精品解析：安徽A10联盟2026届高三下学期2月开学学情检测数学试题

2026届高三2月学情检测 数学 满分150分，时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】由已知，， 所以． 故选：B 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简可得，再由共轭复数的概念可解. 【详解】因为， 所以． 故选：C 3. 如下一组数据：85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 102 B. 101 C. 100 D. 99 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义求解即得. 【详解】将数据由小到大排序为：85，89，94，96，98，98，99，100，102，105， 而，所以这组数据的第80百分位数是. 故选：B 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 23 B. 21 C. 19 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，解方程求解即可. 【详解】设数列的公差为，因为， 所以，则， 所以． 故选：A． 5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，设出底面圆半径，然后分别求出圆锥和其外接球的体积. 【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合， 不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为， 外接球的体积是，圆锥的体积为， 于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为. 故选：D． 6. 已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆过点且与直线相切，求出直线，再由圆过点和原点，求出直线，联立，求出圆心即得半径. 【详解】因为点在直线上， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 所以圆心落在直线上，又圆过和， 则的中点为，其垂直平分线斜率为2， 所以的垂直平分线方程为，即， 所以圆心在直线上， 联立，得， 所以圆心为， 所以半径． 故选：C 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，恰存在三个不同的实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移得出，再求出，结合三个不同的实数使得结合正弦函数性质得出参数范围. 【详解】由题意得，， 当时，，则， 因为恰存在三个实数，使得， 则对任意，方程在上恰有三个不同的实数解， 结合的性质可知，要满足此条件，区间必须恰好覆盖前三个解， 故的取值需满足第三个解存在而第四个解不存在， 因此，自变量的终点必须满足， 解得. 故选：D． 8. 若函数在内不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时， ，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故 ，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 10. 设为数列的前 项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用赋值法结合计算判断各个选项即可. 【详解】令，得，即 ，故A正确； 令，得，所以，故B错误； 令，得①， 令，得②， 则②①，得 ，所以，故C正确； 令，得③， 令，得④， 则④③，得，故D错误． 故选：AC． 11. 在三棱锥 中，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则三棱锥 是正三棱锥 B. 若 ， ，的周长均为4，则三棱锥 是正三棱锥 C. 若 ， ，的内切圆的面积均为，则三棱锥 是正三棱锥 D. 若，则三棱锥 是正三棱锥 【答案】ABD 【解析】 【分析】作 平面 ，易知为的外心，结合等边三角形可以判断A；根据周长关系可得，可以判断B；根据题意可得内切圆的半径均为，由的面积不全相等，进而判断C；根据余弦定理建立关于的方程，求解可以判断D. 【详解】对于A，因，作 平面 ，垂足为，则易得， 即为的外心，又为等边三角形，所以D为的中心，故A正确； 对于B，如图，设，则，解得，由A知B正确； 对于C，由 ， ，的内切圆的面积均为，可得内切圆的半径均为， 所以， 考虑到不全相等，所以未必有，故C错误； 对于D，在 ， ，中，由， 由余弦定理，得， 整理得， 即，解得 ，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意得，，即，所以 故答案为： 13. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 14. 已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意可知与抛物线相切，利用导数的几何意义以及两点的斜率公式可得，解得：，所以，化简即可得到椭圆的离心率. 【详解】设，则，对 求导得，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以轴． 在中，，在中，， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表． 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 20 女生 20 50 合计 100 （1）补充完整列联表，根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？ （2）为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局．已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，性别与喜欢围棋无关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先补全22列联表，再应用独立性检验计算与临界值比较判断即可； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【小问1详解】 由题意得，22列联表如下： 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 30 20 50 女生 20 30 50 合计 50 50 100 零假设性别与喜欢围棋无关联． 根据列联表，得． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即性别与喜欢围棋无关联． 【小问2详解】 在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜有两种情况： 甲3:1胜乙、其概率， 甲3:2胜乙，其概率， 故甲最终获胜的概率． 16. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求的大小； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用两角和正弦公式化简，再应用诱导公式计算得出余弦值即可求解角； （2）根据余弦定理计算，应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 由得， ， 所以， 即， 因为，所以， 则，所以． 【小问2详解】 中，由余弦定理得， 即①， 因为为的角平分线， 所以， 即②， 联立①②，解得， 所以． 17. 如图几何体是圆锥的一部分，且，点是上一点（不与 重合），二面角 的大小为． （1）求证：； （2）取的中点，连接，若平面． （i）求的度数； （ii）求点到平面 的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题设依次求证 和得到平面即可求证； （2）（i）取的中点，连接，由题设求证平面平面，接着由面面平行性质定理得到，再由（1）中和即可求解 ； （ii）建立适当空间直角坐标系，求出向量和平面 的一个法向量即可由距离公式计算求解. 【小问1详解】 因为二面角 的大小为，所以二面角的大小为， 如图1，取的中点，连接， 则， 所以为二面角的平面角，所以， 所以，又，所以，所以， 所以，，所以，即 ． 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 （i）如图2，取的中点，连接，则， 因为在平面外，平面，所以平面， 因为平面， ，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 由（1）知，又，所以； （ii）由（1）可知可以为坐标原点，分别以为轴建立如图3所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面 的一个法向量为， 由得，令，得， 所以平面 的一个法向量为． 所以点到平面 的距离． 18. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点． （i）求直线倾斜角的取值范围； （ii）过作的平行线交于，过作的平行线交于，求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程求解即可； （2）（i）当直线斜率不存在时，此时直线与的右支有2个交点，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线，与双曲线方程联立，由两点均在的右支，得，解不等式即可求解； （ii）分别求出点的坐标，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）当直线斜率不存在时，此时直线与的右支有2个交点，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， 由两点均在的右支，得，解得或 ． 综上，直线倾斜角的取值范围为． （ii）联立，得， 联立，得． 当直线斜率不存在时，，此时，所以． 当直线斜率存在时，， 则， 要证明，只需证， 只需证，只需证， 由（i）知，，则成立，所以． 综上，． 19. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求 的值； （2）若 ，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1），； （2）（i） ；（ii）不妨设， 由（i）知， ， 显然，且 ，所以， 同理，． 要证 ，只需证， 只需证． 又 ，只需证 ． 令函数 ，则 ， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由 得 ，所以 显然成立， 综上， ． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可. 【小问1详解】 ． 设与 的切点为 ， 则 ，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以 ． 【小问2详解】 （i）由 得直线 与 有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又，且 ； ，且 ， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为 ． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三2月学情检测 数学 满分150分，时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 如下一组数据：85，105，94，96，102，98，89，99，98，100，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 102 B. 101 C. 100 D. 99 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 23 B. 21 C. 19 D. 17 5. 已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，恰存在三个不同的实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在内不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设为数列的前 项和，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在三棱锥 中，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则三棱锥 是正三棱锥 B. 若 ， ，的周长均为4，则三棱锥 是正三棱锥 C. 若 ， ，的内切圆的面积均为，则三棱锥 是正三棱锥 D. 若，则三棱锥 是正三棱锥 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点为，且是抛物线的焦点，记与的一个交点为，若直线与只有一个公共点，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表． 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 20 女生 20 50 合计 100 （1）补充完整列联表，根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？ （2）为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲、乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局．已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求的大小； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 17. 如图几何体是圆锥的一部分，且，点是上一点（不与 重合），二面角 的大小为． （1）求证：； （2）取的中点，连接，若平面． （i）求的度数； （ii）求点到平面 的距离． 18. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点． （i）求直线倾斜角的取值范围； （ii）过作的平行线交于，过作的平行线交于，求证：． 19. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求 的值； （2）若 ，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $