第2章 6.2 函数的极值（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 6.2 函数的极值 课程标准 素养解读 1在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽 1.理解函数的极大值和极小值的概念 象的核心素养。 2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值. 2.在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核 3.体会导数与单调性、极值的关系。 心素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]极值的判定方法 请学生们观察庐山连绵 1.若函数y=f(x)在区间(a,2。)内单调递增，在区间 起伏的图片，并思考“山势有 (x0,b)内单调递减，则zo是极大值点，f(x)是极 什么特点”？这些山高低起 大值.若函数y=f(x)在区间(a,xo)内单调递减， 伏，形成了很多的“峰点”与 在区间(x。,b)内单调递增，则x。是极小值点， “谷点”.诗句“横看成岭侧成 f(x)是极小值 峰，远近高低各不同”，也描绘了庐山的连绵起伏的景 2.利用导数与函数单调性的关系，极大值问题可以通 象，这些“峰点”与“谷，点”就是数学上研究的函数的 过下表表示出来。 极值. [知识梳理] (a,xo) To (x0,b) [知识点一]函数极值的定义 f'(x) 0 1.极大值点与极大值 y=f(x) y=f(x) 极大值 如图，在包含x。的一个区间(a, b)内，函数y=f(x)在任何不为 极小值问题可以通过下表表示出来 x的一点处的函数值 (a,x) Zo (xo,b) 点x。处的函数值，称点x,为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x,)为函数的 f'(x) 0 + 2.极小值点与极小值 y=f(z) 极小值 如图，在包含x。的一个区间 =Ix [知识点三]求函数y三f(z)极值点的步骤 (a,b)内，函数y=f(x)在任何 Oax。b (1)求出导数f(x). 不为x的一点处的函数值 (2)解方程f(x)=0. 点处的函数值，称点x。为函数y=f(x)的 ,其函数值f()为函数的 (3)对于方程f子(x)=0的每一个实数根x。,分析 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值 f(x)在2。附近的符号（即f(x)的单调性），确定极 与极小值统称为极值. 值点： 2思考1.函数的极大值一定大于极小值吗？ ①若f'(x)在x,附近的符号“左正右负”，则x。为 ②若f'(x)在2。附近的符号“左负右正”，则x。为 2.导数为0的点一定是极值点吗？ ③若f(x)在x。两侧的符号相同，则x。 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 “X”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点.() (2)函数的极小值一定小于它的极大值.( 60· 第二章导数及其应用 五维课堂 (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值， A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 (4)若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b) C.有两个极大值点，两个极小值点 内不是单调函数， D.有四个极大值点，无极小值点 2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图像如图 3.有下列四个函数：①y=x3;②y=x2+1:③y=|x； 所示，则函数f(x) ④y=2.在x=0处取得极小值的函数是( ↑f'x) A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 4.函数f(x)=x3一3x2+1的极小值点为 课堂。互动学案 ● 题型一 求函数的极值 ◇[变式训练] [例1]求下列函数的极值点和极值 1.求下列函数的极值： x3-2 (1)f(x)= 32--3x+3:(2)f)= (1)f(x)=(x2-1)3+1;(2)y= 2(x-1)21 3In x;(3)f(x)=x'e * 题型 含参数的函数求极值 [例2]已知函数f(x)=(x2+a.x-2a2+3a)e(x∈ R),当a∈R且a≠号时，求函数的极值， 汇思路点拨] 求f(x)=0的根 分子和a号 讨论f(x)的单调性→求极值 规律方法 函数极值和极值点的求解步骤： (1)确定函数的定义域. (2)求方程f'(x)=0的根. (3)用方程f(.x)=0的根顺次将函数的定义域分 成若干个小开区间，并列成表格 (4)由f'(x)在方程f(x)=0的根左右的符号， 来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值 点的确定一目了然. 61· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 规律方法 ⊙[变式训练] 求含参数的函数极值的步骤： 3.(1)已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x十1)(x (1)求函数的定义域； a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范 (2)求函数的导数f'(x): 围是 () (3)对参数分类讨论判定函数的单调性，判定有无 A.(-0∞，-1) B.(0,+∞) 极值点，若有求出全部的根x。; C.(0,1) D.(-1,0) (4)判断得结论：若导数在x。附近左正右负，则在 (2)设a∈R,若函数y=e十a.x,x∈R,有大于零的 x处取得极大值；若左负右正，则取得极小值. 极值点，则 ⊙[变式训练] A.a<-1 B.a>-1 e 2.若函数f(x)=x-alnx(a∈R),求函数f(x)的 极值. C.a<-1 D.a>- e 题型四 函数极值的综合问题 [例4]已知函数f(x)=x3一3x十a(a为实数)，若 方程f(x)=0有三个不同实根，求实数a的取值范围. 汇思路点拔]求出函数的极值，要使f(x)=0有 三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于 0,由此可得实数a的取值范围. 题型由极值求参数的值或取值范围 [例3] 已知函数f()=号x-x2+ar-1 (1)若函数的极大值点是一1，求a的值； (2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取 值范围. 规律方法 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析 式时，应注意以下两点： 规律方法 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数 程组，利用待定系数法求解； 的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要 像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个 条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的 函数图像的交点个数，从而为研究方程根的个数 合理性 问题提供了方便， 62· 第二章导数及其应用 五维课堂到 ◇[变式训练] 2.设函数f(x)=xe,则 () 4.已知函数f(x)=-x3+ax2十b(a,b∈R). A.x=1为f(x)的极大值点 (1)求函数f(x)的单调递增区间； B.x=1为f(x)的极小值点 (2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三 C.x=一1为f(x)的极大值点 个零点，求实数b的取值范围. D.x=-1为f(x)的极小值点 3.若函数f(x)=g在x=a处有极小值，则实数a等 x 于 4求函数y=x十的极值. [当堂达标] 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x) 在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间 (a,b)内的极小值点有 ) A.5个 B.4个 ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 C.3个 D.2个 ·63·上为减函数，.f(x)的单调递 减区间为一 2.[解]由题意可知f(x)=3.x2-a≤0在(-1,1)上恒成 立，f(-1)50 1f(1)≤0 中信仁中a的水准到关3，中 3.[解]f(x)=x3-ax-1,∴.f(x)=3.x2-a,由f(x) =0,得x=土@(a≥0)，：fx)在区间(-1,1)上不单 3 调，0<@<1，即0<a<3.故a的取值范国为(0,3). 3 变式训练 1 3.解：1)h(x)=lhx2ar2-2r,x∈(0，+o, -r-ar-2. .h'(x)=1 ,h(x)在(0，十∞)上存在单调递减区间， 当x60,十0)时ar-2<0有，即a> 2 2 有条这G)-立兰R要。>0rm中时 而G(x) (2）-1cm-=-1>-1. 故a的取值范围是{aa>一1，且a≠0}. (2),h(x)在[1,4」上单调递减， x∈[1,4]时，h'(x)=上-ar-2≤0恒成立， x 即a≥马-2恒成主，a≥G(x)mm,而G(x)= (-)- 7 一16 故a的取值范国是{知。≥品且a≠0} 当堂达标 1.A[f(x)=x3在(-1,1)内单调递增，但f(x)=3.x2≥0 (一1<x<1),故命题甲是命题乙的充分不必要条件.] 1 2.A[因为f'(x)=工 -lnt=1-lnx.当xe(e,+oo） x2= 时，l-lnx<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(e,+o∞)上为 单调递减函数.故f(a)>f(b).] 3.解析：由题意得函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f'(x)= 上+2x十a=2+中<0的解条为（合1），所以不 等式2r2+a+1<0的解桑为（分），所以分十1= 分a=-3 答案：一3 ·10 参考答案 4.解：函数f(x)=k.x-lnx的定义域为(0，十oo),f'(x)=k -1=kx-1 当k≤0时，kx-1<0,.f(x)<0,则f(x)在(0，+o∞)上 单调递减。 当>0时，由f)<0,即c<0,解得0<石： 由f)>0,即>0，解得>石 “当>0时，x)的单洞递减区间为(0，)单调道增 区间为（+∞） 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，十∞)： 当>0时，fx)的单调递减区间为(0，)单调递增区 间为（+∞） 6.2函数的极值 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.都小于极大值点极大值 2.都大于极小值点极小值 [思考] 1.[提示]函数的极大值不一定大于极小值。 2.[提示]不一定，如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是f(x) =x3的极值点.所以，当f(xo)=0时，要判断x=x0是否为 f(x)的极值点，还要看f(x)在xo两侧的符号是否相反. 知识点三、1.极大值点极小值点不是极值点 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 2.C[设y=f(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次 为x1x23x4,则f(x)在x=T1x=x3处取得极大值，在x =2x=x4处取得极小值] 3.B[①y=x3在R上单调递增，无极值：②y=x2+1在( o∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故y=x2+1在x =0处取得极小值：③y=x在（一○，0）上单调递减，在(0， 十oo)上单调递增，故y=x在x=0处取得极小值；④y=2 在R上单调递增，无极值.] 4.解析：由f(x)=3x2-6x=0,解得x=0或x=2. 当x变化时，f(x)的变化情况如下表： x -∞，0) 0 (0,2) 2 (2,十∞) f(x) 0 0 f(r) 极大值 极小值 .当x=2时，f(x)取得极小值. 答案：2 数学(BS)·选择性必修第二册 课堂互动学案 1 [例1】[解]I)f)=3x3-x2-3+3的定义城为R, f(x)=x2-2x-3.令f(x)=0, 得0=3，x2=-1. 当x变化时，f(x)变化情况如下表： (-0∞，-1) -1 (-1,3) 3 (3,十∞) f(z) 0 f(x) 递增 极大值 递减 极小值一6 递增 3 因此当x=-1时，f(x)有极大值，f代-1)=4 当x=3时，f八x)有极小值，f(3)=一6. (2)函数f(x)=3+31nx的定义战为(0，十oo),f(r)= 3+3=3(x一12 令f（x)=0,得x=1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (0,1) 个 (1,十∞) f(x) 0 f(x) 递减 极小值3 递增 因此当x=1时，f(x)有极小值，并且f(1)=3. (3)函数的定义域为R f'(x)=2xex-x2ex=x(2-x)ex.令f(x)=0,得x =0或x=2. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x (-∞，0) (0,2) 2 (2,+∞) f(.x) 0 0 f(.x) 递减 0 递增 4e2 递减 由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且f(0)=0. 当1=2时：画数有板大位，且2)=号 变式训练 1.解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.令 f(x)=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (1, x -1,0) 0 (0,1) -1) f'(x) 0 0 0 极小 f(x) 无极值 无极值 值0 .当x=0时，f(x)有极小值，f(x)板小植=0.没有极 大值 ·10 (2)函数的定义域为（一0,1）U(1,+∞)，且 y=x-2)2(x+1D 2(x-1)3 令y'=0,得x=-1或x=2, 当x变化时，y',y的变化情况如下表： x (-00,-1) -1 (-1,1)(1,2) 2 (2,+∞) y 0 0 3」 y 8 故当=-1时y有极大值-吾，设有极小位。 [例2][解]f(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]e. 令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a≠号知，-2☑ ≠a-2. 以下分两种情况讨论： 2 若a>3,则-2a<a-2. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： x (-oo,-2a) -2a -2a,a-2 a-2 a-2,十o f(z) 0 0 f(x) 极大值 极小值 ∴.f(x)在(-o∞，-2a),(a-2,十o∞)内是增函数，在( 2a,a一2)内是减函数. ∴.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f( 2a)=3ae2a: 函数f(.x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2) =(4-3a)e4-2. 若a<号：则-2a>a二2 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： -o∞，a-2} a-2 a-2,-2a -2a -2a,+o∞j f(x 0 0 f(x) 极大值 极小值 .f(x)在(-∞，a-2),(-2a,十o∞)内是增函数，在(a 2,-2a)内是减函数. .∴.函数f(x)在x=a一2处取得极大值f(a一2)，且f(a一2) =(4-3a)e“2;函数f(.x)在x=一2a处取得极小值 f(-2a),且f(-2a)=3ae2a 变式训练 2.解：函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x) =1-a=x-a (1)当a≤0时，f(x)>0,函数f(x)在(0，十∞)上单调 递增，函数f(x)无极值. (2)当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a. 当0<x<a时，f(x)<0;当x>a时，f(x)>0. ∴.f(x)在x=a处取得极小值，且f(a)=a-alna,无极大 值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无 极大值 [例3][解](1)f'(x)=x2-2.x+a, 由题意得f'(一1)=1+2十a=0, 解得a=-3,故f(x)=x2-2x-3. 经验证可知，f(x)在x=一1处取得极大值，故a=一3. (2)由题意，方程x2-2x十a=0有一正一负两个根， 设为x1,x2,则x1x2=a<0.故a的取值范围是(-∞， 0). 变式训练 3.(1)D[若a<-1,f'(x)=a(x+1)(x-a),∴.f(x) 在（一o∞，a)上单调递减，在(a,一1）上单调递增.∴.f(x) 在x=a处取得极小值，与题意不符.若一1<a<0,则 f(x)在（一1，a)上单调递增，在(a,十∞）上单调递减，从 而在x=a处取得极大值.若a>0,则f(x)在（一1，a)上 单调递减，在(a,十o∞)上单调递增.f(x)在x=a处取 得极小值，与题意矛盾.] (2)C[y=e十a,由题意知a<0.由题意可设x=xo为 其极值点，x0>0.∴e2。十a=0.a<-1.] [例4][解]令f'(x)=3.x2-3 32 =3(x+1)(x-1)=0, 解得x1=-1,x2=1.当x<-1 时，f'(x)>0:当-1<x<1时，/ f(x)<0; 当x>1时，f(x)>0.所以当x=一1时，f(x)有极大值 f(-1)=2+a: 当x=1时，f(x)有极小值f(1)=一2+a. 因为方程f(x)=0有三个不同实根， 所以y=f(x)的图像与x轴有三个交点，如图. 由已知应有2+a>0, (-2+a<0, 解得一2<a<2,故实数a的取值范围是(-2,2). 变式训练 4.解：(1)因为f(x)=-x3+a.x2+b,所以f'（x)=-3.x2+ 2a.x= 2a 3x(-3 当a=0时，f(x)=一3.x2≤0，函数f(x)没有单调递增区 间； 当a>0时，令f)>0,即-3x(e-号) >0,解得0<x 2a 3 故函数f)的单羽递增区间为(0，号)： 当a<0时，令fx)>0,即-3x(-号）>0，解得号< <0, 故面数f)的单调道培区问为（偿0） ·10 参考答案 (2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间 为（号） 单调递减区间为（一-∞，0）和 2a 所以f(x)极大值= 27 =b. 由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点， 所以人f代)叛大>0， 14a3 27 (f(x)极小值<0， >0解得一0 (b0, 因为对任意a∈[3,4,6>-号恒成立，所以6>( 27）max=-4X33 4a3 27 =-4. 所以实数b的取值范围为（一4,0）」 当堂达标 1.C[结合题图可知，当导函数值由负到正时，函数f(x) 存在极小值，因此从导函数图像知，函数f(x)在开区间 (a,b)内的极小值点有3个.] 2.D[令f'(x)=ex十x·ex=(1十x)ex=0,得x=-1. 当x<-1时，f'(x)<0:当x>-1时，f'(x)>0.故当x =一1时，f(x)取得极小值.] 3.解析：画数f(x)-二在x=a处有极小值得x=a是权值 点，所以(a)=0,由f（x)=2e,代入a,解得a =1. 答案：1 4.解：y=1一】=x，1,令y=0,解得x=土1，而原函数一 的定义域为{xx≠0}，.当x变化时，y,y的变化情况如 下表： (-1,0) (0,1) 1 (1,十0o) y 0 0 y单调递增极大值单调递减单调递减极小值 单调递增 所以当x=一1时，y椒大值=一2，当x=1时，y极小值=2. 6.3函数的最值 课前预习学案 知识梳理 知识点一1.不超过不小于 知识点二、区间的端点函数值最大（小）的值 「思考] [提示]函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数 值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得：有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值：极值有可能成为最值，最值只要不在端 点必定是极值」 知识点三、l.极值2.各极值f(a),f(b)最大值最小值 3