精品解析：黑龙江哈尔滨市第一中学等校2026届高三下学期2月阶段性测试数学试题

二月阶段性测试2023级高三数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 81 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线 的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一个对称轴 C. 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 11. 在正四面体中，已知 面， 平面，点F，M，N分别在棱上，下列说法正确的是（ ） A. 若M，N分别为棱的中点，且平面不经过点M，则 平面 B. 当F为棱的中点时，平面平面 C. 若四面体的棱长为2，则其外接球的体积为 D. 若点N为的中点，则 与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且 的面积为，则p的值为________． 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． （1）求的值； （2）若，求的周长. 16. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面 ； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 17. 为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； （2）求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； （3）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 已知函数，且为函数的极值. （1）求实数a的值； （2）当时， 恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二月阶段性测试2023级高三数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数范围内求补集即可得出结果. 【详解】化简集合 ，分式不等式等价于， 整理得， 解得或，即， 化简集合 ，对数函数要求真数大于0， 即，解得 ，即， ，. 故选：A 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 3. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列的公比，代入即可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，， . 故选：A. 4. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求 ，再根据模长公式求解即可． 【详解】， ，则， ． 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 6. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，任意取的2个球共有种，再计算符合条件的情况，再求概率即可． 【详解】根据题意，任意取的2个球共有种， 取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种，故概率为． 故选：C． 7. 设双曲线 的右顶点为 ，过点 且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到为的中点，过点作 轴，设，由过点 的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由 的坐标得到的值，从而得到的坐标，由 是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作 轴，交轴于点， 设， 过点 的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线 的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为代数不等式，再通过参变分离构造函数求最值，最终得到参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 因为 所以是奇函数. . 由基本不等式，，当且仅当时取等号且， 得. 因此在上严格单调递增. 由，得 . 于是， 参变分离得，在上恒成立， 令，利用， 化简得， 设，因，故在上严格单调递增， 因此的取值范围为：， 令， ， 令，得. 当时， ，单调递减； 当时， ，单调递增. 因此在处取得最小值： ，即在上的最小值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 为函数的一个对称轴 C. 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【详解】如图，， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； ，解得，又函数过点， ，解得， ，， 则，又，为最小值， 所以为函数的一个对称轴，故B正确； 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； ，， 因为 在上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 11. 在正四面体中，已知 面， 平面，点F，M，N分别在棱上，下列说法正确的是（ ） A. 若M，N分别为棱的中点，且平面不经过点M，则 平面 B. 当F为棱的中点时，平面平面 C. 若四面体的棱长为2，则其外接球的体积为 D. 若点N为的中点，则 与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，然后每个选项逐一判断即可． 【详解】将正四面体放在正方体中，如图，设中点为， ， 平面， 平面， 平面，平面， 又平面，平面不经过点M， 平面平面， 平面，故A正确； 对于B，F为棱的中点，且， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面，故B正确； 对于C，四面体的棱长为2，则正方体的棱长为， 其外接球半径，体积为，故C错误； 对于D，由正方体性质可知， 又 面， 平面，且为异面直线， 平面， 又平面， 平面平面， 设的中点为，连接， ，又 平面， 平面， 就是直线 与平面所成角， 则， 设正方体边长为，则， 当时，取得最小值，最小值为， 此时最大，最大值为，即最大，最大值为， 故 与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解． 【详解】， 的展开式通项为， 当，即 时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且 的面积为，则p的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出焦点的坐标和准线方程，得到的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去，得到的一元二次方程， 设，根据韦达定理得到，利用得到，从而得到的值，求出，利用三角形的面积公式得到，结合已知 的面积为得到的值. 【详解】设抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点为， 设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去， 得到，即， 设，则有， ，， ， ，， ， ，，，， ， ， ， 的面积为，，，. 故答案为：. 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数 ，，有，， 函数 的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数 和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘  得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去 后求解； （2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长. 【小问1详解】 由，正弦定理可得， ，， ， 因为 ，所以 ，两边同时除以 得， 解得. 【小问2详解】 由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即 . 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 16. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面平面 ； （2）求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值； （3）试问直线BC上是否存在点M，使直线平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 设，的交点为，连接， 因为四边形与均为菱形，且， 所以，， 又因为 ，且为中点，所以， 又因为，平面，所以 平面， 因为 平面 ，所以平面平面 ． （2） （3）存在，点在延长线上且满足. 【解析】 【分析】（1）设，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理得到 平面，根据面面垂直的判定定理得到平面平面 ． （2）利用线面垂直的判定定理以及勾股定理证垂直，从而以为坐标原点， ，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面 的法向量，设平面 与平面 的夹角为，利用向量的数量积公式求出的值. （3）设，求出的坐标，求出平面的法向量，由平面得到，计算出的值，从而得到点在延长线上，且满足. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，且，平面，所以 平面， 设，因为四边形与均为菱形， 且，所以，， 又因为，在 中，，所以 ， 因为，，，平面 ， 所以 平面 ， 以为坐标原点， ，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 所以，，，，， 由，得到， 所以，， 设平面 的法向量，，所以， 因为平面 的法向量， 设平面 与平面 的夹角为，所以. 【小问3详解】 设，所以， 则，，， 设平面的法向量，，所以， 因为平面，所以，所以 ， 此时在平面FDM外，符合题意， 所以存在点M符合题意，且点在延长线上，满足. 17. 为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； （2）求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； （3）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】（1） （2） 0 500 1000 1500 2000 （3） 【解析】 【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出，，利用条件概率的公式求出，从而得解. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为 ，写出 的可能取值，分别求出 的每一个可能取值的概率，根据其概率求出 的分布列. （3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励. 【小问1详解】 设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. 【小问2详解】 设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为 ， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 500 1000 1500 2000 【小问3详解】 带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值； ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②过定点 【解析】 【分析】（1）由长轴长得到，从而得到，由点在椭圆C上，将点代入椭圆方程，计算得到，从而得到椭圆的方程. （2）①按照直线 ，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0和直线 ，的斜率存在且不为0这两种情况讨论求解，当直线 ，的斜率存在且不为0时，设，，由得到 ，得到直线的斜率之积等于，从而可设直线，，直线 和椭圆联立方程组得到，同理得到，计算求出的值.②设，将 ， 代入椭圆方程，通过计算得到，从而可设直线，求出，直线和直线联立方程组求出点的横纵坐标，求出，求出的纵坐标，从而得到，由得到，从而得到直线恒过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4， 所以 ，所以 ， 因为点在椭圆C上， 所以，所以 ， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 ①当直线 ，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0时， 不妨设直线 的斜率一条不存在，直线的斜率为0， 则， ，， ， 当直线 ，的斜率存在且不为0时， 设，，因为，所以 ， 设直线，， 联立方程得，所以， 所以， 同理， 所以. 综上可知，. ②设，将 ， 代入椭圆方程， 得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以直线， 同理， 联立，所以， 所以， 所以， 直线，令，则，则， 又因为，所以， 所以直线， 所以直线过定点. 19. 已知函数，且为函数的极值. （1）求实数a的值； （2）当时， 恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由(1)得，因此. 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递增，在 上递减， 所以 ，所以 所以不等式 （当且仅当时取等号）， 令 ，得 ，且 时 ，故 . 因此对 ，有： ，即 因为， 所以. 因时 ，故，即，不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用极值点的必要条件（极值点处导数为0），对求导后代入 ，解方程得到的值，再验证导数在 两侧的符号，确认 为极值点； （2）构造函数，将恒成立问题转化为 在 上恒成立，即求的最小值≥0.通过求导分析的单调性，分 和两种情况讨论，结合函数最值解关于的不等式，得到的取值范围； （3）利用不等式 ，得到 ，对进行放缩，转化为可裂项相消的形式，求和后证明不等式. 【小问1详解】 因为，又 为函数的极值， 所以 ，即 ，解得 . 验证极值点：当 时，. 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增. 因此 是的极小值点，符合题意，故 . 【小问2详解】 由(1)得，设， 设 ， . 当时，，因此在 上单调递增， . 情况1： 此时 ，故 ，在 上单调递增，最小值为 . ，解得或 ，结合 ，得 . 情况2： 在 上单调递增，且 ，时 ， 故存在唯一 ，使得 ，即. 当 时，，单调递减； 当 时，，单调递增. 因此的最小值为 ，代入， 化简得 ， 因 ，故 ，解得. 设， ， ， 故 在 上单调递减， 因此， 综上所述，实数的取值范围是或 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $