导数 基础知识讲义-2026届高三数学 一轮复习

该高中数学讲义围绕导数专题，覆盖导数的概念、运算、几何意义及单调性、极值最值等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑架构知识体系。通过知识再现梳理考点，题型分类指导解题方法，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破导数难点。 资料采用分层练习设计，从基础概念到综合应用梯度递进，结合“数学思维”培养，如通过导数几何意义三步法（求斜率、写方程、变形式）提升解题规范性。融入多选题训练发展批判性思维，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生应考能力。

导数 一 知识再现 1. 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ 【加多少，除多少】 (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数),相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0) (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数 2. 导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ （2）导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． ②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③′＝(g(x)≠0)． （3）复合函数的导数 ①复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 ②复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 【由内向外，乘法连接】 3. 求曲线“在”某点(m,n)处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率f′(m) 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式 4. 导数与函数的单调性 （1）导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． （2)导数法求函数单调区间的步骤 ①确定函数的定义域； ②求（通分合并、因式分解）； ③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 5. 导数与函数的极值、最值 （1）函数的极值 ①函数的极小值：函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 【v】 ②函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 【^】 （2）函数的最值 ①在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值 ②若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值； 若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 （3）函数极值与最值的关系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个 ②开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值 二 题型分类 题型一 导数的概念 1．如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 2．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 4．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 题型二 导数的运算 6．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 7．下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则 . 9．（多选）下列结论中正确的有（ ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A．1 B． C．2026 D． 11．函数的导数是 ． 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．已知函数． (1)求导函数； (2)求曲线在点处的切线方程． 14．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型三 曲线“在”某点处的切线问题 15．设函数，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 16．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 17．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 18．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 单调性 求单调区间 19．函数的单调减区间为 ． 20．函数的单调递增区间为 ． 21．函数的单调递增区间为 . 22．函数的单调递减区间为 ． 23．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 24．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 25．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 求参数 26．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 . 27．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(    ) A． B． C． D． 30．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数在存在单调递增区间，则a的取值范围为 ． 36．已知函数. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围. 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 38．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围 题型五 最值和极值的综合应用 39．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 40．判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 41．已知函数．当时，求的极小值． 42．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 43．已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 44．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 45．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 46．已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 47．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 48．设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 49．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 50．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值． 多选题： 51．设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 52．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 53．已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 步履不停，自有花期1 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数解析 1．如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 2．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由球的体积公式可得，得， 所以时，气球的体积关于半径的瞬时变化率为. 故选：C. 3．若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 4．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，，所以； . 故选：D 5．已知函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：B． 6．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 7．下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 8．若，则 . 【详解】因为， 所以， 令，所以，即得， 所以， 则. 故答案为：. 9．（多选）下列结论中正确的有（ ） A． B． C． D． 【详解】是常数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 10．已知，则（    ） A．1 B． C．2026 D． 【详解】，令， 则. 故选：D 11．函数的导数是 ． 【详解】 ， 故答案为：. 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1） （2） （3） （4） 13．已知函数． (1)求导函数； (2)求曲线在点处的切线方程． 【详解】（1）由， 得. （2）由（1）可得，，即切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，化简得， 所以曲线在点处的切线方程． 14．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）. 15．设函数，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】， ，， 则在点处的切线方程为即. 故选：A. 16．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由得， 则斜率，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：C 17．已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】构建， 则，， 可得，，可知切线坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A. 18．函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 19．函数的单调减区间为 ． 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调减区间为． 故答案为：． 20．函数的单调递增区间为 ． 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 21．函数的单调递增区间为 . 【详解】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 22．函数的单调递减区间为 ． 【详解】易知的定义域为，， 当时，， 当时，， ∴的单调递减区间为． 故答案为： 23．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 【详解】（1）， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. （2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 24．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 25．函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 26．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是 . 【详解】 ，显然 ，即 ； 故答案为： . 27．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 28．若函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 令可得，令可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调， 所以，所以. 故实数的取值范围是：. 故选：A. 29．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(    ) A． B． C． D． 【详解】由题可知，恒成立， 故，即． 故选：A﹒ 30．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由， 因为函数在区间内单调递增， 所以有在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以由， 因为，所以，于是有， 故选：D 31．函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 32．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】令, 则， 当时，单调递增，且， 当时，，当时单调递增， 则函数在上单调递增，符合题意； 当时，的对称轴为， 由题意， 当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，不符合题意， 综上，. 故选：A. 33．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 34．若函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 35．已知函数在存在单调递增区间，则a的取值范围为 ． 【详解】因为在存在单调递增区间，所以在有解，即在有解． 令，，则，故在单调递增， 所以，故的取值范围为． 故答案为：. 36．已知函数. (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求某点处的导数值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）由函数在处的切线与直线垂直，列方程求出实数的值； （2）函数在定义域内是减函数，转化为在上恒成立，通过参变分离，构造新函数，求出函数的最大值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，在处的切线与直线垂直， 则切线斜率， ，，解得； （2）函数在定义域内是减函数， 则在上恒成立，且函数不为常函数， 分离参变量可得：， 构造， ，令，解得 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 实数的取值范围是． 37．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据题意，求导得，再由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得在区间上恒成立，然后分离参数，转化为函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 又，所以， 所以在处的切线方程为， 即. （2）因为在上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以， 令，则， 令，则， 当时，单调递增，， 所以，所以单调递增，所以，所以， 所以的取值范围为. 38．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 39．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 40．判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求出导函数，判断导函数的正负，利用函数极值和极值点的定义即可求解； （2）类似（1），但发现导函数非负，从而在上单调递增，故没有极值． 【详解】（1）因为，所以． 令，解得或．当变化时，，的变化如下表． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此，的极小值点为，极大值点为， 当时，有极小值，且极小值为； 当时，有极大值，且极大值为． （2）因为，所以， 所以在上单调递增，所以没有极值． 41．已知函数．当时，求的极小值． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值 【分析】把代入，利用导数求出极小值. 【详解】当时，函数定义域为， 求导得， 当时，， 当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以当时，取得极小值. 42．已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值求参数 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 43．已知函数为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为. (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题. 【详解】（1）由题可知函数的定义域， 因为,所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数. （2）因为,所以，所以， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为， 所以当时，函数有最大值为. （3）由得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 44．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间及极值； (3)直接写出函数的值域，不要求计算过程. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程. （2）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值. （3）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域. 【详解】（1）因为， 所以. 又，， 所以曲线在处的切线方程为： ，即. （2）由； 由或. 所以的递减区间为和，递增区间为. 函数的极小值为，极大值为. （3）因为函数在和上单调递减，在上单调递增， 且恒成立，时，时， 所以函数的值域为. 45．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 46．已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点 (2) 【知识点】求已知函数的极值点、已知函数最值求参数 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 47．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 48．设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 49．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【详解】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 50．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义求得斜率，再根据点斜式方程即可求解； （2）求导后，根据导数的正负判断单调性，从而可得，求得，再分别计算，即可求解. 【详解】（1）当时，，得．           则，，           所以曲线在点处的切线方程为，即． （2），， 由，得或．           随着的变化，，的变化情况如下： 2 - 0 + 极小值 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 从而的最小值，解得．           又因为，， 所以在区间上的最大值． 多选题 51．设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 52．已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D．若曲线的对称中心为，则 【详解】令 若在区间上单调递减, 则在区间上小于或者等于零恒成立， 即恒成立， 即，又在区间单调递增， 则 所以a的取值范围为，故选项A错误. 若在区间上有极小值, 则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零， 则 解得a的取值范围为.故选项B正确. 当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为 切线为又切线经过点， 则有三解，即有三解， 令 则当时函数取极值， 则实数m的取值范围为，故选项C正确. 若曲线的对称中心为,则即 解得. 故选：BCD. 53．已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中，. 由图可知，当时，，即，故函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减， 当时，，即，函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减. 综上分析，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无从判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值，故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $