3.3 导数与函数的极值，最值-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

068 红对构·讲与练·高三数学·基础版 素养解读 2.判断函数fx)=1-x)c-上(x>0)的单 1.为了得到f(x)的单调性，需判断f'(x)的符 号，若f'(x)的符号很难直接判断，则可通过二次求 调性 导，由二次导函数判断一次导函数的符号，并最终解 决问题. 2.求导后思路受阻，尤其是解析式含e,lnx, x”,sinx,cosx等混合结构时，常考虑二次（多次） 求导（需利用函数思想先构造函数）.注意：结合端点 或特殊点的函数值符号有助于解题；求f'(x)的导 数时，一般令g(x)=f'(x),求g(x)的导数，而不 直接把f'(x)的导数写成f(x). 》素养检测☒《 3.当x>0时，比较sinx与x-6的大小 1.定义：函数f(x)在(a,b)上的导函数为 '(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为"(x), 若在(a,b)上f"(x)<0恒成立，则称函数 f(x)在(a,b)上为“严格凸函数”，称区间(a, b)为函数∫(x)的“严格凸区间”.下列正确命 题的序号为 ①函数f(x)=-x3+3.x2+2在(1，+∞)上 第 为“严格凸函数；②函数f(x)=1n工的“严格 三章 凸区间”为(0，e);③若函数f(x)=e- )温馨提示 在(1,4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围 学习至此，请完成训练18 为[e,十∞). 3.3 导数与函数的极值、最值 考试1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.会 要求 求闭区间上函数的最大值、最小值」 回顾》必备知识 》知识梳理《 的 ,f(a)叫做函数y=f(x)的 ;b叫做函数y=f(x)的 1.函数的极值 ∫(b)叫做函数y=f(x)的 极小值 (1)函数极值的定义：如图，函数y=f(x)在点 点、极大值点统称为 ,极小值和极大值 x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其 统称为 他点的函数值都小，'(a)=0,而且在点x=a '=fx) 附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似 地，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其他点的函数值都大， f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)> (2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条 0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x) 件：一般地，函数y=∫(x)在某一点处的导数值 第三章 一元函数的导数及其应用 069 为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 续表 可导函数y=f(x)在x=x,处取极 项目 A>0 △≤0 大（小）值的充分条件： 在(-∞，x1),(x2 ① 单调性 +∞)上单调递增：在 在R上单调递增 ②在x=x。附近的左侧f'(x)>0(<0),右侧 (x1,x2)上单调递减 f'(x)<0(>0). 极值点 (3)导数求极值的方法：解方程f'(x)=0,当 个数 f'(xo)=0时，如果在x。附近的左侧f'(x)> (2)a<0 0,右侧f'(x)<0,那么f(xo)是 ;如 项目 △>0 △≤0 果在x。附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)> 0,那么f(xo)是 注意对于可导函数f(x),“f'(x。)=0”是“函数 图象 f(x)在x=x。处有极值”的必要不充分条件. 1 2.函数的最大（小）值 (1)函数最大（小）值的再认识 在(x1x2)上单调递 ①一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x) 单调性 增；在（一∞，x1),(x2, 在R上单调递减 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最 十∞)上单调递减 大值和最小值； 极值点 ②若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增，则 个数 f(a)为函数在[a,b]上的 ,f(b)为函 》基础检测《 数在[a,b]上的 ;若函数y=f(x)在 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 第 [a,b]上 ,则f(a)为函数在[a,b]上 “√”，错误的画“X” 的最大值，f(b)为函数在[a,b]上的最小值. (1)函数的极小值一定比极大值小.( ) 章 (2)导数求最值的一般步骤：设函数y=f(x) (2)对于可导函数f(x),若f'(xo)=0,则x0 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求函数y= 为函数的一个极值点. () f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (3)函数的极值反映的是函数在定义域内某一 如下： 点附近的“局部”性质，而函数的最值则反映的 ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值； 是函数在定义域内的“整体”性质.() ②将函数y=∫(x)的各极值与端点处的函数 (4)三次函数在R上可能不存在极值.( ) 值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 2.(教材改编题)函数f(x)=(4x一5)ex的极值 最小的一个是最小值 点为 3.三次函数的图象、单调性、极值 3.(教材改编题)函数x)=工十5+2的所有极 设三次函数f(x)=a.x3十bx2十cx十d(a≠ 值之和为 0),则f'(x)=3ax2+2bx十c,记△=4b2 4.(教材改编题)已知函数f(x)=x3一3x一1在 12ac=4(b2-3ac),A>0时，设x1,x2是方程 区间[一3,2]上的最大值为m,最小值为n,则 f'(x)=0的两实数根，且x1<x2: mn (1)a>0 5.(多选题)y=f(x)的导函 项目 4>0 △0 数y=f'(x)的图象如图所 示，则下列结论中正确的是 -3 1234x () A.f(x)在区间(-1,2)U(4,+∞)上单调递增 图象 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上单调递减 D.x=2是f(x)的极小值点 0702对构·讲与练·高三数学·基础版 提升>关键能力 考点1利用导数确定函数的极值（极值点） (3)(2022·全国乙卷文改编)函数f(x)= 1 命题角度1利用函数图象判断极值 一lnx的最大值为 【例1】（多选题）已知函 习学生试答： 数f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所 示，则下列选项中正确 的是 () A.函数f(x)在x=一2处取得极大值 B.函数f(x)在x=1处取得极值 规律总结 C.(x)在区间（一2,3）上单调递减 1.求函数f(x)极值的步骤：第一步，确定函数 D.f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零 的定义域；第二步，求导函数f'(x);第三步，解方程 学生试答： f'(x)=0,求出在函数定义域内的所有根；第四步， 列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x。附近左右两侧 值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x=x。处取 极大值，如果左负右正，那么f(x)在x=x。处取极 ·规律总结 小值. 由导函数图象判断函数y=f(x)的极值，要 2.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，在 抓住两点：①由y=f'(x)的图象与x轴的交点，可 得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a), 得函数y=f(x)的可能极值点；②由导函数y= 第 f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负，从而 【对点训练2】(1)已知函数f(x)=x3-3x十1， 章 可得函数y三f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 【对点训练1】（多选题）已知函数y=f(x)的导 则函数f(x)在区间[一2,2]上的最大值与最 函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是 小值之差为 (2)已知函数f(x)=x3-3x2十x的极大值点 为m,极小值点为n,则m十n= (3)已知函数f(x)=a.x2一blnx的图象在x= 1处的切线方程为y=一2x十3. 10 3 ①求实数a,b的值； ②求函数f(x)的极值. A.函数y=f(x)在区间(？，3)内单调递减 B.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增 1 C.当x=一2时，函数y=f(x)有极大值 D.当x=2时，函数y=f(x)有极大值 命题角度2求具体函数的极值、最值 【例2】(1)若函数f(x)=x3-12.x+a的极大值 为11，则f(x)的极小值为 (2)函数f(x)=1血工的极大值点和极大值分 别为 :函数g)=品的极小值点 和极小值分别为 第三章一元函数的导数及其应用 071 命题角度3含有参数的函数的极值、最值 考点2函数极值、最值的应用 【例3】(1)设函数f(x)=mx-e十3(m∈R), 命题角度1已知函数的极值（点）、最值求参数值 讨论函数f(x)的极值. (范围) (2)设a>0,函数f(x)=a十x2十ln(a 【例4】(1)已知函数f(x)=x(x十a)2在x=1 x2),讨论函数f(x)的最大值， 处有极小值，则实数a= 幻学生试答： (2)(2022·全国甲卷改编)若当x=1时，函数 f(x)=alnx十么取得最大值-2，则f'(2)= (3)(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数∫(x)= e-ax-a3. ①当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程； ②若f(.x)有极小值，且极小值小于0，求a的 取值范围。 学生试答： 第 三章 ”规律总结 含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动 极值点定区间；二是定极值点动区间.这两类问题一 般根据极值点是否在区间内来分类讨论」 【对点训练3】(1)讨论函数f(x)=c一 -(m∈ 2 R)极值点的个数. (2)已知函数f(x)=-4alnx十x2-1,探究 f(x)的最小值. 规律总结 已知极值情况求参数时要注意：①f'(x。)=0 是x。为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意 检验；②若函数在某区间(a,b)上有极值，则在该区 间上一定不单调，反之，若函数在某区间上单调，则 在该区间上没有极值. 【对点训练4】(1)若函数f(x)=x3-3.x在区间 (a2一6，a)上有最大值，则实数a的取值范围 是 (2)已知函数f(x)=x3十3a.x2十bx+a2在 x=一1时有极值0，则a十b= 072 红对构·讲与练·高三数学·基础版 命题角度2利用导数研究实际问题中的优化 问题 【例5】将一个边长为1米的正六边形铁皮的六 个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折 起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. 1米 规律总结 x米 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其 (1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V(单位： 一般解题步骤如下：一设，设出自变量、因变量； 立方米)表示为盒底边长x(单位：米)的函数. 二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函 (2)x多大时，V最大？并求出最大值. 数的最值，常用导数求解；四答，回答实际问题， 学生试答： 【对点训练5】已知某商品的日销售量y(单位： 套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数 关系武为y”g+3一8其中z∈ 8),m为常数.当销售价格为5元/套时，每日 可售出30套. 第 (1)实数m= 三章 (2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元 (只考虑销售出的套数)，当销售价格为 元/套时（精确到0.1），日销售该商 品所获得的利润最大. 聚焦学科素养®数学探究背景下的“拉格朗日中值定理”问题 【背景解读】法国数学家拉格朗日在其著作 《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果 函数y=f(x)满足如下条件：①在闭区间[a,b] 上是连续的；②在开区间(a,b)上可导，则在开区 间(a,b)上至少存在一点，使得f(b)-f(a) 》煮养检测K《 f'()(b一a)成立，此定理即“拉格朗日中值定 1.函数g(x)=lnx十x在区间[1,2]上的“拉格朗 理”，其中被称为“拉格朗日中值”. 日中值”= 【题目呈现】根据“拉格朗日中值定理”，函 2.函数g(x)=e在区间[0,1]上的“拉格朗日中 数f(x)=(x一2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中 值”= 值”的个数为 幻学生试答： )温馨提示 学习至此，请完成训练19时，g'(x)>0,g(x)单调递增，所以 g(x)mm=g(2)=4,故a>4. 对点训练6(1)[-2√6，+∞) 解析：由题可知f'(x)=x十m十 ≥0在(0，十∞)上恒成立，只需 x (x十m+6) ≥0即可，因为x> x/min 6+ 0.所以十m十≥2√· x m=2W6+m,当且仅当x三，，即 x=√6时，等号成立，所以2√6十m≥ 0,解得m≥-2√6. (2)(3,27) 解析：函数求导得f'(x)=3x2一k,因 为f(x)在区间（一3，一1）上不单调， 所以f'(x)在区间（一3，一1）内有变 号零点，所以f'(-3)f'(-1)<0.因 为f'(-3)=27-k,f'(-1)=3-k, 所以(27-k)(3一k)<0→3<k<27. 聚焦学科素养… 题目呈现解：(1)由f(x)=sin工 x∈(0，π)， 得f'(x)=cOS-sinx 22 设g(x)=xcos x一sinx,x∈(0，π)， 则g'(x)=-xsin z十cosx cos x =-xsin x. 0<x<π，g'(x)<0,即函数 g(x)在(0，π)上是减函数. .g(x)<g(0)=0,即f'(x)<0, 故函数f(x)在(0，π)上是减函数， 当0<x1<x2<π时，有f(x1)> f(x2),即a>b. (2)f(x)= (nx+中）x-1D-a+1nx x (x-1)2 x:-2zInx-lx1, x(x-1)2 令g(x)=x2-2xlnx-1,x>1,则 g'(x)2x-2In x -2,h (z)= g'(x),x>1,则h'(x)= 2(x-1) 当x>1时，h'(x)>0,故h(x)单调 递增，故h(x)>h(1)=0,则g(x)单 调递增，故g(x)>g(1)=0,从而 f'(x)>0,f(x)在(1，十∞)上单调 递增. (3)"'f (x)e"-xIn z-px2, f'(z)=e"In x -1-2px, ∴f(x)=e-1-2p,:fx) e-xlnx-px2在(1,4)上为“严格 凸函数”，.f(x)=e一 1-2p<0 在(1,4)上恒成立，即2p>e-1在 x (1,4)上恒成立，令g(x)=e- 1 x∈(1,4)，则g'(x)=e十 2>0, g(x)=c-1在(1,4)上单调递 424红2对构·讲与练·高三数学· 增gu)<g0=e-子2p≥ e'- 素养检测1.①② 解析：f(x)=一x3十3x2十2的导函 数f(x)=-3x2十6x,f"(x)= -6x十6，故"(x)<0在(1，十∞)上 恒成立，所以函数f(x)=一x3十 3.x2十2在(1，十∞)上为“严格凸函 数”，所以①正确：f(x）=n工(x> 0)的导函数f(x)=1-ln2, -,"(x)= x2 2lnx-3,由f(x)<0可得2nx-3< x 0,解得x∈（0，e）,所以品数f(x) 血工的“严格凸区间”为(0，c),所以 ②正确f(x)三e二”x的导函数 f'()e*-mx,f"(x)e-m, 为f(x)为(1,4)上的“严格凸函数”， 故(x)<0在(1,4)上恒成立，所以 e-m<0在(1,4)上恒成立，即m> e在(1,4)上恒成立，故m≥e,所以 ③不正确.所以正确命题的序号 为①②. 2.解：f(x)= [-2xe+1-x2)e]x-[1-x2)e-1 (-x3-x2+x-1)e十1 ,x>0. x 令g(x)=(-x3-x2十x-1)e+1, x>0,则g'(x)=-(x3十4x2+x)e, 当x>0时，g'(x)<0,则g(x)单调 递减，又g(0)=0, 故当x>0时，g(x)<0,则f(x)< 0,f(x)在(0，十∞)上单调递减. x 3.解：令f(x)=sinx-x+6x>0, 则f'x)=cosx-1+, 令g(x)=f'(x),x>0, 则g'(x)=-sinx十x, 令h(x)=g'(x),x>0, 则h(x)=1-cosx≥0，则h(x)在 (0,+∞)上单调递增，又h(0)=0, 则h(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上 单调递增， 又g(0)=0,则g(x)>0, 故f(x)在(0，+∞)上单调递增，又 f(0)=0, 故f(x)>0.所以当x>0时，sinx> 6· 3.3 导数与函数的极值、最值 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.(1)极小值点极小值极大值点 极大值极值点极值 (2)必要条件①f(xo)=0 (3)极大值极小值 基础版 2.（1)②最小值最大值单调递减 3.(1)20(2)20 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2 解析：f'(x)=4e2x十2(4x-5)e2x= (8x-6)e,令f'(x)<0,得x<3 4 此时函数单调递减；令f'(x)>0,得 3 工>，此时函数单调递增。所以 f(x)的极小值点为。 3.4 解析：函数f(x)=工+5十2的定义 域为（一∞，0）U(0,十∞)，求导得 （x)=1号，由f(x)<0,得 -√5<x<0或0<x<√5，由 f'(x)>0,得x<-√5或x>√5，因 此函数f(x)在(-√5,0)，(0W5)上单 调递减，在(-∞，一√5)，(W5,十∞)上 单调递增，于是当x=一√5时，f(x) 取得极大值f(一√5)=一2√5十2，当 x=√5时，f(x)取得极小值f(√5)= 25+2,所以函数f(x)=x+5+2 的所有极值之和为f(一√5)十 f(√5)=4. 4.-19 解析：f'(x)=3x2-3=3(x 1)(x+1),x∈[-3,2]，令f'(x)> 0,得1<x≤2或-3≤x<-1,令 f'(x)<0,得-1<x<1,所以f(x) 在[-3，-1)，(1,2]上单调递增，在 (一1,1)上单调递减，因为f(-3)= -19,f(-1)=1,f(1)=-3, f(2)=1,所以m=1,n=-19,故 mn=-19. 5.BC对于A,由题中导函数图象可知， 当x∈(-3，-1)时，f(x)<0,x∈ (-1,2)时，f'(x)>0,x∈(2,4)时， f'(x)<0,x∈(4，十o∞)时，f'(x)> 0,故f(x)在(-1,2)，(4，+o)上单 调递增，不能用U连接，A错误；对于 B,f(x)在(-3，-1)上单调递减，在 (一1,2)上单调递增，f'(一1)=0，故 x=一1为f(x)的极小值点，B正确； 对于C,f(x)在区间(2,4)上单调递 减，C正确；对于D,f(x)在(-1,2)上 单调递增，在(2,4)上单调递减， f'(2)=0,故x=2是f(x)的极大值 点，D错误.故选BC …》提升·关键能力《… 例1ACD由题图可得，当x<-2时， f(x)>0,当-2<x<3时， f(x)≤0且不恒为0，故函数f(x)在 (一∞，一2)上单调递增，在（一2,3）上 单调递减，故C正确；可得函数∫(x) 在x=一2处取得极大值，故A正确； 因为-2<x<1时，f'(x)<0,1< x<3时，f'(x)<0,故f(x)在x= 1处没有取得极值，故B错误；因为 f'(0)<0,所以f(x)的图象在x=0 处的切线斜率小于零，故D正确.故 选ACD. 对点训练1BD 对于A,当x∈(-之 2）时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当 x∈(2,3)时，f'(x)<0,f(x)单调 递减，所以A错误；对于B,当x (-2,2)时，f'(x)>0,∫(x)单调递 增，所以B正确；对于C,当x∈（一2， 2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，故 f(之)不是极大值，所以C错误；对 于D,由A知，当x=2时，函数y= f(x)取得极大值，所以D正确.故 选BD. 例2(1)-21 解析：函数的定义域为R,f'(x)= 3x2-12,令f'(x)=0,解得x1=-2 或x2=2,列表如下： (-2, (2, -2 -2) 2) 2 f'(x) + 0 0 单调 单调 单调 f(x) 递增 16+a -16十a 递减 递增 所以当x =一2时，函，数有极大值 f(-2)=16十a,由题意得16十a= 11,解得a=一5，当x=2时，函数有 极小值f(2)=一16十a=-16- 5=-21. 1 (2)x=e, e x=e,e 解析：函数f(x)= ln工的定义域为 (0,+o),且f'(x)=1-la2.令 f'(x)=0,解得x=e.当x变化时， f'(x)与f(x)的变化情况如下表： (0,e) (e,十∞) f'(x) 0 1 f(a) 单调递增 单调递减 因此，x=e是函数的极大值，点，极大 值为fe=日令佰0， 解得 x>0且x≠1，所以函数g(x)= 的定义域为(0,1)U(1,十∞)，因为 g'(x)= In x -1 (In 2) ∈(0,1)U(1, 十∞)，令g'(x)>0,解得x>e,令 g'(x)<0,解得0<x<1或1<x< e,则g(x)在(0,1)和(1，e)上单调递 减，在(e,十∞)上单调递增，当x=e 时，g(x)取得极小值，且g(e)=e. (3)-1 解析：f(x)=一1-1nx,z>0,则 f(x)=1-1=1-x =x,当x∈(0， 1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当 x∈(1，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单 调递减，所以f(x)mx=f(1)=-1. 对点训练2（1)4 解析：因为f(x)=x8-3x十1(-2≤ x≤2)，所以f(x)=3x2-3= 3(x+1)(x-1),令f'(x)<0→ -1<x<1,令f'(x)>0→-2 x<-1或1<x≤2，所以f(x)在 (-1,1)上单调递减，在[-2，-1)，(1， 2]上单调递增，且f(-2)=-1, f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3,所 以f(x)在[-2,2]上的最大值为3，最 小值为一1，则f(x)在[一2,2]上的最 大值与最小值之差为4. (2)2 解析：因为f(x)=x3-3x2十x,所以 f'(x)=3.x-6x+1,令f(x)=0, 得到3.x2-6x十1=0，解得x1=1 3x:=1+6 ，当x∈(0,1 9)时f>02e(1-51+ 》时e<oxe(1++) 时，f'(x)>0,即f(x)=x3-3x2+ x在区间(0,1-)上单调递增。 3/ 在区间(1一 1）上单递该， 在区网-9+)上单调递增， 所以x1=1- 是极大值点x?一 3 1+5是极小值点，则m十n=x1十 3 x2=2. (3)解：①因为f(x)=ax2-blnx, 所以f'(x)=2a.x- b ,x0, x 又函数f(x)=a.zx2一blnx的图象在 x=1处的切线方程为y=一2x十3， 则0=。6-2郑袋台二 ②函数f(x)=x2-4lnx的定义域 为(0，十∞)， 42(x2-2) f(x）=2x- 由f'(x)=0可得x=√2，列表如下： (0,2) √2 (√2，+o∞》 f(x 0 f(x)单调递减2一21n2单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为(0 √2)，单调递增区间为(2，十∞)， 故函数f(x)的极小值为f(√2)=2 2ln2,无极大值. 例3解：(1)因为f(x)=mx-e十3， 所以f'(x)=m-e, 当m≤0时，f'(x)=m-e<0恒成 立，因此f(x)在R上单调递减，此时 无极值； 当m>0时，由f'(x)=m-e>0得 x<In m, 由f'(x)=m-e<0得x>lnm, 所以f(x)在(-o∞，lnm)上单调递 增，在(lnm,十o∞)上单调递减，因此 f(x)有极大值f(1nm)=mlnm- m十3，无极小值 综上所述，当m≤0时，函数f(x)无 极值；当m>0时，f(x)有极大值 f(lnm)=mlnm-m十3，无极小值. (2)f(x)的定义域为(-√a,a),且 f(x)=-2x(x2-a+1) a-x 若0<a≤1，可知f(x)在(-√a,0) 上单调递增，在(0，√a)上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(0)=a+ In a. 若a>1,令f'(x)>0,解得-√a x<-√a-1或0<x<Wa-1, 令f(x)<0,解得-√a-1<x 0或Wa-1<x<√a, 可知f(x)在(-a,-√a-1),(0, √a-1)上单调递增，在（一√a-1, 0),(√a-I,√a)上单调递减，且 f(-a-1)=f(√a-1)=2a-1, 所以f(x)的最大值为2a一1. 综上所述，若0<a≤1，则(x)的最 大值为f(0)=a十lna: 若a>1,则f(x)的最大值为2a-1. 对点训练3解：(1)f(x)=e-m 2,则 f(x)=e*-mx. :x=0显然不是'(x)的零点， f(x)=x(g-m),令g(x)= x≠0，则g'(x)=e(x-1) e g(x)在(-∞，0)上单调递减，在 (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， 当x<0时，g(x)<0,当x>0时， g(x)>0,且g(x)小做=g(1)=e, m∈（一∞，0）时，，三m只有一个 实数根，此时f(x)有1个极值点， m∈[0，®时，兰=m没有实数根，此 时f(x)没有极值点， 当m=e时， ·=有一个实数根 x=1,但x=1不是极值点，此时 f(x)没有极值点， m∈(e,十∞)时，兰=m有两个不相 等的实数根，此时f(x)有2个极值点. (2)由题意得f(x)的定义域为 (0,十∞). 由f(x)=-4alnx十x2-1,得 f'(x)= -4如+2z=2x-2a） 当a≤0时，f'(x)>0,则f(x)在 (0,十∞)上单调递增，故没有最小值 当a>0时，令f'(x)0,得0<x W2a,令f'(x)>0,得x>√2a, 则f(x)在(0，√2a)上单调递减，在 (√2a,十∞)上单调递增，所以 f()min=f(v2a)=-4aln v2a+ 2a-1=-2aln(2a)+2a-1. 参考答案 425 例4(1)-1 解析：因为f(x)=x(x十a),所以 f(x)=x(x2+2ax+a)=z+ 2ax2十a2x,所以f(x)=3x2 十 4ax十a2,而函数f(x)=x(x十a) 在x=1处有极小值，所以f'(1)=0, 故3+4a+a2=0,解得a=-1或 a=-3.当a=-3时，f'(x)=3x2 12x十9，令f'(x)<0,得x∈(1,3)， 令f'(x)>0,得x∈(-∞，1)U (3,十o∞)，故f(x)在(-∞，1)， (3,十∞)上单调递增，在(1,3)上单调 递减，此时(x)在x=1处有极大值， 不符合题意，排除；当a=一1时， f'(x)=3x2-4x十1，令f'(x)<0, 得x∈(31)，令f(x)>0,得x∈ (-∞，3)U1,+∞)，故fx)在 (∞，)，1，十o0)上单调递增，在 (仔，1上单调递减此时(x)在x= 1处有极小值，符合题意.故a=一1. 1 (2)- 2 解析：依题意可知，∫(x)的定义域为 (0,十∞)，f(1)=-2,f'(1)=0,而 fx)=是-x>0,所以6 2 -2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所 以f'(x)=- +2 2 ,因此函数f(x) 2 在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 递减，x=1时取最大值，满足题意，即 有了2)=-1+2=-合 (3)解：①当a=1时，f(x)=e x-1,则f'(x)=e-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1，e一2)，切线斜率k e-1, 所以切线方程为y一(e一2)=(e一 1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0. ②f(x)的定义域为R,且f'(x)= e一a, 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R 恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值， 不合题意. 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna, 令f'(x)<0,解得x<lna, 可知f(x)在(-o∞，lna)上单调递减， 在(lna,+o∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)= a alna一a3,无极大值， 由题意可得f(lna)=a一alna a3<0,即a2+lna-1>0, 构建g(a)=a2十lna-1,a>0,则 1 g'(a)=2a十>0， a 可知g(a)在(0，十∞)上单调递增，且 g(1)=0, 故不等式a2十lna-1>0等价于 g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1，十∞). 426 红对沟·讲与练·高三数学· 对点训练4(1)（一1,2] 解析：由题意，得f'(x)=3x2一3= 3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得 x<-1或x>1,则f(.x)在区间 (一∞，一1)和(1，十o∞)上单调递增， 由f'(x)0,得-1<x<1,则f(x) 在区间（一1,1）上单调递减，所以 1a2-6<-1, a2-5<0, a>-1, 即{a>-1,解 f(a)≤f(-1),a3-3a≤2， 得-1<a2. (2)11 解析：由函数f(x)=x3十3ax2十 bx十a2,得f'(x)=3x2+6ax十b, 由题意得 /f'(-1)=3-6a+b=0, 1f(-1)=-1+3a-b+a2=0, 解将份二8x份二8：当日二日时 f(x)=3x2+6.x+3=3(x+1)2≥ 0,当且仅当x=一1时等号成立，此时 f(x)在R上单调递增，无极值，不符合 超意：当6二日时了)=3x十 12x十9=3(x十1)(x十3)，令 f(x)>0,则x<-3或x>-1,令 f(x)<0,则-3<x<-1,即f(x) 在（一∞，一3），(-1，十∞)上单调递 增，在（一3，一1）上单调递减，故f(x) 在x=一1处取得极小值，且f(x)= x3十6x2十9x十4，则f(-1)=0,即 =2,符合题意，故a十b=11. 6=9 例5解：(1)如图，MN=CD=x米 (0<x<1D,AC=1,2米， 2 1米 AC r米DB 则盒子的高h=CM=】 3(1一x）米， 2 所以盒子的底面积S=6S△owN=6X 2xsin60°= 1 35x2(平方米)， 2 、所以V=Sh三33x2X21一x)=日 21-x)x∈(0,1. 9 (2)由(1)可得V(x)= 9 x1-x), x∈(0,1)， 9 所以V(x)=￥(2x-3x): 2 令V'(x)=0,解得x1=3x:= 0(舍去)， 所以当0<x<号时，Vx)>0,则 V(x)单调递增， 基础版 当号<x<1时，V(x)<0,则Vx) 单调递减， 所以当x= 时，V(x)取得极大值， 2 即最大值v(号)=是×（）× 1-号)= 1 所以当x= 号时，V最大，最大值 1 为 对点训练5(1)6(2)4.7 解析：(1)设f(x)=” 3+3(x 8,x∈(3,8)，依题意f5)=3十 3×(5-8)2=30,解得m=6. 6 (2)由(1)知f(x)= x一3十3(x 8),x∈(3,8).设商店日销售该商品 所获得的利润为g(x)元，则由题可 得，g(x)=f(x)(x-3)=6十3(x 8)(x-3)=3x3-57x2+336.x 570,x∈(3,8)，则g'(x)=9x2 114x十336=3(x-8)(3x-14),当 时g)>0,当号< 3<x<3 x<8时，g'(x)<0,所以g(x)在 (,)上单洞递增，在（借8）上单 调递减，所以当工=兰时：8)取得 最大值，故当销售价格为 14 ≈4.7 (元/套)时，日销售该商品所获得的 利润最大· 、聚焦学科素养… 题目呈现1 解析：f'(x)=1+lnx-2, 「立，令x。为 函数f(x)=(x-2)lnx在[1,2]上 的“拉格朗日中值”，则1十nx。 2= f(2)-f(1) Xo 2-1 =0,令g(x)= 1+Inz- 2,x∈[1,2]，则g(x)= 二十>0在[12]上恒成立，故 x g(x)=1+n工-2在[1,2]上单调 递增，又g(1)=1-2=-1<0, g(2)=1+Hn2-1=ln2>0,由函数 零点存在定理可得，存在唯一的x。∈ [1,2],使得g(xo)=0.故函数f(x) 在[1,2]上的“拉格朗日中值”的个数 为1. 素养检测1.n2 解析：g'(x)=上+1，x∈[1,2]则 1 g'()= 十1，由“拉格朗日中值”的 定义可知，函数g(x)=lnx十x在区 间[1,2]上的“拉格朗日中值”：满足 g(2)-g(1)=g'()×(2-1),所以 g'(ξ)=g(2)-g(1)=1n2+2-1= 2+1所以g()=号十1=1n2 1,即日-h2所以 1 In 2' 2.ln(e-1) 解析：由g(x)=e可得g'(x)=e, 所以g'()=e,由“拉格朗日中值”的 定义可知g'()=g(1)-g(0) e 1-0 1,即e=e-1,所以=ln(e-1). 微专题二 导数的综合应用 典例1解：(1)f(x)=x3-2x2十ax十 blnx,则f'(x)=3x2-4x十a十 x>0, 因为曲线y=f(x)在点(1，f(1)处 的切线方程为y=一x+e, 所以f(1)=e-1,f'(1)=-1, 所以-1十a=e-1,-1十a十 b=-1, 所以a=e,b=一e (2)证明：由(1)可知f(x)=x3 2x2十ex-elnx,要证明f(x)>-x, 则令g(x)=x3-2.x2十(e十1)x elnx,x>0,即证明g(x)>0恒成立， g'(x)=3x2-4x+(e+1)- x 3x3-4.x2十(e十1)x-e x (x-1)(3.x2-x十e) 对于y=3x2-x十e,因为A=1 12e<0,故3x2-x+e>0恒成立， 由g'(x)=0得x=1,且0<x<1 时，g'(x)<0,g(x)单调递减， x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mim=g(1)=e, 所以g(x)>0恒成立，即f(x)>-x. 对点训练1解：(1)函数f(x)=1n工 x k的定义域为(0，十∞)，f(x) 、0与k≥之，令gx）三n x 依题意，Hx∈(0，+∞)，k≥g(x)恒 成立， 求导得g(x)=1h二，由g(x)> 0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x≥ e, 则函数g(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十o∞)上单调递减，g(x)m ge)=是所以k≥日 1 (2)证明：由(1)知，血2 1,即 血x≤二·z,当且仅当x=e时取 等号， 1 则当n∈N,n>1时，ln2 1 1 n<1 ,In 因此h之+n (+号+…+) 所以原不等式成立。 典例2解：(1)易知函数f(x)的定义域 为(0，十∞)， 根据题意可得∫'(x)=十a= 1+a工，令f'(x)=0,得x=- 1 当x∈(0，-二）时，f(x)>0,即 f(x)在(o,- 日）上单调递培。 当x∈（ 名+）时f)<0 即)在（日中）上单调递减， 所以rx=人日) n(）+1=2,解得a=- (2)由(1)知f(x)=1nx-二+2， 因为x≥1，所以1nx-二+2≤x可 e 化为b≥血工-1+2 设ga)=-上+2≥1 所以g'(x)=1-n2- 2 =lnx-1,则g'(x)<0在[1，十∞) x2 上恒成立， 即可得g(x)在[1，十∞)上单调递减， 所以b≥g(x)m=g(1)=2-1,因 e 此6份取值范用是-二十四) 对点训练2解：由题意知，f(x),g(x)分 别在(1e],[1,2]上，f(x)mn>g(x）m· 由x2f'(x)十xf(x)=elnx,得 f'(x)=cln z-zf(z) 2 令t(x)=elnx-xf(x),则t'(x)= -fx)-xf'(x)=￡-fx) x x.cln a -xf(r)(1-In x) x x 因为x∈(1，e],所以1-lnx∈[0， 1),则t'(x)≥0，t(x)在(1，e]上单调 递增， t(x）mmx=t(e)=elne-ef(e)=0,即 t(x)≤0. 所以f'(x)≤0且不恒为0，f(x)在 (1,e]上单调递减，f(x)mim=f(e)=1. g(x)图象的对称轴方程是x=a. 时，g(x)m=g(2)=4a< 当a≤2 f(x)n=1,解得a< 1.当a22 3 时，g(x)mm=g(1)=2a十3< f(x)im=1,无解. 综上，a的取值范围为(0，） 典例3(1)1-1<a<1 e 解析：由f)=十片在区问1 e)上恒为正可得，函，数f(x)=lnx 十a在区间(1，e)上为增函教，依题 2 意，函数在区间(1，e)上存在零，点，则 由函数零，点存在定理可得，f(1)=a 1<0,且f(e)=a+1-1>0,解得 e 是-1<a<1 (2)解：f(x)=ae-x-a(0<a≤ 1),令f'(x)=ae-1=0,得 x =-In a, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)单 调递减， 当x>-lna时，f(x)>0,f(x)单 调递增， .'.f(z)>f(-In a)=1+In a-a. 当a=1时，1+lna-a=0, ∴.f(x)≥0，则f(x)在(-∞，十∞) 上有且仅有1个零点. 当0<a<1时，令r(a)=1十lna a(0<a<1),则r'(a)=1-1= a 1一a之0· .r(a)在(0,1)上单调递增， .r(a)<r(1)=0,即f(-lna)<0, 又f(0)=0, .f(x)在(-∞，-lna)上有1个零 点，又f(-2na)=1+2na-a, 令(a)= 1+21na-a(0<a<1), 则x'(a)=-（a-1)2 <0, ·(a)在(0,1)上单调递减， ,(a)>(1)=0, .f(-2lna)>0, f(x)在(-lna,-2lna)上有1个 零点· 综上所述，当a=1时，f(x)有1个 零点； 当0<a<1时，f(x)有2个零点 对点训练3（仁，+） 解析：函数f(x)=e一a(x十2)的定 义域为R,求导得f'(x)=e一a ①当a≤0时，f(x)>0恒成立，函 数f(x)在R上单调递增，f(x)至多 有一个零，点，不合题意.②当a>0时， 由f'(x)=0,解得x=Ina,当x∈ (-oo,lna)时，f'(x)<0,当x∈ (lna,十∞)时，f'(x)>0,故函数 f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在 (lna,十o∞)上单调递增，则f(x)血= f(lna)=a-a(lna十2)=-a· (lna+1).当a∈0， 11时，lna≤ e 一1，则f(x)mm≥0，则f(x)至多有一 个零点，不合题高：当a∈（日，十） 时，lna>-1,则f(x)min<0,而 f(-2)=e2>0,则f(x)在(-o∞，lna) 上有唯一零点，因为y=e一x一2，当 参考答案427