精品解析：河北省唐山市玉田县彩亭桥镇中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

九年级数学冀教版 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 青花瓷又称白地青花瓷，属釉下彩瓷，是用含氧化钴的钴矿为原料，在陶瓷坯体上描绘纹饰，再罩上一层透明釉，经高温还原焰一次烧成．下面四个瓷器中，主视图与左视图不同的一个是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据几何体三视图即可求解，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：主视图与左视图不同的一个是 ， 故选：． 2. 如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：的半径为2，圆心到一条直线的距离为1， 与该直线相交， 这条直线可能是， 故答案为：B． 3. 若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个三角形的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应高比等于相似比，周长比也等于相似比． 【详解】∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴相似比为， ∴周长比为． 故选：B． 4. 每年的十月中下旬都是银杏落黄的时候，银杏林中就像金黄的蝴蝶满天飞，如图1所示，非常漂亮，佳佳发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图2是他画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为，， 所以的长为：． 故选：． 5. 小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均数变大，方差的变化不确定 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 错将89写为98，使总和增加9，平均数增加；方差的变化取决于实际数据的分布，可能增大也可能减小，因此不确定． 【详解】解：设实际成绩为，错误成绩为， 错误成绩总和为， 实际成绩总和为， 错误成绩总和比实际成绩总和多， 错误成绩的平均数比实际成绩的平均数多，即平均数变大； 而方差为各数据与平均数之差的平方的平均值，由于平均数变化且一个数据改变，方差可能增大，可能减小，例如当其他数据均为89时方差增大，当其他数据均为100时方差减小， 方差的变化不确定． 故选A． 6. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 7. 每年10月下旬到11月上旬是红叶的最佳观赏时期，在河北观赏红叶的绝佳地点有井陉仙台山、涉县的庄子岭、涞源县的白石山、平山县的沕沕水，周末笑笑与轩轩要一起去看红叶，每人选一个地点，则他们选择涉县的庄子岭和井陉仙台山的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数是解题的关键． 先用列表法得出所有可能的结果，再找出他们选择涉县的庄子岭和井陉仙台山的结果，最后代入公式计算概率即可． 【详解】解：记井陉仙台山为，涉县的庄子岭为，涞源县的白石山为，平山县的沕沕水为，根据题意，列表如下： 轩轩 笑笑 由表可知，一共有种等可能结果，即，，，，，，，，，，，，，，，， 其中选择涉县的庄子岭和井陉仙台山的有，，共种， ∴他们选择涉县的庄子岭和井陉仙台山的概率． 故选：． 8. 下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A. 与x轴的交点个数不确定 B. 与y轴的交点坐标为 C. 与坐标轴有两个交点 D. 与坐标轴有3个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 9. 中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断点E的位置，然后利用相似三角形的性质验证即可． 【详解】①当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ②当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ④当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 故选C． 10. 【新情境·古代文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”设矩形田地的长为x步，则下列说法正确的是（ ） A. 由题意可列方程 B. 由题意可列方程 C. D. 长比宽多6步 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据矩形面积公式列方程，并求解验证选项． 【详解】解：设矩形田地的长为步，则宽为步． ∵面积为891平方步， ∴． 整理得． 解得，． 当时，宽为，长比宽多步； 当时，宽为，长小于宽，不符合题意，舍去． 选项A中方程错误，应为； 选项B中方程错误，应为； 选项C中不正确，实际为33； 选项D正确，长比宽多6步． 故选：D． 11. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形. 依题意，当为等腰直角三角形时，分三种情况讨论即可. 【详解】如图1，当时，， ， 此时； 如图2，当时，． ， ， 此时； 如图3，当时，过点P作于点H． ， ， ， 此时． 综上所述，甲，丙答案合在一起才完整． 故选C． 12. 当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最小值， 分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ； 若时，当时，的最小值是， ， 解得：， 综上，或， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的解为____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题关键．通过展开和移项将方程化为标准形式，然后利用因式分解法求解. 【详解】解：∵， ∴展开得， ∴移项得， ∴因式分解得， ∴或， 故答案为， 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 【答案】 35 【解析】 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为． 15. 武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔底端的俯角为，顶端的仰角为，则测得龟山电视塔的高度是______．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，由题意得四边形为矩形，根据矩形的性质以及等腰直角三角形的性质得，再根据解直角三角形求出的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 由题意得四边形为矩形，， ，， ， ， ， ， ， 顶端的仰角为， ， ， ， ， 所以龟山电视塔的高度是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定和勾股定理的应用，构造相似三角形是解题的关键． 在上截取，连接，，，证明，可得，当B、Q、P三点共线时，的值最小，求出即为所求． 【详解】解：在上截取，连接，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， 在中，，， ， 的最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是锐角，且．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先由是锐角，且得到，即得，，再把、、的三角函数值代入计算即可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， ，， ， ． 18. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． （1）请画出这个几何体的主视图和左视图； （2）要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 【答案】（1） 画出这个几何体的主视图和左视图，如图所示： （2）2 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法，解题关键是根据三视图的定义和画法解答． （1）根据三视图的画法，画出图形即可求解； （2）从俯视图的角度出发，同时考虑主视图和左视图的情况，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，要保持主视图、俯视图和左视图都不变，则最多可以添加2个小立方块． 故答案为：2． 19. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3 8.5 7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 （名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的点坐标即可． 【小问1详解】 解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； 【小问3详解】 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点， ， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 22. 如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 【答案】（1） 证明：已知是△的外接圆，，．如图，连接， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，利用平行线的性质即可求出，从而可知是的切线； （2）设，由于，所以，在△中，由勾股定理可知：，解得，所以半径；根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 的半径为5， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 23. 周末小琴在文化广场观看喷水景观如图1，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图2所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷出的水都落在一个大的水池中，求水池的最小半径； （3）若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱下方，且距喷水头P的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】（1） （2） （3）当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）直接求抛物线与轴交点即可； （3）令，解方程求出自变量的值，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线顶点为， 设，将代入得： ， 解得， ， 此抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：（负值舍去）， 水池的最小半径； 【小问3详解】 解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ； （2）①5；②1 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质可得，，可得，，再证明，最后可得出； （2）①先证明，可得，从而可得，求出，再证明，可得，再求解即可； ②设与之间的距离为，由四边形的面积为24，可得，再求出 ，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②设与之间的距离为， 四边形的面积为24， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学冀教版 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 青花瓷又称白地青花瓷，属釉下彩瓷，是用含氧化钴的钴矿为原料，在陶瓷坯体上描绘纹饰，再罩上一层透明釉，经高温还原焰一次烧成．下面四个瓷器中，主视图与左视图不同的一个是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形的对应高的比为，则这两个三角形的周长比为（ ） A. B. C. D. 4. 每年的十月中下旬都是银杏落黄的时候，银杏林中就像金黄的蝴蝶满天飞，如图1所示，非常漂亮，佳佳发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图2是他画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均数变大，方差的变化不确定 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差变大 6. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 7. 每年10月下旬到11月上旬是红叶的最佳观赏时期，在河北观赏红叶的绝佳地点有井陉仙台山、涉县的庄子岭、涞源县的白石山、平山县的沕沕水，周末笑笑与轩轩要一起去看红叶，每人选一个地点，则他们选择涉县的庄子岭和井陉仙台山的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A. 与x轴的交点个数不确定 B. 与y轴的交点坐标为 C. 与坐标轴有两个交点 D. 与坐标轴有3个交点 9. 中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 【新情境·古代文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”设矩形田地的长为x步，则下列说法正确的是（ ） A. 由题意可列方程 B. 由题意可列方程 C. D. 长比宽多6步 11. 对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ） A. 只有甲答案对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 12. 当时，二次函数的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一元二次方程的解为____． 14. 地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为______． 15. 武汉龟山电视塔是中国第一座电视塔，是武汉著名的旅游景点及城市地标，曾有“亚洲桅杆”之美称．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔底端的俯角为，顶端的仰角为，则测得龟山电视塔的高度是______．（参考数据：） 16. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知是锐角，且．求的值． 18. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示这个位置小立方块的个数． （1）请画出这个几何体的主视图和左视图； （2）要保持主视图、俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个这样的小立方块． 19. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 22. 如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 23. 周末小琴在文化广场观看喷水景观如图1，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图2所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求此抛物线的解析式； （2）若喷出的水都落在一个大的水池中，求水池的最小半径； （3）若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱下方，且距喷水头P的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，． （1）求证：； （2）如果． ①若，求的长； ②若四边形的面积为24，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $