精品解析：江苏沭阳如东实验学校2026届九年级第一学期数学 九年级数学试卷

2026届九年级第一学期数学 初三年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂答题卡的相应位置上） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 下列计算的结果为的是：（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是3 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是2 D. 样本的平均数是 6. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 8. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 10. 分解因式：_______. 11. 计算的结果是_____． 12. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 13. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______． 14. 若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是__________． 15. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C、D，若，则的值为 _____． 16. 若二次函数有最大值8，则的最小值为__． 17. 如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______． 18. 如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 （1）在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 22. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为____________； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 23. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 24. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 25. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径和的长． 26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若商场要尽快减少库存，每天获得销售利润元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 27. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届九年级第一学期数学 初三年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂答题卡的相应位置上） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 下列计算的结果为的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算的相关公式计算即可 【详解】∵, ∴A选项不符合题意； ∵, ∴B选项不符合题意； ∵, ∴C选项符合题意； ∵, ∴D选项不符合题意； 故选C. 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键. 3. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得函数的表达式为， 故选；C． 4. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 5. 运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ） A. 样本的容量是3 B. 样本的中位数是3 C. 样本的众数是2 D. 样本的平均数是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 6. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形． 连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图所示，连接 设正方形网格中每个小正方形的边长为1 ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 7. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是．下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过二次函数图象的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点等信息，判断相关结论的正确性，涉及抛物线的对称性，函数值的计算以及方程的求解等知识点．已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标是，利用二次函数的性质和给定的点逐项分析即可解答． 【详解】解：、因为抛物线开口向上，与轴交于负半轴， 所以，， 因为对称轴在轴左边， 所以， 所以， 所以，故选项正确； 、因为二次函数的图象与轴交于点，顶点是， 所以抛物线与轴的另一个交点为， 因为抛物线开口向上， 所以当时，，故选项正确； 、由题意可知对称轴为直线，即， 所以， 把，代入得， 所以， 解得或， 所以若，则或，故选项正确； 、把，代入得，， 所以，因为， 所以， 因为， 所以，故选项错误； 故选：． 8. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥－1且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 11. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 12. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程的解的情况求参数、解一元一次不等式，解分式方程得出，结合题意得出，，解不等式即可得解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴，， 解得：且， 即的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是__________． 【答案】6＜m≤7 【解析】 【详解】由x-m＜0，7-2x≥1得到3≤x＜m，则4个整数解就是3，4，5，6， 所以m的取值范围为6＜m≤7， 故答案为6＜m≤7. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍． 15. 如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C、D，若，则的值为 _____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据正弦的定义（在直角三角形中，任意一锐角的对边与斜边的比叫做的正弦）计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵与相切于点A， ∴， ∴， 由圆周角定理可得：， ∵分别与相切于点A，B， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、正弦的定义和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 16. 若二次函数有最大值8，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数是由二次函数向右平移3个单位长度得到的，则二次函数的最大值为8，设，，可证明，根据s的最大值可求出t的最小值． 【详解】解：由题意得，二次函数是由二次函数向右平移3个单位长度得到的， ∵二次函数有最大值8， ∴二次函数的最大值为8， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 17. 如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E，由题意易得，则有，设点A的横坐标为a，则纵坐标为，然后根据四边形的面积可进行求解． 【详解】解：如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的横坐标为a，则纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18. 如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【详解】解：原式 ， 将方程整理为一般形式为， 因式分解得：， 解得：或， ∵，，， ∴， 所以， 当时，原式． 21. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 （1）在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2） 小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴小明在小组中属中游略偏上． （3） 选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同， 而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策． （1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数． 故答案为：6，7，7 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为____________； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用树状图法将所有的等可能得情况都列出，再由概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式， ∴甲选择“微信”支付的概率为； 【小问2详解】 分别设“微信”和“支付宝”为A和B 画树状图如下： ∴一共有8种等可能得结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种 ∴三人选择同一种支付方式的概率为． 23. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， 于点F， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键． （1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 24. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】（1） （2）D到的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． 【小问1详解】 过点D作于H， 由题意得： ∴． 【小问2详解】 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴ 答：D到的距离约为． 25. 如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）的半径长为5，的长为 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为元，试营销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若商场要尽快减少库存，每天获得销售利润元，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元 （3）当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据销量为：，再利用销量×每件利润=总利润，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式，当时，列出方程，进而求出x值，取较小的值即可； （3）配方，直接利用二次函数最值求法得出答案． 【小问1详解】 解：   ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，得， 解得：， 当时，销量：（件）， 当时，销量：（件）， ∵要尽快减少库存， ∴取， 所以，商场要每天获得销售利润元，销售单价应定为元； 【小问3详解】 ， ∵， ∴函数图象开口向下，w有最大值， 当时，， 故当单价为元时，该文具每天的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 27. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 【答案】（1）证明：∵在中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． （2）是直角三角形， 理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴A，C，B，E四点共圆， ∴， ∴是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、四点共圆、构造相似三角形、垂线段最短等知识点，善于运用相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）通过角度的转换得到，即可证得，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）通过角度的转换得到，可推出A，C，B，E四点共圆可得，即可判定三角形的形状； （3）以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点，通过构造相似三角形，得到点E在过点且与垂直的直线上运动．因为点B固定，再由垂线段最短，可得到最小值的情况，并通过勾股定理求此时的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图，以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点， ∴， ，则． ∵， ∴， ∴， ∴点E在过点且与垂直的直线上运动． 如图：过点B作，垂足为，即为最短的，连接． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴． 故答案为：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【小问1详解】 解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $