精品解析：河北唐山市玉田县2024-2025学年初三九年级数学仿真中考试卷

2024-2025学年玉田县中考数学仿真试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程组的解x、y满足不等式2x﹣y＞1，则a的取值范围为（　　） A. a≥ B. a＞ C. a≤ D. a＞ 2. 如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论： ①若C，O两点关于AB对称，则OA=； ②C，O两点距离的最大值为4； ③若AB平分CO，则AB⊥CO； ④斜边AB的中点D运动路径的长为π． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 3. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 4. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 一样大 5. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 7. 若=1，则符合条件的m有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（　　） A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0 9. 义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样 D. 无法确定 10. 已知种饮料比种饮料单价少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，由题下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____． 12. 函数的自变量的取值范围是_______． 13. 王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜_________袋 14. 八位女生的体重（单位：kg）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg． 15. 如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第个正方形的面积为_____． 16. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②；③PD2=PH•CD；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，已知A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为，千米，，与x之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出，与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时，步行了多长时间？ 18. 未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图(如图)． 分组 频数 频率 5 合计 100 （1）补全频率分布表； （2）在频率分布直方图中，长方形的面积是______；这次调查的样本容量是_____； （3）研究所认为，应对消费元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校名学生中约多少名学生提出这项建议． 19. 已知抛物线． （1）若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 （2）若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F． （1）求证：FD=CD； （2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径． 21. 如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点． （1）如图1，猜想 °； （2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若，，且，求的长． 22. 佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 23. 嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图． （1）这组成绩的众数是　 　； （2）求这组成绩的方差； （3）若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数． 24. 山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元． （1）求二月份每辆车售价是多少元？ （2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年玉田县中考数学仿真试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 方程组的解x、y满足不等式2x﹣y＞1，则a的取值范围为（　　） A. a≥ B. a＞ C. a≤ D. a＞ 【答案】B 【解析】 【分析】方程组两方程相加表示出2x﹣y，代入已知不等式即可求出a的范围． 【详解】 ①+②得： 解得： 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知 数的值． 2. 如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论： ①若C，O两点关于AB对称，则OA=； ②C，O两点距离的最大值为4； ③若AB平分CO，则AB⊥CO； ④斜边AB的中点D运动路径的长为π． 其中正确的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，∵ ∴ ①若C、O两点关于AB对称，如图1， ∴AB是OC的垂直平分线， 则 所以①正确； ②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE， ∵ ∴ 当OC经过点E时，OC最大， 则C、O两点距离的最大值为4； 所以②正确； ③如图2，当时， ∴四边形AOBC是矩形， ∴AB与OC互相平分， 但AB与OC的夹角为不垂直， 所以③不正确； ④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的 则： 所以④正确； 综上所述，本题正确的有：①②④； 故选D． 【点睛】此题属于三角形的综合体，考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质，弧长公式等，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 3. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 4. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 一样大 【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的三视图，然后比较面积即可． 【详解】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C． 【点睛】此题考查了几何体的三视图，解题的关键是正确画出几何体的三视图． 5. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可. 【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即： ，故选择D. 【点睛】本题考查了二次根式的相关定义. 6. 如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°， ∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°， ∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P， ∴∠PDC+∠PCD（∠BCD+∠CDE）＝120°， ∴∠P＝180°﹣120°＝60°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用． 7. 若=1，则符合条件的m有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出. 【详解】=1 m2-9=0或m-2= 1 即m= 3或m=3,m=1 m有3个值 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法. 8. 若实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（　　） A. a3＞0 B. 3a＞0 C. a+3＜0 D. a﹣3＜0 【答案】D 【解析】 【分析】首先由不等式的性质确定3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0；当a＜﹣3时，a+3＜0，当a＝﹣3时，a+3＝0，当﹣3＜a＜0时，a+3＞0；然后根据随机事件定义求解即可求得答案． 【详解】∵a＜0， ∴3a＜0，a﹣3＜0，a3＞0； 当a＜﹣3时，a+3＜0， 当a＝﹣3时，a+3＝0， 当﹣3＜a＜0时，a+3＞0； 故A属于不可能事件，B属于不可能事件，C属于随机事件，D属于必然事件． 故选D． 【点睛】此题考查了随机事件的定义．注意理解随机事件的定义是解此题的关键． 9. 义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为分，分，，．那么成绩较为整齐的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差．根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，通过比较两班方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴乙班成绩较为整齐． 故选：B． 10. 已知种饮料比种饮料单价少1元，小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元，如果设种饮料单价为元/瓶，由题下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设种饮料单价为元/瓶，则种饮料单价为(-1)元/瓶，根据“小峰买了2瓶种饮料和3瓶种饮料，一共花了13元”列出方程即可． 【详解】解：设种饮料单价为元/瓶，则种饮料单价为(-1)元/瓶， 由题意得． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找到题中的等量关系． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____． 【答案】y=3x-1 【解析】 【详解】∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1． 故答案为y=3x﹣1． 12. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 13. 王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋，分给朋友们品尝．如果每人分5袋，还余3袋；如果每人分6袋，还差3袋，则王经理带回孔明菜_________袋 【答案】33. 【解析】 【详解】试题分析：设品尝孔明菜的朋友有x人，依题意得,5x＋3＝6x－3，解得x＝6，所以孔明菜有5x＋3＝33袋. 考点：一元一次方程的应用. 14. 八位女生的体重（单位：kg）分别为36、42、38、40、42、35、45、38，则这八位女生的体重的中位数为_____kg． 【答案】39 【解析】 【分析】根据中位数的定义，结合图表信息解答即可． 【详解】将这八位女生的体重重新排列为：35、36、38、38、40、42、42、45， 则这八位女生的体重的中位数为=39kg， 故答案为39． 【点睛】本题考查了中位数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据个数是奇数或偶数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数． 15. 如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第个正方形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是得到第n个正方形的面积． 先分别求出第1个、第2个、第3个正方形的面积，由此总结规律，得到第n个正方形的面积，将代入即可求出第2018个正方形的面积． 【详解】解：∵第1个正方形的面积为： 第2个正方形的面积为：； 第3个正方形的面积为：； … ∴第n个正方形的面积为：； ∴第个正方形的面积为：． 故答案为：． 16. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②；③PD2=PH•CD；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】依据∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP∽△BPH；依据△DFP∽△BPH，可得，再根据BP=CP=CD，即可得到；判定△DPH∽△CPD，可得，即PD2=PH•CP，再根据CP=CD，即可得出PD2=PH•CD；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，即可得出． 【详解】∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH，故①正确； ∵∠DCF=90°﹣60°=30°， ∴tan∠DCF=， ∵△DFP∽△BPH， ∴， ∵BP=CP=CD， ∴，故②正确； ∵PC=DC，∠DCP=30°， ∴∠CDP=75°， 又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°， ∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD， ∴△DPH∽△CPD， ∴，即PD2=PH•CP， 又∵CP=CD， ∴PD2=PH•CD，故③正确； 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC， 设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30° ∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2， ∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD =×4×2+×2×4﹣×4×4 =4+4﹣8 =4﹣4， ∴，故④错误， 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键. 三、解答题（共8题，共72分） 17. 某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，已知A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为，千米，，与x之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出，与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时，步行了多长时间？ 【答案】（1） （2）小时，离A地千米 （3）小时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）根据相遇时，两个班路程相等，列式计算即可，列式计算乙班离A地距离为10千米减去乙班行驶的路程即可． （3）根据甲、乙两班首次相距4千米，则，解方程即可． 本题考查了图象信息处理，待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程，相遇问题，熟练掌握一次函数的性质，灵活读取图象信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，根据题意， 得， 解得， 故； 设，根据题意， 得， 解得， ∴， 故． 【小问2详解】 解：根据相遇时，两个班路程相等， 得， 解得（小时）； 此时乙班离A地距离为（千米）． 【小问3详解】 解：根据甲、乙两班首次相距4千米， 则， 解得（小时）． 18. 未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图(如图)． 分组 频数 频率 5 合计 100 （1）补全频率分布表； （2）在频率分布直方图中，长方形的面积是______；这次调查的样本容量是_____； （3）研究所认为，应对消费元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校名学生中约多少名学生提出这项建议． 【答案】（1），，，，，1； （2）；； （3）名 【解析】 【小问1详解】 解：∵样本容量为， ∴组的频数为； 观察各组组距为，可知后对应的分组上限为，即第二组分组为； 组的频数为，频率为； 根据前一组，可知第四组分组为； 频率合计为1． 补全频率分布表如下： 分组 频数 频率 ～ ～ ～ ～ 5 合计 1 【小问2详解】解：在频率分布直方图中，长方形的面积等于对应组的频率，长方形对应组，其频率为， ∴长方形的面积是； 由题意“随机调查了本市一中学名学生”可知，这次调查的样本容量是． 【小问3详解】 解：消费元以上的学生对应，和三组， 这三组的频率之和为， ∴该校名学生中需要提出建议的人数约为(名)． 答：估计应对该校名学生中约名学生提出这项建议． 19. 已知抛物线． （1）若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点． ①求此抛物线的解析式； ②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。 （2）若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）， 理由如下： 将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为． ∵当时，， ∴将，代入得，整理得． ∵， ∴是开口向上的二次函数． ∵当时，；当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴，即， ∴，整理得． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式； ②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围； （2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小． 【小问1详解】 ①解：联立抛物线与直线， 得：，整理为． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实根， 判别式，解得， 解析式为：， 抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：． ∵平移后的抛物线过点， ∴，即，解得． ∴原抛物线的解析式为． ②解：， ∴原抛物线的顶点为，开口向下． 设原抛物线上任意一点关于点的对称点为， 根据中点坐标公式，得，，解得，． 将，代入原抛物线解析式， 得，整理得， 即对称后的抛物线解析式为． 联立，得， 整理得． ∵该一元二次方程有实数根， ∴判别式，解得； 【小问2详解】 略 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O相交于点D，点E在⊙O上,且DE=DA，AE与BC交于点F． （1）求证：FD=CD； （2）若AE=8，tan∠E=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠CAD+∠BAD=90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠CAD=∠B， ∵DA=DE， ∴∠EAD=∠E， 又∵∠B=∠E， ∴∠B=∠EAD， ∴∠EAD=∠CAD， 在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD， ∴△ADF≌△ADC， ∴FD=CD． （2）； 【解析】 【分析】（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=4，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=5，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长． 【详解】（1）略 （2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G． ∵DE=AE，DG⊥AE， ∴EG=AG=AE=4． ∵tan∠E=， ∴=，即=，解得DG=4． ∴ED==5． ∵∠B=∠E，tan∠E=， ∴sin∠B=，即，解得AB=． ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键． 21. 如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点． （1）如图1，猜想 °； （2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图3，若，，且，求的长． 【答案】（1） （2） 解：．证明如下： 以是锐角为例．如图2， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； 以是钝角为例．如图3， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可作答； （2）同理证明，即可作答； （3）作于，由（2）得，即有，即可得，进而可得，再求出，即有，问题随之解得． 【小问1详解】 解：如图1， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于，如图3， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、化为最简二次根式，旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和相关图形的性质是解题的关键． 22. 佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 【答案】（1）0； 函数图象如图所示． （2）3；﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 【解析】 【分析】（1）求出x=﹣1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可； （2）利用图象以及表格即可解决问题； （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=0．图象略； （2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1． 故答案为：3；﹣2，或﹣1或1； （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围． 观察图象可知，﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 23. 嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图12所示的折线统计图． （1）这组成绩的众数是　 　； （2）求这组成绩的方差； （3）若嘉淇再射击一次（成绩为整数环），得到这8次射击成绩的中位数恰好就是原来7次成绩的中位数，求第8次的射击成绩的最大环数． 【答案】（1）10；（2）；（3）9环 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数，结合统计图得到答案． （2）先求这组成绩的平均数，再求这组成绩的方差； （3）先求原来7次成绩的中位数，再求第8次的射击成绩的最大环数． 【详解】解：（1）在这7次射击中，10环出现的次数最多，故这组成绩的众数是10； （2）嘉淇射击成绩的平均数为：， 方差为： . （3）原来7次成绩为7 8 9 9 10 10 10， 原来7次成绩的中位数为9， 当第8次射击成绩为10时，得到8次成绩的中位数为9.5， 当第8次射击成绩小于10时，得到8次成绩的中位数均为9， 因此第8次的射击成绩的最大环数为9环. 【点睛】本题主要考查了折线统计图和众数、中位数、方差等知识．掌握众数、中位数、方差以及平均数的定义是解题的关键． 24. 山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元． （1）求二月份每辆车售价是多少元？ （2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？ 【答案】（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元． 【解析】 【分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元， 根据题意得：， 解得：x=900， 经检验，x=900是原分式方程的解， 答：二月份每辆车售价是900元； （2）设每辆山地自行车的进价为y元， 根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y， 解得：y=600， 答：每辆山地自行车的进价是600元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $