精品解析：2026年江苏省南京市玄武区名校联盟中考一模数学试题

2026届初三升学模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 由已知方程得到两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：C． 2. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠A=30°，∠C=110°， ∴∠B=40°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 3. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、中位数的意义，解答本题的关键是掌握方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案． 【详解】解：∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，方差是； ∴，即为正数或零，故A选项错误，不符合题意； 又∵乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵甲、乙成绩的众数不能确定，可能相同也可能不同，故C选项不一定正确，不符合题意； ∵甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同也可能不同，故D选项不一定正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（　　） A. 36° B. 44° C. 52° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝108°，根据圆心角、弧、弦三者的关系定理解答即可． 【详解】解：∵BC为圆O的直径， ∴， ∴ ∵四边形ABCD为圆O内接四边形， ∴， ∴ 因为D为弧AC中点， ， ∴AD＝CD． ∴． ∴ 故选： 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的对角互补，弧、弦、角关系，以及直径对的圆周角是直角等相关知识点，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 5. 如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段性质得，，然后由相似三角形的性质即可求解，由平行线之间距离性质得，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ． 故选：B． 6. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 如果，那么锐角___________度 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：30． 8. 如图所示的五角形图案绕点至少旋转________度才能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】顺次连接A、B、C、D、E五个点，得正五边形，根据正五边形的性质即可得到结论． 【详解】如图，顺次连接A、B、C、D、E五个点，得正五边形， ∵正五边形的中心角是， ∴五角形图案绕点至少旋转度才能与自身重合． 故答案为： 【点睛】此题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的中心角是解题的关键． 9. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率问题公式解答． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式（a是前量，b是后量，x是增长率），并正确应用是解题的关键． 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答. 【详解】∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴. 故答案为-2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解答本题的关键. 11. 某扇形的面积为，扇形的半径为9，则此扇形圆心角为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求得扇形的圆心角． 【详解】解：∵扇形的面积为，半径为9， ∴设扇形的圆心角为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式，，是解题的关键． 12. 若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义以及二次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：由题意：， 解得：或， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，且．当时，试比较，2，3的大小，并用“<”连接：___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据二次函数图象和直线的交点横坐标为，由图象即可得到答案． 【详解】解：设， 当时，或， 即抛物线与x轴交于点， 如图所示，抛物线与直线交点的横坐标为，由图象可知，． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和一元二次方程的关系是解题的关键． 14. 半径为4的正八边形的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过A作于M，根据正八边形得到，根据正八边形的半径为4，得到，推出，正八边形的面积有这样的八个全等的等腰三角形面积组成，乘以8即可． 本题考查了正多边形的面积，熟练掌握中心角计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积计算公式，多边形的面积为三角形面积的倍数计算，是解决问题的关键． 【详解】设正八边形为，中心为O， 连接、，过A作于M，如图所示，则， ∵正八边形的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为，． 故答案为：． 15. 如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：依题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”． 16. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短路径，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接 ，过点作交延长线于点，则，由为等腰直角三角形，则，，所以，又四边形是正方形，则，即有，然后下面，故有，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，然后通过是的角平分线，即点在的角平分线上运动，则点在的延长线上，当三点共线时，最小，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，过点作交延长线于点，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点在的射线上运动，作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线，即点在的角平分线上运动， ∴点在的延长线上， 当三点共线时，最小， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， ∴此时的周长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点的坐标是 ； ②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n） 【解析】 【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数． （2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1 ①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）． ②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点． ③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n） 【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示 由图象可知C点坐标为（1，2） 点是 C点关于x轴对称得来的 则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数 即点坐标为（1，-2）． （2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1 ①A点坐标为（-3，1）， 关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变 则为坐标为（5，1） ②连接①所得B，B交直线x=1于点P 由两点之间线段最短可知为B时最小 又∵点是点A关于直线l的对称点 ∴ ∴为B时最小 故P即为所求点． ③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y） 有（m+x）÷2=1，y=n 即x=2-m，y=n 则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2 即对称点坐标为（2-m，n）． 【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键． 19. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． 　　 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）12 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE； （3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， 又∵∠B＝∠ACB， ∴△BAD∽△DCE； （2）解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∵△CDE∽△ABD， ∴△ABD∽△CBA， ∴，即， 解得，BD＝， ∵DE∥AB， ∴，即， 解得，AE＝； （3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N， ∵AB=AC， ∴BM=CM=16÷2=8， 又∵AB=10， ∴AM=， ∴tanB= ∵∠ADE＝∠B， ∴tan∠ADE=， ∵∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°， ∵∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°， ∴∠AFN=∠MAD， ∴∆AFN~∆DAM， ∴，即：NF=MA=×6=， ∴点F到AM所在直线的距离=， ∴点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段， 当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF1=90°， ∵tanB=， ∴AF1=AB×tanB=10×=， 当点D与点C重合时，F点在F1的位置，此时，AF2= AC×tan∠ACF2= AB×tanB=， 连接F1F2， ∵∠BAF1=∠CAF2， ∴∠F1AF2=∠BAC， ∵AF1=AF2，即∆A F1 F2是等腰三角形， ∴∆A F1 F2~∆ABC， ∴，即：， ∴F1 F2=12，即：点F运动的路径长为12． 　　 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题． 20. 我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的环保知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表（不完整）如下所示： 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 3.41 90% 20% 八年级 7.1 n 80% 10% （1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差 七年级成绩的标准差（填“＞”、“＜”或“=”），表格中 ， ； （2）计算七年级的平均分； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】（1）＜，6，7.5； （2）6.7； （3）①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的成绩集中在中上游 【解析】 【分析】（1）求出八年级成绩的方差＜七年级成绩的方差，得出八年级成绩的标准差＜年级成绩的标准差；求出七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得出m和n； （2）由平均数公式即可得出结果； （3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可． 【小问1详解】 解：∵八年级成绩的方差= ， ∴八年级成绩的标准差＜年级成绩的标准差； 七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10， ∴中位数为6，即； 八年级成绩为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9， ∴中位数为7.5，即； 故答案为＜，6，7.5； 【小问2详解】 解：七年级成绩的平均分； 【小问3详解】 解：①八年级队平均分高于七年级队；②八年级队的成绩比七年级队稳定；③八年级队的成绩集中在中上游； 所以支持八年级队成绩好． 【点睛】此题考虑了方差、标准差、平均数、中位数等，熟练掌握求解方法是解题的关键． 21. 2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷： ①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题． ②作业超时的主要原因是（单选） A.作业难度大无法按时完成 B.作业会做，但题量大无法按时完成 C.学习效率低无法完成 D.其他 平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组： ①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的 ，补全作业完成时间统计图； （2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组； （3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1），，补全图形见解析 （2）③ （3） 【解析】 【分析】（1）用第⑤组人数除以总人数即可，根据百分比之和为1可得的值，根据五个小组人数之和为500可得第④组人数，从而补全图形； （2）根据中位数的定义可得答案； （3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【小问1详解】 解：书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为， 影响作业完成时间的主要原因统计图中的，即， 人数为， 补全图形如下： 故答案为：，33.3； 【小问2详解】 这组数据的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在③， 本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第③组， 故答案为：③； 【小问3详解】 由题意可得，树状图如下图所示， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中选中的2名同学恰好是一男一女的有8种结果， 恰好选中一名男生和一名女生的概率是． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确． 【详解】证明：如图，设交于点P，连接． 假设与能互相平分，则． 是内非直径的两弦， ． 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， ∴假设不成立，与不能互相平分． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤． 23. 如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A． （1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？ （2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由． 【答案】（1）A市不会受到此台风的影响，理由见解析；（2）B市会受到此台风的影响，影响时间约为1.5小时． 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥OC于点H，可求得AH的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响； （2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间． 【详解】解：（1）作AH⊥OC， ∵由题意得：∠COA=45°，OA=60km， ∴AH=HO=60÷=60km， ∵60＞50， ∴A市不会受到此台风的影响； （2）作BG⊥OC于G， ∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km， ∴BG=OB=40km， ∵40＜50， ∴会受到影响， 如图：BE=BF=50km， ∴EG==30km， ∴EF=2EG=60km， ∵风速为40km/h， ∴60÷40=1.5小时， ∴影响时间约为1.5小时． 24. 已知抛物线L：，直线将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线的“L双抛图形”． （1）如图所示，当时，抛物线L：上的点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，如表： … … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为； ③若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______； ④若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为______． 【探究问题】 （2）①若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______（用含m的式子表达）； ②若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 【答案】（1）①；②见解析；③；④或；（2）①；②当时， x的取值范围为：或，当m＜0时，x的取值范围为：或 【解析】 【分析】（1）①由题意得：B，C，D和，，关于直线对称，即可求解； ②根据函数的对称性即可画图； ③通过图可知，当时，和L′有3个交点，即可求解； ④观察函数图象即可求解； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求得x的取值范围． 【详解】解：（1）①∵点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，， ∴关于直线对称， 表格如下： … … 故答案为：； ②在坐标系内描出各点，用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为如图： ③通过图可知，当时，和有3个交点， 当时，， 即：， 故答案为：； ④从图象看，双抛图形的函数值随着x的增大而增大，此时x的取值范围为：或， 故答案为：或； （2）①由（1）知，与L关于直线对称，且当时，， ∴时与直线恰好有3个交点， 故答案为：； ②设抛物线L的顶点为点B，点B关于直线的对称点为， ∵抛物线L：， ∴顶点B的横坐标为，对称点的横坐标为m， ∴当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或， 当时，若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为：或 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，关于中心对称的点的特征，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． 25. 在，，斜边，直角边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求的值； （2）计算． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1中，，再将二次方程的系数代入求得m值； （2）将用的边表示，再将二次方程的系数代入求得结果． 【小问1详解】 解：如图，设，， 由题意，得 ，． 在中，， 即， ． ． 解得，（舍去）． ∴． 【小问2详解】 解：在，，斜边， ，， ∵，， ∴ ． ． 26. 如图1，，，，点在线段的延长线上，点在线段延长线上，且． （1）当平分时，证明：； （2）如图2，若，点为中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度，延折线运动至点停止，作点关于直线的对称点，秒后、、三点共线，求的值； （3）如图3，作，且，若，且点在直线上，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，角平分线证明，进而结论得证； （2）由题意知，分在上，在上，两种情况求解：①当在上时，证明是等腰三角形，如图2，连接，证明，，证明是等腰直角三角形，则，，如图2，连接并延长交于，由、、三点共线可知为的角平分线，过作于，则，，如图2，过作于，证明，则∴，即，解得，，，证明，则，即，求解值即可；②当在上时，如图，连接，过作于，过作于，过作于交于，连接并延长交于，证明，则，即，解得，，根据，，表示，，，根据，，即，求解值即可； （3）如图3，作于，作于，证明是的平分线，则，证明，则，四点共圆，，根据，可得，，求解，的值，根据，求的值，根据求的值即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，分在上，在上，两种情况求解： ①当在上时， 由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 如图2，连接， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 如图2，连接并延长交于，由、、三点共线可知为的角平分线，过作于， 则，， 如图2，过作于， ∵，， ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴当在上，时，、、三点共线； ②当在上时，如图，连接，过作于，过作于，过作于交于，连接并延长交于， 由题意知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由题意知， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即， 解得， ∴当在上，时，、、三点共线； 综上所述，当或时，、、三点共线； 【小问3详解】 解：如图3，作于，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等边对等角，正切，正弦，余弦，四点共圆，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 27. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． （1）请你结合图形来证明：； （2）当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），图见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据即可求出答案； （2）根据猜测； （3）先根据一次函数的性质得到，，根据勾股定理可得，求得，根据等腰三角形的判定可得为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分类①当点M在边上时，②当点M在延长线上时，分别求得M的坐标．③当点M在的延长线上时，，不存在． 【小问1详解】 证明：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示：． 理由：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 在中，令得；令得， 所以，同理求得． ∵，， ∴， 即为等腰三角形． 当点在边上时，由得：，， 把它代入中求得：， 所以此时． 当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：， 所以此时． 当点在的延长线上时，，不存在． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定等，根据三角形的等面积性质进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初三升学模拟 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 3. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ） A. 为正数 B. a小于b C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙成绩的中位数相同 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝18°，D为的中点，则∠DAC的度数是（　　） A. 36° B. 44° C. 52° D. 55° 5. 如图，B，F，C三点共线，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 如果，那么锐角___________度 8. 如图所示的五角形图案绕点至少旋转________度才能与自身重合． 9. 劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_________． 10. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 11. 某扇形的面积为，扇形的半径为9，则此扇形圆心角为______． 12. 若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为 ___． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，且．当时，试比较，2，3的大小，并用“<”连接：___________． 14. 半径为4的正八边形的面积为______________． 15. 如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是________． 16. 如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，为等腰直角三角形，连接，则当之和取最小值时，的周长为______．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 解方程 （1） （2）． 18. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点的坐标是 ； ②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 19. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． 　　 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 20. 我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的环保知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表（不完整）如下所示： 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 3.41 90% 20% 八年级 7.1 n 80% 10% （1）观察条形统计图，可以发现：八年级成绩的标准差 七年级成绩的标准差（填“＞”、“＜”或“=”），表格中 ， ； （2）计算七年级的平均分； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 21. 2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中书面作业每天平均完成时间不超过90分钟．开学初某初级中学对每个学科的书面作业完成时间都做了明确的规定，一周后，为了解学生书面作业完成时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷： ①近两周你平均每天完成书面作业的时间大约是分钟，如果你平均每天完成书面作业的时间超过90分钟，请回答第2个问题． ②作业超时的主要原因是（单选） A.作业难度大无法按时完成 B.作业会做，但题量大无法按时完成 C.学习效率低无法完成 D.其他 平均每天完成作业时间x（分钟）分为5组： ①；②；③；④；⑤． 根据以上信息，解答下列问题： （1）书面作业不少于90分钟的学生人数占被调查人数的百分比为 ；影响作业完成时间的主要原因统计图中的 ，补全作业完成时间统计图； （2）本次调查中平均每天完成作业时间的中位数落在第 组； （3）何老师准备从自己班完成作业用时最少的4名学生中选取2名在班里进行经验介绍，已知这4名同学中有2名男生和2名女生，用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是一男一女的概率． 22. 如图，是内非直径的两条弦，用反证法证明：与不能互相平分． 23. 如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A． （1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？ （2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由． 24. 已知抛物线L：，直线将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线的“L双抛图形”． （1）如图所示，当时，抛物线L：上的点A，B，C，D，E分别关于直线对称的点为，，，，，如表： … … ①补全表格； ②在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为； ③若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______； ④若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为______． 【探究问题】 （2）①若双抛图形与直线恰好有三个交点，则t的值为______（用含m的式子表达）； ②若双抛图形的函数值随着x的增大而增大，求出x的取值范围（用含m的式子表达）． 25. 在，，斜边，直角边、的长是关于的方程的两个实数根． （1）求的值； （2）计算． 26. 如图1，，，，点在线段的延长线上，点在线段延长线上，且． （1）当平分时，证明：； （2）如图2，若，点为中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度，延折线运动至点停止，作点关于直线的对称点，秒后、、三点共线，求的值； （3）如图3，作，且，若，且点在直线上，求的长． 27. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． （1）请你结合图形来证明：； （2）当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $