2.1.2 向量的基本关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的基本关系，涵盖相等向量、共线向量、向量夹角及综合应用，通过物理学中速度、力的实例类比引入相等向量，结合等边三角形边与向量夹角的对比问题，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以微专题深化概念理解，典例结合几何图形（如三角形中点、正六边形中心）直观呈现向量关系，规律方法提炼助于逻辑推理。融入数学抽象与直观想象核心素养，学生能提升概念辨析与空间想象能力，教师可依托分层评价实现精准教学。

1.2　向量的基本关系 　 第二章　§1　从位移、速度、力到向量 学习目标 1.理解相等向量及共线向量的概念，培养数学抽象的核心素养.　 2.掌握向量的夹角及其表示，提升直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　相等向量、共线向量 1 任务二　向量的夹角 2 任务三　向量基本关系的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　相等向量、共线向量 返回 问题1.在物理学中，两个物体运动速度相等是指它们的方向相同、大小相等；两个力相等不仅包括方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子你能探究数学中相等向量的条件吗？ 提示：相等向量的条件是它们的长度相等且方向相同. 问题导思 向量的基本关系 新知构建 相等 向量 指它们的长度______且方向______.向量a与b相等，记作______ 共线 向量 (平行 向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向______或______，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量____________，记作_______.规定零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反 向量 若两个向量的长度______、方向______，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.向量a的相反向量记作____，零向量的相反向量仍是________ 相等 相同 a＝b 相同 相反 共线或平行 a∥b 共线 相等 相反 －a 零向量 (1)一条有向线段在平移后，虽然位置不同，但表示的是相等向量.(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，只与大小和方向有关.(3)相等向量具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c. 微提醒 (链教材P80例2)如图，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. (1)写出与共线的向量； 解：因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点，所以与，，，，，，. 典例 1 (2)写出模与的模相等的向量； 解：模与，，，，. (3)写出与相等的向量. 解：与，. 相等向量与共线向量的探求方法 1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量. 规律方法 对点练1.(1)已知四边形ABCD中，＝，并且＝，则四边形ABCD是 A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形 √ 依题意，在四边形ABCD中，因为＝，可得＝且AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形.又因为＝，可得AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形.故选A. (2)在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则 A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 √ 依题意，可知不共线，故A错误；因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，故共线，故B正确；因为CD与AE不平行，所以不相等，故C错误；因为＝＝－，故D错误.故 选B. 返回 任务二　向量的夹角 返回 问题2.在等边三角形ABC中，边AB，BC的夹角是多少？而向量，的夹角与边AB，BC的夹角相等吗？ 提示：边AB，BC的夹角是60°；向量，的夹角与边AB，BC的夹角不相等，，的夹角是120°. 问题导思 向量的夹角 1.夹角：已知两个__________a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝__________(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b______；当θ＝180°时，a与b______. 2.垂直：当a与b的夹角是______时，则称a与b垂直，记作______.规定零向量与任一向量______，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 新知构建 非零向量 ∠AOB 同向 反向 90° a⊥b 垂直 两个向量的夹角必须满足这两个向量的起点相同. 微提醒 (链教材P81例3)如图，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)分别写出与，与夹角的大小； 解：因为∥方向相反， 所以的夹角为180°. 又AC⊥BE，所以的夹角为90°. 典例 2 (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小. 解：因为＝，＝， 所以的夹角为∠COD＝60°. 因为＝，所以的夹角为∠AFE＝120°. 求向量的夹角的注意点 1.方向性：根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角. 2.范围：向量夹角的范围为[0，π]. 规律方法 对点练2.(1)如图，在正方形ABCD中，与的夹角为 A.30° B.90° C.120° D.180° √ 因为ABCD是正方形，所以向量的夹角是90°.故选B. (2)在等腰△ABC中，A＝，则向量与的夹角为 A. B. C. D. √ 因为△ABC为等腰直角三角形，A＝，所以B＝，故向量.故选D. 返回 任务三　向量基本关系的综合应用 返回 (一题多问)如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中. (1)分别写出与，相等的向量； 解：依题意知，因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 由题可得＝＝，＝＝. 典例 3 (2)写出与共线的向量； 解：与，，，. (3)写出与的模相等的向量； 解：与，，，，，，，. (4)写出与的夹角为90°的向量； 解：与的夹角为90°的向量有，，，. (5)写出与的夹角. 解： 的夹角，等于45°. 　　理解并熟练掌握共线向量、相等向量、相反向量、向量 的模、向量的夹角的概念；明确相等向量、相反向量都是共线 向量. 规律方法 对点练3.(一题多空)如图，△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向 量，则： (1)与相等的向量有__________； ， 由图可知，与，. (2)与共线，且模相等的向量有____________________________； ，，，， 由图可知，与共线，且模相等的向量有，，，，. (3)与的夹角为_______；与的夹角为_______. 120° 90° 根据向量夹角的定义，的夹角为120°；根据对称性⊥，则的夹角为90°. 返回 课堂小结 任务再现 1.相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量.2.向量的夹角.3.向量基本关系的综合应用 方法提炼 定义法、数形结合思想方法 易错警示 相等向量和共线向量的关系易混淆，向量夹角的大小易求错 随堂评价 返回 1.下图中与向量a相等的向量是 A.b，c，e，f B.c，f C.f D.c √ 由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件.故选D. 2.下列命题正确的是 A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为0的向量与任意向量共线 √ 对于A，单位向量的模都为1，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量即是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确.故选D. 3.如图，四边形ABCD中，＝，则必有 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ √ 四边形ABCD中，＝，则AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形；则有＝－，故A错误；由四边形ABCD是平行四边形，可知O是DB中点，则＝，故B正确；由图可知≠，故C错误；由四边形ABCD是平行四边形，可知O是AC中点，＝－，故D错误.故选B. 4.(双空题)等边三角形ABC中，向量，的夹角的大小为_______；向量，的夹角的大小为_______. 因为，的起点相同，所以，的夹角即为角A，大小是.把向量平移，使平移后的向量与有相同起点，易知 . 返回 课时分层评价 返回 1.如图，在▱ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是 A.和 B.和 C.和 D.和 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量的方向相反，所以不是相等向量；对于B，向量的方向相同且长度相等，所以是相等向量；对于C，向量的方向不同，且长度不相等，所以不是相等向量；对于D，向量的方向不同，且长度不相等，所以不是相等向量；所以只有向量可以用同一条有向线段表示.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与是平行向量的为 A. B. C. D. √ 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，也叫共线向量.由图可知，方向相反，因此是平行向量.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列说法正确的是 A.若两个非零向量，共线，则A，B，C，D必在同一直线上 B.若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 C.若＝，则a＝b D.若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180° √ 对于A，若非零向量，是共线向量，则A，B，C，D未必在同一直线上，故A错误；对于B，若b＝0，则a与b共线，b与c共线，但是a与c未必共线，故B错误；对于C，由＝可以得到a，b的大小相等，但方向不一定相同，故C错误；对于D，方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)下列说法正确的是 A.若a＝b，则a与b共线 B.若a与b是平行向量，则a＝b C.与是两平行向量 D.共线向量方向必相同 √ √ 对于A，相等向量必是共线向量，故A正确；对于B，a与b是平行向量，如a为非零向量，而b＝0，显然a≠b，故B错误；对于C，因为＝－，所以是两平行向量，故C正确；对于D，共线向量的方向可以相反，故D错误.故选AC. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若四边形ABCD中＝，＝，且＝，则对该四边形形状的说法中错误的是 A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.正方形 √ 四边形ABCD中＝，则其为平行四边形，若同时满足＝，即邻边相等，就是菱形，最后＝，即对角线相等，就满足了矩形的条件.于是三项都满足的四边形为正方形，故A、B、D正确，C错误.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为120° √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 由于＝，因此与，而与 的模相等的向量(不含)有，，，， ，，，，，共9个，故A、B正确；在 Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以｜｜＝｜｜，故｜｜＝｜｜，故C正确；由于＝，所以的夹角为∠CDA＝60°，故D不正确.故选ABC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角大小为________. 120° 如图所示，∠DAB＝60°， 则的夹角为∠ABC＝120°. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. 0 不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与向量相等的向量为__________. ， 因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，如图所示.所以AB∥ED，AB＝ED，AB∥DC，AB＝DC，从而＝，＝，所以＝.故与向量，. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别是AC，DF的中点，写出： (1)与相等的向量； 解：依题意知： 与，. (2)与的相反向量相等的向量； 解：依题意知： 与，，. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)与共线的向量； 解：依题意知： 与，，，，. (4)与夹角为45°的向量. 解：依题意知： 与夹角为45°的向量为，，，. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且＝，＝，＝，则 A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 √ 由＝，＝，＝，知四边形ABCD的对角线相互平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)下列说法不正确的是 A.向量∥就是所在的直线平行于所在的直线 B.长度相等的向量叫作相等向量 C.零向量与任一向量平行 D.共线向量是在一条直线上的向量 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，向量∥所在的直线平行和重合两种情况，A错误； 对于B，相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，B错误； 对于C，零向量与任一向量平行，C正确； 对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，D错误.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(双空题)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量共线的向量为__________；与向量的夹角为120°的向量为______________.(填图中所画的向量) ， ，， 因为O是正三角形ABC的中心，所以OA＝OB＝OC，所以结合共线向量及向量夹角的定义可知：与，；与的夹角为120°的向量为，，. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(开放题)已知四边形ABCD中，＝. (1)判断四边形ABCD是否为梯形？请说明理由； 解：四边形ABCD不是梯形.因为＝，所以AB，CD平行且相等，所以四边形是平行四边形. (2)试着添加一个条件，使得四边形ABCD为菱形？矩形？ 解：可加条件⊥，或｜｜＝｜｜使得四边形ABCD为菱形.可加条件⊥使得四边形ABCD为矩形(答案不唯一). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境、双空题)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为__________________，的相反向量为__________________. ，， ，，， 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝FG＝GH＝HE， 且EF∥HG，又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE 的中点，所以BF＝FG＝GC＝HD＝AE，所以与 ，，，，，， . 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝4，D是AC的中点. (1)求与的夹角； 解：依题意，知∠B＝，AD＝CD＝BD＝BC，∠A＝， 所以∠DBA＝∠A＝，所以. (2)求与的夹角. 解：依题意知，∠B＝，AD＝CD＝BD＝BC，∠C＝， 所以∠BDC＝∠C＝，所以. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.2　向量的基本关系 返回 $