重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

西南大学附属中学高2026届3月月考 数学试题 (满分：150分；考试时间：120分钟) 2026年3月 注意事项： 1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2、答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写： 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A={1,3},则集合A的真子集有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2. 已知复数z=-21+i,则z的虚部为（) 1+i 1 C. 5 B.- D. 2 3. 已知函数)， 则f(x)<8的一个充分不必要条件是（) A.x>-4 B.x>-2 C.x<-3 D.x>-3 4. 设a,B是两个平面，m,n是两条直线，则下列命题为真命题的是() A.若m∥a,a∥B,则m∥B B.若o∥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n C.若mca,ncB,m∥n,则a∥B D.若m∥a,mCB,a∩B=n,则m∥n 5.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不 能用同一种颜色，则不同的着色方法有() A.72 B.56 C.48 D.36 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a=1，a+l= an+1,n为奇数， an+2,n为偶数， 则S20的值为() A.300 B.29 C.210 D.29-1 [山一1页·预祝考试顺利 7. 已知椭圆M+之=Ia>b>0,双曲线N:七2 m京1.若双曲线N的两条渐近线与椭 圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，设椭圆M的离心率 为g,双曲线N的离心率为e2,则g+e为() A.√5+3 B.5+1 C.25-1 D.2W5+1 8.如图，边长都为1且互相垂直的正方形ABCD和ABEF的对角线 AC,BF上分别有一动点M,N,满足M到点C的距离等于N到 M 点B的距离.则四面体M-ABN体积的最大值为() 1 1 A. B. 8 12 1 C. 1 D. 24 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.关于(1-2x)”=a+a4x+a2x2+…+anx”(n≥3)，下列说法正确的是（) A.a=1 B.ao+4+a2++an=1 C.a3>0 D.展开式的二项式系数和为2” 10.已知函数/)号式-a+2+ax+b,则下列说法正确的是() A.若a>1,则x=1为f(x)的极大值点 B.若f'()=f'(),且≠，则x+=a+1 C.若a=3,则对b∈R,都有f(x)+f(4-x)=0 D.对a>1,3b∈R,使得f(x)有3个零点 11.已知f(x)=asin2x+cos2x,下列说法正确的是（) A.若a=1,f(冈在区间（受0上单调 B.若∫(x)关于直线x=”轴对称，则a=5 C.若a=2,且(m,0)为f(x)的一个对称中心，则sim4m=-4 D.若a=2,)在区问[，：+骨上的最大值与最小值的差的取值范围是 [山 第2页·预祝考试顺利 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知正实数2a2+3b2=√6，则ab的最大值为 13.已知平面向量a=(x,1),万=(x-1,-3x),若(2a-万)a=-2,则a= 14.在△4BC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知c=4,A=元，若动点P在直线AC上 6 运动，则AP+2BP的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且2 c-cosA=a-cosB+b-cosA, △ABC外接圆半径R=√5. (1)求角A和a: (2)若b=√5，求△4BC的面积. 16.(15分)己知函数f(x)=mx-lnx+1. (I)g(x)=f(x)-x2在0，+o∞单调递减，求m的取值范围； (2)若f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围. 17.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=2,AB⊥BC,AC⊥CD,CD=√2， PB=PC,平面PBC⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PC; (2)若二面角P-AB-C的大小为60°，求直线PD与平面PAB 所成角的正弦值。 y B 18.(17分)某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大 续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程） 的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图， 频率 组距 0.009 0.004 0.002 0.001 0 180230280330380430单次最大续航里程/千米 ·……]第3页·预祝考试顺利 (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中 点值代表)： (2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态 分布N(u,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x作为4 的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值： ()现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程 恰好在200千米到350千米之间的概率； (从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最 大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y,求E(Y); (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活 动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停 在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正，反面的概率都是2' 方格图上标有第0格，第1格，第2格，…，第50格.遥控车开始在第0格，客户每 掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k十1）， 若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k十2），直到遥控车移到第49格（获得优 惠券10000元)或第50格（获得大礼包）时，游戏结束.设遥控车移到第n格的概率 为P(n=1,2,,50),其中B=1,试说明{Pn-Pn},1≤n≤49是等比数列，计算获 得优惠券的概率和获得大礼包的概率，并比较它们的大小 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(u,o2),则P(u-o<≤4十o)≈0.6827， P(u-2o<E≤u+2o)≈0.9545，P(u-3o<E≤h+3o)≈0.9973. 19.(17分)已知圆E:(x-a)+y2=4(a>0)和抛物线C:y2=2px(p>0),F为C的焦点，点 P(xoy%)是抛物线C上的动点.当=o≠0时，PF=5.过动点P作圆E的两条切线， 切点分别为M、N. (1)求抛物线C的标准方程； (2)当a=4时，求cos∠MPN的最小值. (3)设直线PM、PN分别交C于另一点A、B,是否存在实数4，使得当点P在C上运动 时，直线AB总与圆E相切？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. [山 第4页·预祝考试顺利1 P 10 11 A B C AD ABD BCD 12.【答案】 2 13.【答案】√5 14.【答案】45 15.解(1)在△ABC,由正弦定理及2 c.cosA=a·cosB+b.cosA,有： 2sin Ccos A=sin Acos B+cos Asin B, 所以2 sin CcosA=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,又因为0<C<π，所以sinC≠0 所以c0sA又因为0<A<元，所以A=刀 Γ3 在△MBC,由正弦定理：a=2R,所以a=2 R.sin A=3. sin A (2)在△4BC,由余弦定理：a2=b2+c2-2 be.cosA,所以c2-√5-6=0 解=26成c=5(会5ccnA=6 16解1)g()=mr-nx+1-,g=m--2x,因为g)在0，+∞)单调送减， 所以g)=m-1-2x≤0在(0，+o)上恒成立，即m≤+2x在(0，+o)上恒成立， 而上+2x22N5,当且仅当=5时取等，所以m≤25 2 2)f闭=m-hx+1,f)=m-} ①当m≤0，f(x)<0,f(x)在(0，+o)单调递减，f(x)在(0，+∞)最多一个零点，不合题意，舍去： ②当m>0,f田=m-=m-1,令f=0,x=1 xx m 当x∈0，∫团<0，f田单调递减，当xe(+o,f>0,f闭单调递啦 x→0.f)-→+o,f=mr-nx+1=x0m-nx+ nx=im1=0,所以x→+o,f()→+0，要使f()在(0，+o)有两个不同 1 由洛必达法则，lim x-too x xox 零点，只需f白=1-n+1<0,解得：0<m<。 .1 m 1 综上：me(0, e 17.(1)取BC中点E,连接PE,又，PB=PC∴.PE⊥BC 又，平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PEC平面PBC :PE⊥平面ABCD,又：ABC平面ABCD,.PE⊥AB 又AB⊥BC,BC⌒PE=E,BC、PEC平面PBC∴.AB⊥平面PBC 又·ACC平面PBC,∴.AB⊥AC (2)∴，AB⊥平面PBC,PBC平面PBC.AB⊥PB 又平面PAB⌒平面ABCD=AB,PBC平面PAB,BCC平面ABCD,AB⊥BC ∴∠PBC即为二面角P-AB一C的平面角，∠PBC=60°，又，：PB=PC ·PB=PC=BC=2,过B做BQ⊥平面ABCD,以B为原点，分别以BC、BA、BQ所在直线为x轴、 y轴、z轴建立直角坐标系如图，B(0,0,0,A(0,2,0),P1,0,√3)，D(3,1,0) PD=(2,1,-√5)，BA=(0,2,0,BP=(1,0,V3),令m=(x,y,z）为平面PBC法向量 则mBA=2y=0,mBP=x+√3z=0,则y=0,取x=√5，z=-1,则m=(5,0,-1), 令直线PD与平面PAB所成角为O, 则sin0=cos<m,PD>= mPD 353√6 2x√88 18.【详解】(1)元=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50× 355+0.001×50×405=300(千米). (2)0由X-N(300,502). 所以P20<X≤350=2P20<X≤40)+P050<X≤3501 -0.95450.6827 2 2 0.47725+0.34135=0.8186. (依题意有Y~B10,0.8186),所以E()=8.186 )第次要币出现正面，遥整车移到第一格，其摄率为即片=分 遥控车移到第n(2≤n≤49)格的情况是下面两种，而且只有两种； @遥控车先到第n-2格，又挪出反面，其概率为 ②遥拉车先到第-1格，又掷出正面，其概率为P。 所以g+,所以-4=-R》. 所以1≤n≤49时，数列化-R是等比数列，首项为月-名=之，公比为号的等比数列 所以月-1=号月-月=(，月-B=(,…R-R=( 所以只=-R++…+-B+B=(++…2+ 1-( 1-2 3-2]0a=0,49. 3 所以获得优惠券的概率g=-(之”门 获得大礼包的颗率，。-分印-（门=扣-(”1 所以。-0--(21--(1--（分1>0 3 3 所以获得优惠券的概率大· 19.·【详解】(1)抛物线C:y2=2x(p>0)的准线方程为x=- 2 由点P(x,%)在抛物线C上，当6=%≠0时，x号=2x,可得=2p, 又由PF=6+号=2p+号=5，得p=2, 2 故抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)当a=4时，圆E:(x-4)2+y2=4的圆心为E(4,0),半径为r=2, 设MPE=a0<a<号 要使得cos∠MPN最小，只需a最大，即sina最大， ME 2 2 2 sin a= PE V6-4+好V号-4%+16V-2}+12 当名=2时，血e取最大值写，所以MPN=1-2a≥写 3 即当名=2时，cos∠MPN取最小值 (3)假设存在实数a满足题中条件，当P与坐标原点重合时，设切线PM、PN的方程分别为 y=kx、y=-x(k≠0)， ka 4 则圆心E到直线PM的距离为 =2,可得k2= +2 ①， 2-4 将y=x、y=-x代入抛物线方程y2=4x,得A 则直线AB的方程为x=2! 4 由直线AB与圆E相切可得2-4-2②，由①②解得a=3(负值已舍去)： 下面证明当a=3时，对于C上任意一点P,直线AB总与圆E相切， 设点P 4%4 则直线PA的方程为(y-%) 、4 即4x-(y+%)y+%y=0, 同理可得直线PB的方程为4x-(（y2+%)y+2%=0, 所以直线AB的方程为4x-(y2+)y+y2为=0， 12+yo 因为直线PA与圆E相切，则 V16+(%+y) =2,即(7-4)+16%1+80-46=0， 同理由直线PB与圆E相切得（号-4)2+16%2+80-46=0， 则为、2为方程(-4)y2+16%y+80-4听=0的两个不等的实根， 则为+为= 16y0 8-4’ _80-4y6 哈-4 12+2 12(6-4+80-468(+4 点E到直线AB的距离为 =2 16+(4+2)2 16(6-4°+(164(6+4) 即直线AB与圆E相切， 综上所述，存在a=3,使得当点P在曲线C上运动时，直线AB总与圆E相切.