3.2 导数与函数的单调性-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

第三章 一元函数的导数及其应用 063 规律总结 已知曲线的切线条数求参数范围时，需要明确 曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就 可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是 说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为 关于相应函数零点个数的问题. 规律总结 【对点训练3】(1)若过点(a,b)可以作曲线y 处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲 lnx十1的两条切线，则 线、切线、切点的关系列出参数的方程（组）并解出 A.b<In a B.6>In a+1 参数，建立方程（组）的依据主要是①切点处的导数 C.a<0 D.b>e“ 是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. (2)(2025·山东联合测评)若过点(1，m)可以 【对点训练4】(1)(2024·陕西咸阳模拟)已知直 作曲线y=(x十1)e的三条切线，则实数m的 线y=kx十t既是曲线y=e的切线，也是曲线 取值范围是 y=一er的切线，则k= 命题角度3两条曲线的公切线 (2)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和 【例4】(1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十 圆x十y=日都相切，则实数a的值为 1)十a的切线，则a= (2)若曲线y=x2与曲线y=te'(t≠0)恰有 两条公切线，则t的取值范围为 》温馨提示 幻学生试答： 学习至此，请完成训练17 第 3.2 导数与函数的单调性 考试 1.理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.2.对于多项式函数，能求不超过三 要求 次的多项式函数的单调区间. 回顾 >必备知识 》知识梳理《 ○常用结论与知识拓展 1.函数的单调性与导数的关系 1.在某区间内，f'(x)>0(f'(x)<0)是函数 一般地，函数∫(x)的单调性与导函数f'(x)的 f(x)在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件.可 正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b) 导函数f(x)在(a,b)上单调递增（减）的充要条件是 内，如果 ,那么函数y=f(x)在区间 对Hx∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且 (a,b)内单调递增；如果 ,那么函数 f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零 y=f(x)在区间(a,b)内单调递减. 2.利用导数判断函数y=f(x)单调性的步骤 2.构造函数解抽象不等式 第1步，确定函数的定义域； (1)对于不等式f'(x)>(k≠0)，构造函数 第2步，求出导数f'(x)的零点； g(x)=f(x)-kx+b. 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分 (2)对于不等式xf'(x)十f(x)>0,构造函数 为若干个区间，列表给出∫'(x)在各个区间上 g(x)=xf(x);对于不等式xf'(x)一f(a)>0,构造 的正负，由此得出函数y=∫(x)在各个区间上 的单调性 函数gx)=fC》(x≠0). x 064对购·讲与练·高三数学·基础版 (3)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数 (4)若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间， g(x)=x"f(x):对于不等式xf'(x)-nf(x)>0,构 则当x∈(a,b)时，f'(.x)<0有解.() 连通g)=1女≠0n。 2.(教材改编题)函数y=1血工十1的单调递增区 (4)对于不等式f'(x)十f(x)>0,构造函数 间为 g(x)=ef(x);对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造 3.定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的大 函数g(x)=f(x) 致图象如图所示，则函数∫(x)的单调递增区间 为 (5)对于不等式f'(x)sinx+f(x)cosx>0(或 f(x)十f'(x)tanx>0),构造函数g(x)=f(x)· y=∫'(c) sinx;对于不等式f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或 34 f'(x)-f(x)tanx>0),构造函数g(x)= f(x)·cosx. 4.（教材改编题)若函数f(x)=1-2 -lnx在区 》基础检测《 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 间[1一a,2-a]内单调递增，则a的取值范围是 “/”,错误的画“X” (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递减，则一定 5.(多选题)（教材改编题）已知f(x)=1血工，下列 有f'(x)<0. () 说法正确的是 ( ) (2)函数∫(x)在某一范围内导数的绝对值越 A.曲线y=∫(x)在x=1处的切线方程为y= 大，则函数在这个范围内变化得就越快，此时函 x+1 第 数的图象就会越“陡峭”（向上或向下）.( B.f(x)的单调递减区间为(e,十∞) 章 (3)在(a,b)内，f'(x)≥0且f'(x)在(a,b) C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y= 的任何子区间内都不恒为零，则f(x)在(a,b) x-1 内为增函数， ( D.f(x)的单调递增区间为(e,十o∞) 提升>关键能力 考点1利用导数研究函数的单调性 命题角度1具体函数的单调性 【例1】(1)已知函数f(x)=-xlnx+2x,则函 数f(x)的单调递增区间为 ,单调递 减区间为 (2)讨论函数f(x)=x sn在(o, 上的 cos2x 单调性。 学生试答： 规律总结 确定函数f(x)单调区间的步骤：第一步，确定 函数f(x)的定义域.第二步，求f'(x).第三步，解 不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调 递增区间；解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的 部分为单调递减区间.注意函数间断点. 第三章一元函数的导数及其应用065 【对点训练】()函数fx)=l(2x)-女的 (2)设函数f(x)=ax-(a+1)1n(x+1),其 中a≥一1，求f(x)的单调区间. 单调递增区间为 ,单调递减区间为 sin x (2)已知函数f(x)=2十c0s2∈(0,2x), 则函数f(x)的单调递减区间为 命题角度2含有参数的函数的单调性 【例2】(2024·全国甲卷文节选)已知函数 f(x)=a(x-1)-lnx+1,讨论f(x)的单 调性。 学生试答： 考点2函数单调性的应用 命题角度1 函数图象的识辨 【例3】(1)设函数f(x)的导函 数为f'(x),已知导函数 f'(x) 第 f'(x)的图象如图所示，则 三章 f(x)的图象不可能是( fx) fx) B Rx) fx) 规律总结 -101 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对 C D 不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重 (2)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如 不漏” 2.确定函数的单调区间时，一是要在函数定义 图，则下列结论正确的是 y↑ 域内讨论，二是要确定导数值为零的点和函数的间 -2 断点. -31012345 3.要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类 与整合”的数学思想. A.函数f(x)在区间（一2,1）上单调递增 【对点训练2】(1)已知函数f(x)=a.x3-3.x2+ B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减 1一3，讨论函数f(x)的单调性. C.函数f(x)在区间(4,5)上单调递增 D.函数f(x)在区间（一3，一2）上单调递增 066?对构·讲与练·高三数学·基础版 学生试答： 【对点训练4】(1)(2024·辽宁锦州摸底)已知定 义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且 f(x)<f'(x)<0,则 () A.ef(2)>f(1),f(2)>ef(1) B.ef(2)>f(1),f(2)<ef(1) C.ef(2)<f(1),f(2)<ef(1) 规律总结 D.ef(2)<f(1),f(2)>ef(1) 利用导函数进行图象识别有以下结论：在导函 (2)(多选题)(2025·湖北部分学校第一次联 数图象中，在x轴上方部分对应原函数的单调递增 考已知a=6=1n吕c= 1 区间，在x轴下方部分对应原函数的单调递减区间 30 ,则 【对点训练3】设f'(x)是函数 ( f(x)的导函数，y=f'(x)的图 y=f'(x) A.c>a B.a6 象如图所示，则y=f(x)的图 0 C.cb D.b>a 象最有可能是 命题角度3解不等式 【例5】(1)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不 等式f(x)<0的解集是 (2)(2025·河南开封联考)已知定义在R上的 可导函数f(x)满足f(.x)-f(-x)=x8.当 第 r≥0时f(x)≥3，则不等式f(2) 三章 f(x+1)> 7x3-3x2-3x-1 的解集为 2 命题角度2比较大小 【例4】(2022·新高考I卷)设a=0.1e.1,b= 学生试答： 1 c=-ln0.9,则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 学生试答： 规律总结 1.解函数不等式的关键是研究函数单调性，通 过单调性将原问题转化为关于自变量的不等关系. 规律总结 2.常见的函数构造形式 1.利用导数比较大小，有时需要利用题目条件 (1)g(a)=e"f(x),g'(x)=e“[af(x)+f'(x)]. 构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导 g()=f()-af(a) (2)g(x)=fx) 数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的 问题. 【对点训练5】(1)已知函数f(x)的定义域为R, 2.比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、 且对任意x∈R,f(x)-f'(x)<0恒成立， 对称性，进而把自变量转移到同一单调区间，再利用 单调性比较即可. 则cf(x+1)>2x+3) 的解集为 第三章 一元函数的导数及其应用 067 (2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足 f(1)=0,当x>0时有xf'(x)-f(x)>0 则不等式xf(x)>0的解集为 命题角度4已知函数单调性求参数的范围 【例6】(1)(2025·北京第二十中学月考)已知函 规律总结 数f(x)=2lnx-a.x+b一1，若f(x)在 根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集 (1,十∞)上单调，则a的取值范围是 合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则 区间(a,b)是相应单调区间的子集；②f(x)为增函 数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥ (2)(2023·全国乙卷理)设a∈(0,1)，若函数 0,且在(a,b)的任一非空子集上f'(x)不恒为零， f(x)=ar+(1十a)r在(0，十∞)上单调递增， 应注意此时式子中的等号不能省略，否则可能漏解； 则a的取值范围是 ③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式 (3)(2025·福建宁德联考)若函数f(x)=x 有解问题 4一alnx存在单调递减区间，则实数a的取 【时点训练0】（1)已知函数(x)=方+mx十 值范围为 幻学生试答： 6lnx(m∈R).若函数f(x)在定义域上单调 递增，则m的取值范围是 (2)函数f(x)=x3一x在区间(-3，一1)上 不单调，则实数的取值范围是 聚焦〉学科素养。理性思维背景下的“二次求导”与“函数的凹凸性”问题 第 【题目呈现】(1)若函数f(x)=sin工，0< 学生试答 三章 x1<x2<元.设a=f(x1),b=f(x2),试比较a, b的大小 (2)判断函数f(x)=x+1)1n工(x>1)的 x一1 单调性。 (3)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做 出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不 等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在 (a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的 导函数为"(x),若在(a,b)上"(x)<0恒成 立，则称函数f(x)在(a,b)上为“严格凸函数”. 已知f(x)=e-xlnx-px2在(1,4)上为“严格 凸函数”，求实数p的取值范围 【思路分析】函数图象虽然可以直观地反映 出两个变量之间的变化规律，但大多数的复合函 数作图困难，导数的建立拓展了应用图象解题的 空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研 究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操 作性. 068 红对构·讲与练·高三数学·基础版 素养解读 2.判断函数fx)=1-x)c-上(x>0)的单 1.为了得到f(x)的单调性，需判断f'(x)的符 号，若f'(x)的符号很难直接判断，则可通过二次求 调性 导，由二次导函数判断一次导函数的符号，并最终解 决问题. 2.求导后思路受阻，尤其是解析式含e,lnx, x”,sinx,cosx等混合结构时，常考虑二次（多次） 求导（需利用函数思想先构造函数）.注意：结合端点 或特殊点的函数值符号有助于解题；求f'(x)的导 数时，一般令g(x)=f'(x),求g(x)的导数，而不 直接把f'(x)的导数写成f(x). 》素养检测☒《 3.当x>0时，比较sinx与x-6的大小 1.定义：函数f(x)在(a,b)上的导函数为 '(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为"(x), 若在(a,b)上f"(x)<0恒成立，则称函数 f(x)在(a,b)上为“严格凸函数”，称区间(a, b)为函数∫(x)的“严格凸区间”.下列正确命 题的序号为 ①函数f(x)=-x3+3.x2+2在(1，+∞)上 第 为“严格凸函数；②函数f(x)=1n工的“严格 三章 凸区间”为(0，e);③若函数f(x)=e- )温馨提示 在(1,4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围 学习至此，请完成训练18 为[e,十∞). 3.3 导数与函数的极值、最值 考试1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.会 要求 求闭区间上函数的最大值、最小值」 回顾》必备知识 》知识梳理《 的 ,f(a)叫做函数y=f(x)的 ;b叫做函数y=f(x)的 1.函数的极值 ∫(b)叫做函数y=f(x)的 极小值 (1)函数极值的定义：如图，函数y=f(x)在点 点、极大值点统称为 ,极小值和极大值 x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 统称为 他点的函数值都小，'(a)=0,而且在点x=a '=fx) 附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似 地，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)> (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条 0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x) 件：一般地，函数y=∫(x)在某一点处的导数值例3(1)D在曲线y=e上任取一点 P(t,e),对函数y=e求导得y'= e”,所以曲线y=e”在点P处的切线 方程为y-e=e(x-t),即y= ex十(1-t)e,由题意可知，点(a,b) 在直线y=e'x十(1-t)e上，可得 b=ae+(1-t)e'=(a+1-t)e'; f(t)=(a十1-t)e,则f'(t)=(a t)e.当t<a时，f'(t)>0,此时函数 f(t)单调递增，当t>a时，f'(t)<0, 此时函数f(t)单 调递减，所以， f(t)m=f(a)= y=b e“.由题意可知，直 线y=b与曲线 aa+l t y=f(t)有两个交 点，则b<f(t)x= e“,当t<a十1时， y=f)） f(t)>0,当t a十1时，f(t)<0, 作出函数∫(t)的图象如图所示，由图 可知，当0<be“时，直线y=b与 曲线y=f(t)有两个交，点.故选D. (2)(-∞，-4)U(0,+∞) 解析：y=(x十a)e,.y'=(x十 1十a)e,设切点为(xo,yo),则y0= (x。十a)e,切线的斜率k=(x。十 1十a)e0,切线方程为y -(x。十 a)e"o=(xo+1+a)e(x-zo), 切线过坐标原点，.-(x。十a)e0= (x。十1十a)e(-xo),整理得x十 ax。一a=0,,切线有两条，∴△= a”十4a>0,解得a<-4或a>0,∴.a 的取值范围是（一∞，一4）U (0,十0o). 对点训练3(1)B因为y=lnx十1，所 以y=】,设切点坐标为(xonc。十 1),则切线斛率=1，则切线方程为 y-lnx。-1=上(x-。),整理得 y=】x十lnr。,又因为切线过点a, 工0 b),则b=a+lnxo,设f(x)= z十二，函数定义城是(0，十) 直线y=b与曲线f(x)=lnx十 有两个不同的交点.f(x)= 1 x =2，当a≤0时f)>0版 成立，∫(x)在定义域内单调递增，不 合题意；当a>0时，令f'(x)<0,解 得0<x<a,令f'(x)>0,解得x> a,可知f(x)在(0，a)内单调递减，在 (a,十∞)内单调递增，则f(x)≥ f(a)=lna+1,且当x趋近于0 或十∞时，f(x)趋近于十∞，作出 f(x)的图象如图， fx)=lnx+号 v=b In a+l 结合图象可知b>na十1.综上所述， b>lna十1，a>0.故选B. (2)(-6e3,0) 解析：依题意，设切，点坐标为(t,(t+ 1)e),由y=(x+1)e,求导得y'= (x十2)e,则曲线y=(x十1)e在点 (t,(t十1)e)处的切线方程为y一(t十 1)e=(t十2)e(x-t),由切线过点 (1,m),得m=(t+1)e+(t+ 2)e(1-t)=(-t+3)e,令g(t)= (-t2十3)e,依题意，直线y=m与函 数y=g(t)的图象有3个公共点， g'(t)=(-t2-2t+3)e=-(t+ 3)(t-1)e,当t<-3或t>1时， g(t)<0,当-3<t<1时，g(t)> 0,则函数g(t)在(-∞，一3)， (1,十∞)上单调递减，在（一3,1）上单 调递增，当t=一3时，函数g(t)取得 极小值g(-3)=-6e,而当t<一√3 时，恒有g(t)<g(-5)=0,又 g(2)=-e<-6e3,因此当-6e3< m<0时，直线y=m与函数y=g(t) 的图象有3个公共点，所以实数的取 值范围是（一6e3,0). 例4(1)ln2 解析：由y=e十x得y'=e十1， y'x=0=e°十1=2，故曲线y=e十 x在点(0,1)处的切线方程为y= 2x十1.由y=ln(x十1)十a得y'= x十，设切线与曲线y=ln(x十1)十 1 a相切的点为(xo,ln(x。十1)十a),由 1 两曲线有公切线得y'= xo十1 =2, 1 1 解得x。=一2，则切点为（a十 ,线方程为y=2(:十) 1n2 1 a十ln =2x十1十a-n2,根据两切 线重合，得a-ln2=0,解得a=ln2. 解析：设曲线y=te的切点为M(m, te"),曲线y=x2的切点为N(n,n2), 则曲线y=te在，点M(m,te”)处的切 线方程为y-tem=tem(x-m),即 y=te"(x-m)十te",同理，曲线y= x2在点N(n,n)处的切线方程为 y=2nx-n2,根据曲线y=te与曲 线y=x2有两条公切线，则 te 2n, lte-mtem= n,所以te mte"=-（ e" 2）化简可得t=m-4 两曲线有两条公切线转化为t=m一4 e 有两个解，构造函教fx)=红一4，则 fx)=8-虹，当x<2时f'Gx)>0, f(x)单调递增，当x>2时，f(x)<0, f(x)单调递减，故f(x)在x=2时有极 大值即为最大值，f(2)= ,当x e 时，f(x)→-∞，当x→十∞时， )→0，就：的取位范周为0，) 对点训练4(1)e 解析：设曲线y=e与曲线y=一e的 切点分别为(x1,e1),(2,-e2),易知 函数y=e,y=一e的导画数分别为 y’=e,y’=e,由题意可知 1k=e1=e2, kx1十t=e1,可得 kx2十t=-e, x1=一x2， x1e1+t=e1, 则 z:e":+t=-e x1e1+t=e1, -x1e1+t=-e1 解得三1·所 t=0, 以k=e1=e (2)2或0 解析：依题意，设直线l的方程为y= x十b,即x-y十b=0,由直线和圆x2+ 1 y=豆相切可得， b √+(-1) 号解得6=±1，当b=1时，直线 y=x十1和曲线y=ln(.x十a)相切， y'= 1,设切点为(m,n),根据导 x十a 1 数的几何意义，得 ,=1,又切点 m-a 同时在直线和曲线上，即 /n=m+1, n=0, In =In(m+a), 解得{m=-1,即 a=2, b=1时，a=2.当b=-1时，直线 y=x一1和曲线y=ln(x十a)相切， 1 )=十a设切点为(s,),根据导数 的几何意义，得 1=1,又切点同时 十a 在直线和曲线上，即亿=：一1， 解 t In(s+a), t=0, 得{s=1,即b=-1时，a=0.综上 a=0, 所述，a=2或a=0. 3.2导数与函数的单调性 》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.f'(x)>0f'(x)<0 基础检测 1.(1)X(2)/(3)/(4)/ 2.(0,1) 解析：函数y= nx十]的定义城为 x (0,+∞)，y (In z +1)'z-(In z+1)z' x 1-(1nx+1) -In x ,由y'>0得 x2 参考答案421 1nx<0,解得0<x<1,所以y= nx十1的单调递增区间为(0,1). 3.(-1,2),(4,+∞) 解析：根据导函数的图象可知，函数 f(x)在（一1,2），(4，十∞)上时，导数 f(x)>0,函数f(x)在(-∞，-1)， (2,4)上时，导数f'(x)<0,所以 f(x)的单调递增区间为（一1,2）， (4,十∞). 4.[0,1) 解析：由题意可知，∫(x)的定义域为 2 (0,十o∞)，且f'(x)= 1 令了(x)≥0，得0<x≤2，可 知f(x)的单调递增区间为(0,2]，若 函数f(x)在区间[1-a,2-a]内单调 总好，湖日22解释0<。<1， 所以a的取值范围是[0,1). 5.BC对于A,C,f1)=ln1 =0,由 1 fx)=二，得f'r)=1-n工，所 x 以切线的斜率k=f'(1)= 1-1n1 12 1,所以曲线f(x)在x=1处的切线方 程为y=x一1，所以A错误，C正确； 对于B,D,函数的定义域为(0，十∞)， f'(x)= 1-1n工，由f'(x)>0,得 1-lnx>0,解得0<x<e,由 f'(x)<0,得1-lnx<0,解得x e,所以f(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十∞)上单调递减，所以B正确，D 错误.故选BC. …》提升·关键能力《… 例1(1)(0，e)(e,+∞) 解析：f(x)=-xlnx十2x的定义域 是(0，十∞)，依题意，f'(x)=1 lnx,令f'(x)>0,得0<x<e,令 f'(x)<0,得x>e,故函数f(x)的 单调递增区间为(0，e),单调递减区间 为(e,十oo). (2)解：f(x)=x-snx, cos'x x∈(0，受），则f'(x)=1 cos xcos'x -2cos z (-sin x)sin x cosx 1-cos'x+2sin'x cos"x cos'z -cos'z-2(1-cos'z) cos"x c0sx十cosx-2,令t=cosx,由于 cos'x x∈(0，受），所以t=c0x∈(0.1… 所以cos3x+cos2x-2=t3+t2-2= t3-t2+2t2-2=t2(t-1)+2(t+ 1)(t-1)=(t+2t十2)(t-1),因为 t2+2t+2=(t+1)2+1>0,t-1 0,cosx=t3>0,所以f'(x)= c0sz十cosx-2<0在(0,2）上 cos"x 422红对构·讲与练·高三数学· 恒成立，所以fx)在(0，)上单调 递减. 对点训练1(1)(0,1)(1，十∞) 解桥：由fx)=1nc2)-己r,定义 2 城为(0，十∞)，得f'(x)=22-x -1=1=2(u>0.令fx)> x 0,得0<x<1,令f(x)<0,得x> 1,所以函数f(x)的单调递增区间为 (0,1),单调递减区间为(1，十∞). 2) 解析f'(x) cosx(2+cosx)十sin2x (2+cos x) (2+c0sxx∈(0.2x),令f(x)= 2cos x+1 (2+c0sr7=0.即2c0sx+1=0. 2cos x+1 解得工= 或x=经当x∈(o, 3 ）时f)>0剧f)在(0， ）上单调递培：当x∈（答）时， fx)<0.则f)在（答智）上￥ 调递减：当x∈（行，2）时f)> 0,则)在（货2a)上单润适境综 上可知，函数∫(x)的单调递减区间 为（爱） 例2解：f(x)的定义域为(0，十∞)， f'(x)=a-1=ax-1 x x 若a≤0，则f'(x)=ax-1<0,故 f(x)在(0，十∞)上单调递减； 若a>0,则当x∈（日十）时， f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(0，)时，f(x)<0,fx) 单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在 (0,十∞)上单调递减； 当a>0时，fx)在(0，)上单调递 设，在（日，十∞）上单调递增， 对点训练2解：(1)由题意得a≠0， f'(x)=3ax2-6x=3ax(x-2), a, 令f'(x)=0,得x=0或x= 2 a ①若a>0,则当x<0或x>2时， 0≥0，当0<x34 f'(x)<0,所以f(x)在(-∞，0)和 基础版 (名+）上单调递增，在(0，名）上 单调递减； ②若a<0,则当x>0或x≤二时) f(x)<0,当2<x<0时，f)>0, 所以f(x)在0，+∞)和(-o,二) 上单调递诚，在（侣，0）上单调递增。 综上，当a>0时，f(x)在(-∞，0)和 (侣，十)上单调递增，在(0，)上 单调递减；当a<0时，f(x)在 0,十0)和(0，名)上单调递减， 在（名0）上单调递增。 (2)函数f(x)=ax-(a十1)ln(x+ 1)的定义域为(-1，十∞)，f(x)= a-a+1=ax-1 x+1x十1 ①当一1a≤0时，对任意的x> -1,f'(x)<0, 此时函数f(x)的单调递减区间为 (-1,十∞)，无单调递增区间； ②当a>0时，由f(x)<0可得-1< x<后，由f)>0可得x>1, 此时函数f(x)的单调递减区间为 (-1,二)，单调递增区间为 (日，+) 综上所述，当一1≤a≤0时，函数 f(x)的单调递减区间为（一1，+∞）， 无单调递增区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区 间为(1，日)，单商递端区间为 (日+） 例3(1)C由题中导函数'(x)的图象 可知，当x<一1或0x<1时， f'(x)<0,当-1<x<0或x>1 时，f'(x)>0,所以f(x)在(-∞， 一1)，(0,1)上单调递减，在（一1,0）， (1,十o∞)上单调递增，且f(x)的图 象关于原，点对称，即f'(x)为奇函数 则f(x)为偶函数，A,B,D的图象均关 于y轴对称，即为偶函数，符合题意； C的图象对应的函，数既不是奇函数也 不是偶函数，不符合题意.故选C, (2)C由题中导函数f(x)的图象可 知，当-1<x<2或4<x<5时， f'(x)>0,所以f(x)在区间（一1， 2),(4,5)上单调递增，故C正确；当 2<x<4时，f'(x)<0,所以f(x) 在区间(2,4)上单调递减，当一3 x-1时，f(x)<0,所以f(x)在 区间（一3，一1）上单调递减，故A,B,D 错误.故选C. 对点训练3C由题中f'(x)的图象知， 当x∈(-o∞，0)时，f'(x)>0,f(x) 为增函数，当x∈(0,2)时，f'(x) 0,f(x)为减函数，当x∈(2，十o) 时，f'(x)>0,f(x)为增函数.故 选C 例4C设f(x)=ln(1十x)-x(x -1),则f(x)=,1 1十x -1=- 1+x 当x∈(-1,0)时，f'(x)>0,当x∈ (0,十∞)时，f'(x)<0,所以函数 f(x)=ln(1十x)-x在(0，十oo)上 单调递减，在（一1,0）上单调递增，所 9 以f(0)<f0)=0,即1 10 6<0,放品<e古所以 1 10 即0.1e1<号故a<6.设gx) 1 xe十ln(1-x)(0<x<1),则 1 g'(x)=(x十1)e (x2-1)e+ ,令h(x)=e(x2-1)十 x-1 1,x∈(0,1)，则h'(x)=e(x2十 2x-1),当0<x<√2-1时， h'(x)<0,函数h(x)=e(x2-1)+ 1单调递减，当√2一1<x<1时， h'(x)>0,函数h(x)=e(.x21)+ 1单调递增，又h(0)=0,所以当0< x<√2一1时，h(x)<0,所以当0< x<√2-1时，g'(x)>0,函数 g(x)=xe十ln(1一x)单调递增，所 以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°.1> -ln0.9,所以a>c.故选C. 对点训练4(1)D构造函数g(x)= ）g'x)=x）-f ,因为 e e f(x)<f'(x),所以g'(x)>0,因此 函数g(x)在R上是增函数，于是有 g2)>g1)Pf②>f0→f2)> e ef(1).构造函数h(x)=f(x) e→h'(x)=e[f(x)十f'(x)],因为 f(x)<f'(x)<0,所以h'(x)<0, 因此h(x)在R上是减函数，于是有 h(2)<h(1)→e2f(2)<ef(1)→ef(2) f(1).故选D. 1 (2)ACD a=2 g110 =2 10 0 b=In'g =-ln8--n(1-6) a-6=0+n1-6),令fx)= x十ln(1-x),x∈(0,1)，则f'(x)= 11=<0,故fx)在0 1)上单调递减，所以f(0)<∫(0 0,即ab,故B错误，D正确；因为c= 10 30 -√，所以6-c 0 )= '(x)=1-1-1 x2√2√x 2E-x-1=-(E-1)<0, 2x? 故h(x)在(1，十∞)上单调递减，所以 h(得)<h)=0,即6<c,故C正 确：因为a<b,b<c,所以c>a,故A 正确.故选ACD. 例5(1)(0,1)U(2,十∞) 解析：函数f(x)=log2x一x十1的定 义域是(0，十o∞)，f'(x)= 1 1=令广)=0，解得 x=2>1,所以在区间(0~2)上 1 f'(x)>0,f(x)单调递增，在区间 (n2·+∞）上f'(x)<0,f(x)单调 1 递减，而f)=01<2<n后 .1 1 2,f(2)=0,故要使f(x)<0,则需 0<x<1或x>2.所以不等式 f(x)<0的解集为(0,1)U(2,十o∞). 2ax<-号或x>1 解析：令g)=fx)-之，由于 f(x)-f(-x)=x3,故f(x) 合=f-0(-x即gx)= 1 g(一x),·g(x)为偶函数.x≥0 时fx)≥s'）=) 2≥0g()在[0，+0∞)上单调递 增.又g(x)为偶函数，.g(x)在（一o∞， 0)上单调递减.又不等式f(2x) fx+1)>7-3x-3x-19 2 g(2x)>g(x十1)，.|2x|>x十 1 11→3x2-2x-1>0心x<-3或 x>1.故不等式的解集为 <号成x>, 对点训练5(1)(-∞，-2) 解析：由f(x)一f(x)<0得 「fx]'='x)-f》>0,记 e g(x)三，则g(x)在R上单调递 增.由efx+1)>2x+3》得 e? /x十1）之≥f《2x十3》.即g(x+ e+l 1)>g(2x十3)，.x十1>2x十3， x<-2.解集为(-∞，-2). (2)(-1,0)U(1,十∞) 解析：：不等式xf(x)>0,x≠0. 令g(x)=f,x≠0，则g'(x)= x xf'(x)-fx).:当x>0时有 xf(x)-f(x)>0,.g'(x)0, ·g(x)在(0，十o∞)上是增函数.又 f(x)为偶函数，则f(一x)=f(x), f(-1)=f(1)=0..g(-x)= f-x）=-fx) 一x =-g(x),…g(x) 为奇函数，g(x)在（一∞，0）上是增函 数.当x>0时，不等式xf(x)>0化 为2>0=代，甲x)> x g(1),x>1,当x<0时，不等式 xf(x)>0化为)>0=f-卫， -1 即g(x)>g(-1),.-1<x<0.综 上，不等式xf(x)>0的解集为(-1， 0)U(1,+∞). 例6(1)(-∞，0]U[2,+∞) 解析：由f(x)=2lnx-ax十b-1,得 f(x)=2-a,当fx)在1，+oo) x 2 上单调递增时，f(x)= x 一a≥0在 1,十∞)上恒成立，即a≤2在 (1,十∞)上恒成立，所以a≤0，当 f(x)在(1，十∞)上单调递减时， f(x)=2-a≤0在1，+o)上恒 成立，即a≥二在1，十0)上恒成立， 所以a≥2，所以a的取值范围是 (-o∞，0]U2,+∞). 解析：由题意得f'(x)=alna十(1十 a)ln(1十a)≥0在区间(0，十∞)上恒 成立，则(1十a)ln(1十a)≥-alna, ≥-。东区间 0,+0)上恒成主，故(）广 In a 1≥n1+a)而a+1∈1,2)，故 1n(1+a)>0,故aa十D≥-lha'即 l0<a<1, 。(a十1)≥1，故5≤a<1,所 l0<a<1, 风生：的取孩花酒无[。一)小 (3)a>4 解析：因为f(x)=x-4一alnx存 在单调递减区间，所以f'(x)=1十 4-0<0在(0，十∞)上有解，即 a>4十x在0，十0)上有解，令 g(x)= 4 x 十x(x>0),则g'(x) 十1，令g()=0,解得x= 4 2(负值舍去)，当0<x<2时， g'(x)<0,g(x)单调递减，当x>2 参考答案423 时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以 g(x)mm=g(2)=4,故a>4. 对点训练6(1)[-2√6，+∞) 解析：由题可知f'(x)=x十m十 ≥0在(0，十∞)上恒成立，只需 x (x十m+6) ≥0即可，因为x> x/min 6+ 0.所以十m十≥2√· x m=2W6+m,当且仅当x三，，即 x=√6时，等号成立，所以2√6十m≥ 0,解得m≥-2√6. (2)(3,27) 解析：函数求导得f'(x)=3x2一k,因 为f(x)在区间（一3，一1）上不单调， 所以f'(x)在区间（一3，一1）内有变 号零点，所以f'(-3)f'(-1)<0.因 为f'(-3)=27-k,f'(-1)=3-k, 所以(27-k)(3一k)<0→3<k<27. 聚焦学科素养… 题目呈现解：(1)由f(x)=sin工 x∈(0，π)， 得f'(x)=cOS-sinx 22 设g(x)=xcos x一sinx,x∈(0，π)， 则g'(x)=-xsin z十cosx cos x =-xsin x. 0<x<π，g'(x)<0,即函数 g(x)在(0，π)上是减函数. .g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0, 故函数f(x)在(0，π)上是减函数， 当0<x1<x2<π时，有f(x1)> f(x2),即a>b. (2)f(x)= (nx+中）x-1D-a+1nx x (x-1)2 x:-2zInx-lx1, x(x-1)2 令g(x)=x2-2xlnx-1,x>1,则 g'(x)2x-2In x -2,h (z)= g'(x),x>1,则h'(x)= 2(x-1) 当x>1时，h'(x)>0,故h(x)单调 递增，故h(x)>h(1)=0,则g(x)单 调递增，故g(x)>g(1)=0,从而 f'(x)>0,f(x)在(1，十∞)上单调 递增. (3)"'f (x)e"-xIn z-px2, f'(z)=e"In x -1-2px, ∴f(x)=e-1-2p,:fx) e-xlnx-px2在(1,4)上为“严格 凸函数”，.f(x)=e一 1-2p<0 在(1,4)上恒成立，即2p>e-1在 x (1,4)上恒成立，令g(x)=e- 1 x∈(1,4)，则g'(x)=e十 2>0, g(x)=c-1在(1,4)上单调递 424红2对构·讲与练·高三数学· 增gu)<g0=e-子2p≥ e'- 素养检测1.①② 解析：f(x)=一x3十3x2十2的导函 数f(x)=-3x2十6x,f"(x)= -6x十6，故"(x)<0在(1，十∞)上 恒成立，所以函数f(x)=一x3十 3.x2十2在(1，十∞)上为“严格凸函 数”，所以①正确：f(x）=n工(x> 0)的导函数f(x)=1-ln2, -,"(x)= x2 2lnx-3,由f(x)<0可得2nx-3< x 0,解得x∈（0，e）,所以品数f(x) 血工的“严格凸区间”为(0，c),所以 ②正确f(x)三e二”x的导函数 f'()e*-mx,f"(x)e-m, 为f(x)为(1,4)上的“严格凸函数”， 故(x)<0在(1,4)上恒成立，所以 e-m<0在(1,4)上恒成立，即m> e在(1,4)上恒成立，故m≥e,所以 ③不正确.所以正确命题的序号 为①②. 2.解：f(x)= [-2xe+1-x2)e]x-[1-x2)e-1 (-x3-x2+x-1)e十1 ,x>0. x 令g(x)=(-x3-x2十x-1)e+1, x>0,则g'(x)=-(x3十4x2+x)e, 当x>0时，g'(x)<0,则g(x)单调 递减，又g(0)=0, 故当x>0时，g(x)<0,则f(x)< 0,f(x)在(0，十∞)上单调递减. x 3.解：令f(x)=sinx-x+6x>0, 则f'x)=cosx-1+, 令g(x)=f'(x),x>0, 则g'(x)=-sinx十x, 令h(x)=g'(x),x>0, 则h(x)=1-cosx≥0，则h(x)在 (0,+∞)上单调递增，又h(0)=0, 则h(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上 单调递增， 又g(0)=0,则g(x)>0, 故f(x)在(0，+∞)上单调递增，又 f(0)=0, 故f(x)>0.所以当x>0时，sinx> 6· 3.3 导数与函数的极值、最值 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)极小值点极小值极大值点 极大值极值点极值 (2)必要条件①f(xo)=0 (3)极大值极小值 基础版 2.（1)②最小值最大值单调递减 3.(1)20(2)20 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2 解析：f'(x)=4e2x十2(4x-5)e2x= (8x-6)e,令f'(x)<0,得x<3 4 此时函数单调递减；令f'(x)>0,得 3 工>，此时函数单调递增。所以 f(x)的极小值点为。 3.4 解析：函数f(x)=工+5十2的定义 域为（一∞，0）U(0,十∞)，求导得 （x)=1号，由f(x)<0,得 -√5<x<0或0<x<√5，由 f'(x)>0,得x<-√5或x>√5，因 此函数f(x)在(-√5,0)，(0W5)上单 调递减，在(-∞，一√5)，(W5,十∞)上 单调递增，于是当x=一√5时，f(x) 取得极大值f(一√5)=一2√5十2，当 x=√5时，f(x)取得极小值f(√5)= 25+2,所以函数f(x)=x+5+2 的所有极值之和为f(一√5)十 f(√5)=4. 4.-19 解析：f'(x)=3x2-3=3(x 1)(x+1),x∈[-3,2]，令f'(x)> 0,得1<x≤2或-3≤x<-1,令 f'(x)<0,得-1<x<1,所以f(x) 在[-3，-1)，(1,2]上单调递增，在 (一1,1)上单调递减，因为f(-3)= -19,f(-1)=1,f(1)=-3, f(2)=1,所以m=1,n=-19,故 mn=-19. 5.BC对于A,由题中导函数图象可知， 当x∈(-3，-1)时，f(x)<0,x∈ (-1,2)时，f'(x)>0,x∈(2,4)时， f'(x)<0,x∈(4，十o∞)时，f'(x)> 0,故f(x)在(-1,2)，(4，+o)上单 调递增，不能用U连接，A错误；对于 B,f(x)在(-3，-1)上单调递减，在 (一1,2)上单调递增，f'(一1)=0，故 x=一1为f(x)的极小值点，B正确； 对于C,f(x)在区间(2,4)上单调递 减，C正确；对于D,f(x)在(-1,2)上 单调递增，在(2,4)上单调递减， f'(2)=0,故x=2是f(x)的极大值 点，D错误.故选BC …》提升·关键能力《… 例1ACD由题图可得，当x<-2时， f(x)>0,当-2<x<3时， f(x)≤0且不恒为0，故函数f(x)在 (一∞，一2)上单调递增，在（一2,3）上 单调递减，故C正确；可得函数∫(x) 在x=一2处取得极大值，故A正确； 因为-2<x<1时，f'(x)<0,1< x<3时，f'(x)<0,故f(x)在x= 1处没有取得极值，故B错误；因为