2.1.2 向量的基本关系 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用 2.1.2 向量的基本关系 32999 1. 理解相等向量、共线向量、相反向量的概念. 3. 理解向量的夹角的概念. 学 习 目 标 32999 情境:如图所示,电梯 A 从 1 楼上升到 3 楼,电梯 B 从 5 楼上升到 7 楼. 则电梯 A、B 的“移动过程”有什么共同点? A B 都向上移动了 2 层,方向都是竖直向上 思考:如果把电梯的移动看成“向量”,电梯 A 的移动向量和电梯 B 的移动向量,是不是“一模一样”的? 情 景 导 入 32999 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 若向量 a 与 b 相等,记作 a = b. ① 若两个有向线段方向相同、长度相等,则它们表示的向量相等; ② 相等向量与有向线段的起点位置无关,因而向量可“自由平移”,如向量 a 与 b. 一楼 三楼 a 五楼 七楼 b 知 识 梳 理 32999 问题1:如果,电梯 A 从 1 楼上升到 3 楼,电梯 B 从 7 楼下降到 1 楼. 则电梯 A 的移动向量与电梯 B 的移动向量有什么关系? 一楼 三楼 a 一楼 七楼 b 共线向量:若两个非零向量 a,b 的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作: a∥b. 相反向量:若两个向量的长度相等,方向相反,则称它们互为相反向量,记作:a 与 -a. 规定:零向量与任一向量共线,即 0∥b; 零向量的相反向量仍是零向量. 问 题 探 究 32999 例1:如图,点 D,E,F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB,BC,AC 的中点. 在以点 A,B,C,D,E,F 为起点或终点的向量中. (1)找出与向量 相等的向量; (2)找出与向量 共线的向量. 解:根据三角形中位线定理得: (1)与向量 相等的向量有: ; (2)与向量 共线的向量有: 典 型 例 题 32999 1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ① 向量 与 是共线向量, 则 A、B、C、D 四点必在一直线上. ( ) ② 单位向量都相等. ( ) ③ 任一向量与它的相反向量不相等. ( ) ④ 共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. ( ) 当 堂 检 测 32999 问题2:如图,向量 a 与 ,a 与 是相等向量吗?是共线向量吗?它们所在直线有何关系? 不是相等向量也不是共线向量,它们所在直线相交. 问 题 探 究 32999 规定:零向量与任一向量垂直,即 0⊥a. 当 = 0 时,a 与 b 同向;当 = 180 时,a 与 b 反向; 当 = 90 时,a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,如图,在平面内任选一点 O, 作 = a, = b,则 =∠AOB (0 ≤ ≤ 180 ) 称为向量 a 与 b 的夹角. 知 识 梳 理 32999 例2:如图,等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别是边 AB,BC,AC 的中点,指出如下各组向量的夹角. (1) 和 ;(2) 和 ;(3) 和 . 解:(1) 与 的夹角是∠EDF = 60 ; (2)因为 ,所以 与 的夹角等于 与 的夹角,即∠EDA = 120 ; 则 与 的夹角等于 与 的夹角,即∠EDG = 120 . (3)如图延长 FD 至 G,使 DG = FD,则 , G 典 型 例 题 32999 B 2.在 ABC中,AB = AC,∠BAC = ,则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. A B C C 分析:① AB = AC ∠B =∠C; ② ∠B =∠C = ( - ) 2 = ; ③ 如图所示,作 AC ′ 平行与 BC,则向量 与 的夹角即为向量 与 的夹角; ④ + = ,故选 B. 当 堂 检 测 32999 回顾:根据今天所学,构建知识框图. 向量的基本关系 共线(平行)向量 相反向量 相等向量 向量的夹角 规定1:零向量与任一向量共线,即 0∥b;零向量的相反向量仍是零向量. 规定2:零向量与任一向量垂直,即 0⊥a. 课 堂 总 结 32999 $