从而得出结论． 【详解】解：（1）如图，折痕和点的位置如图所示； （2）， 理由：∵四边形ABCD是长方形 ∴，， 由折叠性质可得：，， ∴，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 49．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 50．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 51．如图，四边形是平行四边形． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①作的平分线，交于E，交的延长线于F；②连接； (2)在（1）作出的图形中，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接，交于E，交的延长线于F，再连接； （2）先根据平行四边形的性质得出，故可得出，再根据角平分线的定义得，从而证得四边形是矩形，再由矩形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图，、即为所求； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、矩形的性质与判定、平行线的性质，熟知角平分线的作法和平行四边形的性质是解答此题的关键． 52．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $