2.6.2 函数的极值 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 导数及其应用 互动设计 2.6.2 函数的极值 互动设计课程 1 课件部分内容快照 【情境导入】 【探究新知】 【典型例题】 1. 导函数的概念 3.基本初等函数导数公式表 【情境一】登山问题 【情境二】温度变化曲线 【情境三】利润最大化问题 4. 求函数极值的步骤 3. 极值的第一充分条件（导数符号法） 2. 极值的必要条件 1. 极值的定义 【例2】含参数讨论 【例1】基础应用 【例3】实际应用 互动设计课程 学 习 目 标 掌握利用导数求函数极值的方法和步骤 返回主页 理解函数极值的概念，能区分极值与最值的不同掌握利用导数求函数极值的方法和步骤 能够根据导函数的符号变化判断函数的极值点，会求简单函数的极大值和极小值 通过观察函数图像，经历从直观到抽象的极值概念形成过程体会导数作为研究函数性质工具的思想方法 培养数形结合、分类讨论的数学思维能力 情 境 引 入 返回主页 【情境一】登山问题 【情境二】温度变化曲线 【情境三】利润最大化问题 【情境一】登山问题 假设你正在攀登一座山峰，从山脚出发，一路上坡，到达山顶后开始下坡。请问： 山顶这个位置有什么特殊性？ 如果用函数 h(t) 表示时刻 t 的高度，山顶对应函数的什么特征？ 从生活实例引入，建立极值的直观认识。 【情境二】温度变化曲线 某地区一天内的温度变化曲线如图所示（展示曲线图），请问： 一天中最高温和最低温出现在什么时候？ - 这些时刻的温度与周围时刻的温度相比有什么特点？ 【情境三】利润最大化问题 某企业生产 件产品的利润函数为 。企业希望找到能获得最大利润的生产数量。 💰 这些问题的共同数学本质是什么？（都是寻找函数的”峰值”或”谷值”） 师 生 互 动 返回主页 【活动1】观察与发现（小组合作） 【活动2】探究导数符号与极值的关系 【活动3】“找茬”游戏 【活动1】观察与发现（小组合作） 任务：观察以下函数图像，找出”山顶”和”谷底”的位置 函数1: f(x) = x³ - 3x² 函数2: f(x) = x⁴ - 2x² 函数3: f(x) = sin(x) 函数4: f(x) = 讨论问题： 1. 这些”峰”和”谷”处的切线有什么共同特征？ 水平切线，即 f'(x)=0） 【活动2】探究导数符号与极值的关系 实验操作：完成下表 函数 极值点 在 左侧 在 右侧 极值类型 极小值 极大值 无极值 【活动3】“找茬”游戏 判断正误： 1. 函数的极大值一定大于极小值 ❌ 2. 函数在极值点处的导数一定为零 ✅（可导前提下） 3. 导数为零的点一定是极值点 ❌ 4. 函数的极值点一定是定义域的内点 ✅ 5. 连续函数在闭区间上一定有极值 ❌（可能有，也可能只有最值） 探 求 新 知 返回主页 4. 求函数极值的步骤 3. 极值的第一充分条件（导数符号法） 2. 极值的必要条件 1. 极值的定义 1. 极值的定义 定义：设函数 f(x) 在点 及其附近有定义， 若对 附近的所有 x（x≠），都有 f(x)<f( )，则称 f( ) 为函数的极大值， 为极大值点 若对 附近的所有 x（x≠），都有 f(x)>f( )，则称 f(x ) 为函数的极小值， 为极小值点 要点强调： 极值是局部概念，极大值不一定大于极小值 极值点是指 x 的值，极值是指 f(x) 的值 ,极值点必须在定义域的内部取得 2. 极值的必要条件 定理：若函数 f(x) 处可导且取得极值，则 )=0 说明：使 的点称为函数的驻点（或稳定点） 可导函数的极值点一定是驻点 - 但驻点不一定是极值点（如 在 处） 3. 极值的第一充分条件（导数符号法） 左侧导数 右侧导数 结论 极大值 极小值 同号 同号 无极值 口诀：左正右负极大值，左负右正极小值 4. 求函数极值的步骤 四步法： 求导：计算 2. 找点：解方程 ，找出驻点；找出导数不存在的点 3. 列表：用驻点和不可导点划分区间，列表判断各区间导数符号 4. 结论：根据符号变化确定极值点和极值 典 例 铺 路 【例2】含参数讨论 【例1】基础应用 【例3】实际应用 【例1】基础应用 求函数 的极值 解： 1. 求导： 2. 找点：令 ，得 ， 3. 列表分析： ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 结论： 当 时， 有极大值 当 时， 有极小值 【例2】含参数讨论 已知函数 在 处有极值 ，在 处有极值 ，求 的值 解： 由题意： - …① - …② - …③ 由①+②： 代入①： 代入③：验证：， ✓ 答案： 【例3】实际应用 某工厂生产某种产品，月产量 （吨）与每吨价格 （元）的关系为 ，成本为 元。问月产量为多少时利润最大？最大利润是多少？ 解： 利润 （） 求导： 令 ： （舍去负值） 验证：当 时，；当 时， ∴ 是极大值点，也是最大值点 最大利润： 元 答：月产量为200吨时利润最大 概念辨析 概念辨析 随 堂 演 练 返回主页 【1】 1. 函数 的极大值点为（　） - A. 　B. 　C. 和 　D. 答案与解析 答案：A 解析： 令 ，得 或 列表： - 当 时， - 当 时， - 当 时， ∴ 是极大值点， 是极小值点 【2】 2. 函数 的极小值为______ 答案与解析 答案： 解析： 令 ，得 （因为 恒成立） 当 时，；当 时， ∴ 是极小值点 极小值 【3】 3. 若函数 在区间 内有极小值，则 的取值范围是______ 答案与解析 答案： 解析： 令 ，得 （需 ） 要在 内有极小值，需要： - ，即 - 且 为极小值点（左负右正，满足） ∴ 【4】 4. 求函数 的极值 答案与解析 解：定义域为 令 ，得 ，即 ∴ 当 时，函数有极大值 ，无极小值 【5】 5. 已知 在 处有极值 ，求 的值 答案与解析 解： 由题意： - …① - …② 由①： 代入②： 情况1：，则 验证： 左右导数变号，是极值点 ✓ 情况2：，则 验证： 左右导数同号，不是极值点 ✗ ∴ ， 随 堂 检 测 返回主页 【1】 1. 下列函数中， 是极值点的是（　） - A. - B. - C. - D. 答案 B 解析：A中 ， 不是极值点；B中 ， 时 ， 时 ， 是极小值点；C单调递增；D在 无定义。 【2】 2. 函数 的极值点是（　） - A. - B. - C. 或 或 - D. 答案 C 解析： 令 ，得 三个点两侧导数均变号，都是极值点。 【3】 3. 若函数 有3个不同的零点，则 的取值范围是（　） - A. - B. - C. - D. 答案 A 解析： 极大值 极小值 要有3个不同零点，需极大值 且极小值 ： 【4】 4. 函数 在 上的最大值是（　） - A. - B. - C. - D. 答案 B 解析： 令 ，得 ，， 比较得最大值为 （注意：这是极大值也是最大值） 【5】 5. 函数 在 ______处取得极小值，极小值为______ 答案 2；-3 解析： 极大值点， 极小值点， 【6】 6. 若 在 处有极大值，则常数 的值为______ 答案 6 解析： 令 ，得 或 若 是极大值点，则： - 情况1：，即 ，此时 是极小值点，符合 - 情况2：，此时 是极大值点，不符合 ∴ 课 堂 小 结 返回主页 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 2.方法总结 3. 易错 1. 知识小结 【知识网络】 函数的极值 ├── 概念：局部最大/最小值（注意与最值区分） ├── 必要条件：可导函数极值点 ⇒ 导数为0（驻点） ├── 充分条件：导数变号法（第一充分条件） │ ├── 左正右负 → 极大值 │ └── 左负右正 → 极小值 └── 求解步骤：求导 → 找点 → 列表 → 结论 43 2.方法总结 【方法总结】 求极值的核心：判断导数在临界点两侧的符号变化 注意特殊情况：导数不存在的点也可能是极值点 参数问题：注意检验导数为零的点是否真的是极值点 44 3. 易错 误区 正确认识 极大值 > 极小值 极值是局部概念，极大值可以小于极小值 ⇔ 极值点 只是必要条件，需配合充分条件判断 极值点 = 最值点 闭区间上的最值可能在端点取得 45 $