1.3 直角三角形（六大题型）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3直角三角形 题型一直角三角形的两个锐角互余 1.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，DE1AB于点E.若 ∠C=58°，则∠ADE的度数是(). C D E A.29° B.30° C.32° D.58° 2.如图，△ABC≌△ABC,点A,C的对应点分别为A,C,过点C作CD⊥BC'于 点D.若LABA'=55°，则BCD的度数为 B 3.如图，在ABC中，LACB=90°，CD为AB边上的高，BE交CD,AC于点F, E.FC=FE. E D B (1)若∠A=30°，求∠CEB的度数； (2)∠CBE与∠A相等吗？请说明理由. 题型二锐角互余的两个三角形是直角三角形 4.在ABC中，∠A,∠B、∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件中，能判定 ABC是直角三角形的是() A.∠A=∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=1,b=2,c=3 D.a2=(b-c)(b+c) 1 5.如图，在ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE,若 ∠1=∠2，则ADE是 三角形. B 6.(1)如图①，在Rt△ABC中，LACB=90,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与∠B有 什么关系？为什么？ B 图① 图② 图③ (2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC,AB上，且∠ADE=∠B, 判断ADE的形状是什么？为什么？ (3)如图③，在Rt△ABC和RtADBE中，∠C=90°，∠E=90°，AB⊥BD,点C,B, E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ 题型三写出命题的逆命题 7.下列命题中，逆命题是真命题的为() A.若a=b,则a2=b2 B.全等三角形的对应边相等 C.对顶角相等 D.如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等 8.写出命题“如果ab=0,那么a=0或b=0.”的逆命题： 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.写出命题“若∠BAC=30°则AB=2BC”的 逆命题，并证明该逆命题， 2 B 题型四与三角形的高有关的计算问题 10.如图，ABC中，AD为ABC的角平分线，BE为ABC的高，∠C=70°， ∠ABC=48°， 那么∠3是() E F 3 B A.59 B.60° C.56 D.22° 11.如图，己知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,作AB边上的中线CD和高 线CE,则DE=· A B 12.如图，AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，LBAC=52°，∠BCE=30°， 求∠ADB的度数. 题型五折叠问题 13.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN,EM为折痕，折叠后点A',B', E在同一直线上，已知∠BME=32°，求∠DA'N的度数为() D B E B A.32 B.26° C.48° D.28 14.如图，在ABC中，D是边AC的中点，连接BD,把△BDC沿BD翻折，得到 △BDC',DC'与AB交于点E,连接AC',若AD=AC',BD=3,则点B到AC的距 离为 -- 15.如图，在ABC中，点D在BC边上，沿AD将ABC折叠，使点C与BC边上 的点C重合，展开后得到折痕a. C D (1)折痕a是ABC的 ;(填“角平分线”“中线”或“高”) (2)若∠BAC'=10°，∠B=40°，求∠DAC的度数. 题型六全等的性质和L综合 I6.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E .若AB=5,DE=2,则BE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 17.如图，在ABC中，∠C=90°，DE1AB于点E,BE=BC.如果AC=6,那 么AD+DE= B D 18.如图，在△ABC,AC=BC.分别过A,B作过C的直线1的垂线，垂足分别 为M、N,且AM=CN. B M (1)求证：ABC为直角三角形； (2)若AM=3,BN=5,求AB的长. 5 1.3 直角三角形 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，，点，的对应点分别为，，过点作于点．若，则的度数为 ． 【答案】35° 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 利用全等三角形对应角相等的性质，推导出与相等，再在直角三角形中，通过，直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：， ， ， 即． ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，为边上的高，交，于点，．． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)相等，见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等角的余角相等的性质．解题的关键是利用直角三角形两锐角互余及等腰三角形等边对等角的性质，进行角的等量代换． （1）由已知可得．由，可知是等腰三角形，进而可得答案； （2）由已知可推导出．再由，且，据此即可得． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）．理由如下： ， ． ． 又， ， ． 题型二 锐角互余的两个三角形是直角三角形 4．在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 根据知识点准确分析判断即可． 【详解】选项:，仅表示是等腰三角形，不一定有直角，故排除； 选项: 设，，，则，解得，，，，均为锐角，无直角，故排除； 选项: ，，，，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； 选项: ，，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，且为斜边． 故选． 5．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 6．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三 写出命题的逆命题 7．下列命题中，逆命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题的真假判断，需先写出各选项的逆命题，再结合初中数学相关知识判断其真假即可． 【详解】解：A选项：原命题的逆命题为，则， ∵当，时，但， ∴该逆命题是假命题，不符合题意 B选项：原命题的逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”， ∵根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等， ∴该逆命题是真命题，符合题意； C选项：原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”， ∵等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角， ∴该逆命题是假命题，不符合题意； D选项：原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”， ∵和的绝对值相等，但， ∴该逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 8．写出命题“如果，那么或．”的逆命题： ． 【答案】如果或，那么 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 9．如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：在中，，若，则．证明见解析． 【分析】本题考查的是逆命题定义及证明，根据题意交换命题的条件和结论得出逆命题，再证明；延长至点，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形性质得出结论即可． 【详解】逆命题为：在中，，若，则． 证明：延长至点，使，连接， 则垂直平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 题型四 与三角形的高有关的计算问题 10．如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 11．如图，已知中，，作边上的中线和高线，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识内容，熟知勾股定理和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出的值，利用三角形中线的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 首先根据是的角平分线，求出的度数，然后根据是的高，求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的度数是． 题型五 折叠问题 13．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到，然后根据平行得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴ 由折叠可得，， ∴， 故选：B， 14．如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，点到直线的距离，等边三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 如图，过点作交于点，通过已知条件结合折叠的性质可证明为等边三角形，得到，进而得到，根据直角三角形两个锐角互余得到；再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，最后根据勾股定理求出的长度，即为点到的距离． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 15．如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． (1)折痕a是的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)高 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 题型六 全等的性质和HL综合 16．如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，掌握判定直角三角形全等是解题的关键． 连接构造直角三角形，用判定，得，再通过线段差计算的长度． 【详解】解：连接，如图． ，， ． 在和中， ， ． ， ． 故选：B． 17．如图，在中，，于点，．如果，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等判定的方法是解题的关键； 先证明推出，则，即可推出结果． 【详解】解：在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 ． 18．如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $