精品解析：2026届江苏省南京市栖霞区名校联盟高三一模数学试题

2026届第一次仿真模拟试题 命题人：李文博 审题人： 张硕 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线 被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与 交于点 ，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 8. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 ．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据： ）（ ） A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 直线与圆交于 两点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 线段 C. D. 的面积是20 10. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 11. 设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于 两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若一组数的众数为，平均数为，则__________. 13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 14. 已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． （1）当， 时，求，的值； （2）若角为锐角，求的取值范围． 16. 已知 （1）若，求函数在处的切线方程； （2）令，若函数在 处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18. 已知函数 ， ． （1）若，求不等式 的解集； （2）若函数有1个极值点，且 ，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 19. 在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； （2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第一次仿真模拟试题 命题人：李文博 审题人： 张硕 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在数轴上分别标出集合，所表示的范围，由交集的运算法则即可求解. 【详解】在数轴上分别标出集合，所表示的范围，如图所示， 由图可知，． 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则可得答案. 【详解】由，得，代入原式得： ， 由   得 ， 所以：. 故选：A 3. 若直线 被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线 的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当 时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当 时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 5. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，可得 ，又，故，，可得，进而可求得a+b的值. 【详解】由抛物线的准线方程为， 将点P代入抛物线C的方程，有 ，又，所以. 又由，有，又由a=b，可得a=8，a+b=16. 故选：C. 6. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和差的正弦公式和正切公式以及正弦函数的单调性对进行比较即可. 【详解】， ， 又，且函数在上单调递增， 所以，故. . 故选：D. 7. 如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与 交于点 ，且，，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算用表示出，由平面向量基本定理可知，其系数和为1，可得到关于的等式，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 ．在理想情况下，对折次数 满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据： ）（ ） A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数运算求出最大对折次数，再根据指数增长计算对折后的最大厚度. 【详解】因为对折次数，所以这张纸最多能对折7次． 因为对折 次后，纸张的厚度为，所以对折7次后纸张的厚度为. 故选： D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 直线与圆交于 两点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 线段 C. D. 的面积是20 【答案】ABC 【解析】 【分析】点到直线的距离公式判断A；几何法勾股定理判断B；根据二倍角余弦公式计算判断C；三角形面积公式计算判断D； 【详解】 对于A，点到直线的距离为，选项A正确； 对于B，线段，选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，的面积是，选项D错误． 故选：ABC． 10. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB由简单的幂函数的性质可判断，对C由对勾函数的性质可判断，对D由函数的图象的平移及复合函数的单调性可得. 【详解】对于A：由 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于B： 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于C：是奇函数，但在 上单调递减，错误. 对于D：由函数的定义域为，且是奇函数， 又因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，图象如下， 所以在上单调递增，也是增函数，由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 设分别是双曲线的左､右焦点，过作轴的垂线与交于 两点，若的周长为12，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知求出点坐标，根据双曲线的定义得到，，再根据的周长求出，再根据双曲线的性质判断BCD选项. 【详解】由题意可知，因为，所以， 设代入双曲线方程，解得，所以，即， 又由双曲线定义可知，，所以，同理， 对于A，的周长为， 所以，A正确； 对于B，焦距为错误； 对于C，离心率为正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若一组数的众数为，平均数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据平均数公式计算的值，最后求. 【详解】依题意可得众数 ，平均数， 故. 故答案为：. 13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时， ，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． （1）当， 时，求，的值； （2）若角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 由题设及由正弦定理，由，得，． 由，解得，或 【小问2详解】 由余弦定理， ， 即． ，， 由题设知 ，． 16. 已知 （1）若，求函数在处的切线方程； （2）令，若函数在 处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） ；. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）先利用导数，求得 ，再结合求导判断函数的单调性，求得极值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 依题意，在 处有极值， 因， 由，解得 ， 则，， 由 可得或， 由 ，可得， 故函数在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在 时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面 ， 可得平面 ，由 平面 ，所以 ， 且，所以 ， 又因为，为的中点，则， 且平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知平面 ，进而可得 ， ，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设 ，分别求平面 与平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，则， 可得. 设平面 的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面 的一个法向量为， 设平面 与平面 的夹角为， 则， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为. 18. 已知函数 ， ． （1）若，求不等式 的解集； （2）若函数有1个极值点，且 ，证明：有两个零点； （3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【答案】（1） （2）由（1）知，当时，在 上单调递增，没有极值点； 当时，，由函数，（）的图象知， 当 时，存在唯一的，使 ， 且当时， ，单调递减，当 时， ，单调递增， 故只有1个极值点， 因为 ，且 ，故1是在区间上唯一的零点，且， 又时， ，故存在唯一的 ，使得 ， 所以有两个零点. （3）由（2）知，， ， ， 当 时， ，时， ， 又在 上单调递增， 要证，只要证 ，即证 ， 由 ，得，即要证 ， 因为 ，则 ，所以只需证 ，（*） 设 （ ），则 ，令 ， 则，显然在上单调递增，且 ， 所以 在上恒成立，故 在上单调递增， 又 ，故 在上恒成立， 所以在上单调递增，又 ，故 ， 故 ，得到 ，即（*）式成立， 故 ，从而，证毕. 【解析】 【分析】（1）求导判断函数在 上单调性，结合 求解不等式； （2）分和讨论，利用导数判断单调性进而判断零点个数； （3）由（2）知， ， ，在 上单调递增，利用分析法要证，只要证 ，即证 ，结合 ，即证 ，构造函数，利用导数证明. 【小问1详解】 由题知的定义域为 ，且， 若，则 ,又 ,故 恒成立，在 上单调递增， 又 ，故不等式 的解集为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． （1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； （2）若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】（1）选择模型为，理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当 时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 函数解析式为. （2）（i）不能，依题意，得，所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）9km 【解析】 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【小问1详解】 选择函数模型③，理由略， 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时， 表示空载能耗. 【小问2详解】 由（1）得． （i）略 （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $