2.1.2 向量的基本关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学向量的基本关系，系统梳理相等向量（长度相等且方向相同）、共线向量（方向相同或相反，含零向量规定）、相反向量（长度相等方向相反）及向量夹角（起点相同的非零向量夹角，范围0°-180°）等核心知识点，构建从物理学实例引入到概念定义再到综合应用的学习支架。 该资料以问题驱动（如通过物理学速度、力的相等条件探究数学中相等向量条件）培养数学抽象核心素养，结合三角形、正六边形等图形实例提升直观想象。设计“任务-例题-对点练”结构，课中助力教师引导学生理解概念，课后通过综合应用及易错警示帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

1.2　向量的基本关系 学习目标 1.理解相等向量及共线向量的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.掌握向量的夹角及其表示，提升直观想象的核心素养. 任务一　相等向量、共线向量 问题1.在物理学中，两个物体运动速度相等是指它们的方向相同、大小相等；两个力相等不仅包括方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子你能探究数学中相等向量的条件吗？ 提示：相等向量的条件是它们的长度相等且方向相同. 向量的基本关系 相等 向量 指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等，记作a＝b 共线 向量 (平行 向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反 向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 [微提醒]　(1)一条有向线段在平移后，虽然位置不同，但表示的是相等向量.(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，只与大小和方向有关.(3)相等向量具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c. (链教材P80例2)如图，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点. (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点，所以与，，，，，，. (2)模与，，，，. (3)与，. 学生用书⬇第56页 相等向量与共线向量的探求方法 1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量. 对点练1.(1)已知四边形ABCD中，＝，并且＝，则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形 (2)在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与相等 D.与相等 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)依题意，在四边形ABCD中，因为＝，可得＝且AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形.又因为＝，可得AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形.故选A. (2)依题意，可知不共线，故A错误；因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，故共线，故B正确；因为CD与AE不平行，所以不相等，故C错误；因为＝＝－，故D错误.故选B. 任务二　向量的夹角 问题2.在等边三角形ABC中，边AB，BC的夹角是多少？而向量，的夹角与边AB，BC的夹角相等吗？ 提示：边AB，BC的夹角是60°；向量，的夹角与边AB，BC的夹角不相等，，的夹角是120°. 向量的夹角 1.夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向. 2.垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [微提醒]　两个向量的夹角必须满足这两个向量的起点相同. (链教材P81例3)如图，O是正六边形ABCDEF的中心. (1)分别写出与，与夹角的大小； (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小. 解：(1)因为∥方向相反， 所以的夹角为180°. 又AC⊥BE，所以的夹角为90°. (2)因为＝，＝， 所以的夹角为∠COD＝60°. 因为＝，所以的夹角为∠AFE＝120°. 求向量的夹角的注意点 1.方向性：根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角. 2.范围：向量夹角的范围为[0，π]. 对点练2.(1)如图，在正方形ABCD中，与的夹角为(　　) A.30° B.90° C.120° D.180° (2)在等腰△ABC中，A＝，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为ABCD是正方形，所以向量的夹角是90°.故选B. (2)因为△ABC为等腰直角三角形，A＝，所以B＝，故向量.故选D. 学生用书⬇第57页 任务三　向量基本关系的综合应用 (一题多问)如图，O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED和四边形OCFB都是正方形，在图中所示的向量中. (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)写出与的夹角为90°的向量； (5)写出与的夹角. 解：(1)依题意知，因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 由题可得＝＝，＝＝. (2)与，，，. (3)与，，，，，，，. (4)与的夹角为90°的向量有，，，. (5) 的夹角，等于45°. 　　理解并熟练掌握共线向量、相等向量、相反向量、向量的模、向量的夹角的概念；明确相等向量、相反向量都是共线向量. 对点练3.(一题多空)如图，△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则： (1)与相等的向量有　　　　； (2)与共线，且模相等的向量有　　　　　　　； (3)与的夹角为　　　　　　；与的夹角为　　　　. 答案：(1)，　(2)，，，，　(3)120°　90° 解析：(1)由图可知，与，.(2)由图可知，与共线，且模相等的向量有，，，，. (3)根据向量夹角的定义，的夹角为120°；根据对称性⊥，则的夹角为90°. 任务再现 1.相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量.2.向量的夹角.3.向量基本关系的综合应用 方法提炼 定义法、数形结合思想方法 易错警示 相等向量和共线向量的关系易混淆，向量夹角的大小易求错 1.下图中与向量a相等的向量是(　　) A.b，c，e，f B.c，f C.f D.c 答案：D 解析：由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件.故选D. 2.下列命题正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为0的向量与任意向量共线 答案：D 解析：对于A，单位向量的模都为1，但是方向无法确定，故不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量即是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故D正确.故选D. 3.如图，四边形ABCD中，＝，则必有(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：B 解析：四边形ABCD中，＝，则AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形；则有＝－，故A错误；由四边形ABCD是平行四边形，可知O是DB中点，则＝，故B正确；由图可知≠，故C错误；由四边形ABCD是平行四边形，可知O是AC中点，＝－，故D错误.故选B. 4.(双空题)等边三角形ABC中，向量，的夹角的大小为　　　　；向量，的夹角的大小为　　　　. 答案：　 解析：因为，的起点相同，所以，的夹角即为角A，大小是.把向量平移，使平移后的向量与有相同起点，易知. 所以∠BDC＝∠C＝，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $