专题23.2.1平行四边形判定及性质优等生讲义 (10类题型精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

本讲义聚焦平行四边形性质及判定核心知识点，以等腰梯形定义为基础，系统梳理平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，进而归纳两组对边分别平行或相等、对角线互相平分等判定方法，辅以常用公式及易错提醒，构建从基础到应用的学习支架。 资料以10类题型精讲为核心，含例题、变式及压轴题，通过动点、折叠等问题培养学生推理能力与分类讨论思维，融入道闸等实际应用案例发展应用意识。思维导图助力知识结构化，课中辅助教师高效授课，课后巩固练习帮助学生查漏补缺，提升数学眼光与问题解决能力。

专题23.2.1平行四边形性质及判定 优等生讲义 (10类题型精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 知识梳理·核心概念与定理 知识点一：(等腰)梯形的定义 梯形：只有一组对边平行的四边形。 等腰梯形：两腰相等的梯形，同一底上的两底角相等，对角线相等。 知识点二：平行四边形性质 · 对边平行且相等 · 对角相等，邻角互补 · 对角线互相平分 · 平行四边形是中心对称图形 知识点三：平行四边形判定 · 两组对边分别平行 · 两组对边分别相等 · 一组对边平行且相等 · 两组对角分别相等 · 对角线互相平分 知识点四：常用公式与结论 类别 公式 / 结论 平行线间距离 处处相等 平行四边形面积 底 × 高 三角形中线 平分三角形面积 直角三角形30°性质 30°所对直角边 = 斜边一半 折叠问题 对应边相等，对应角相等 ·易错提醒 ① 梯形定义强调“只有一组对边平行”，不可与平行四边形混淆。 ② 判定平行四边形时，注意边、角、对角线条件是否充分。 ③ 动点问题需分类讨论，考虑时间范围。 精讲题型 · 10类核心考点 【题型1】(等腰)梯形的定义 梯形面积 常利用平行线间距离构造高，结合三角形面积求解。 等腰梯形 常通过作平行四边形（平移一腰）转化边角。 【例题1】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】5 【知识点】利用平行线间距离解决问题、(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 【变式1】 （24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、(等腰)梯形的定义 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 【变式2】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 【变式3】 （23-24九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、(等腰)梯形的定义 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【题型2】利用平行四边形的性质求解 利用对边相等、对角互补、对角线互相平分列方程或求线段长。 常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形；对角线构造三角形，用勾股定理。 【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    【答案】，． 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式1】 （25-26八年级·上海·假期作业）在中，，的平分线分别与直线交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 由角平分线和平行线的性质可得，再根据点相邻两点距离相等，分点在点右侧和点在点左侧两种情况讨论，求解比值． 【详解】在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ①当点F在点E右侧时，如图， ∵点C、D、E、F相邻两点间的距离相等， ∴， 设， ∴， ②当点F在点E的左侧时，如图， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴设， 同理可得：， ∴． ∴的值为或； 故答案为：或． 【变式2】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 【例题2】 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】确定第三边的取值范围、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，注意掌握数形结合思想的应用． 利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 【变式1】 （2025·上海·模拟预测）如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质和平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出，进而得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵将沿翻折得， ∴，，， 设， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：3． 【题型3】数图形中平行四边形的个数 根据平行条件，有序找出所有满足两组对边平行的四边形，避免遗漏。 【例题1】 （16-17八年级下·全国·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【变式1】 （17-18八年级下·全国·单元测试）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【题型4】利用平行四边形的性质证明 常通过证明三角形全等（ASA、AAS）得到边等、角等，进而推出平行四边形性质。 【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在中，对角线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质证明，即可得到． 【详解】证明：如图， ∵四边形是一个平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由此可得． 【变式1】 （24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定与性质以及平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图， A选项：∵，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； C选项：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； D选项：由无法证明四边形是平行四边形，本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】 （24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 【变式3】 （24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5】平行四边形性质的其他应用 面积问题、动点问题、折叠问题、最值问题，常结合勾股、方程、分类讨论。 【例题1】 （21-22八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【变式1】 （24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质的其他应用、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 【例题2】 （24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 【变式1】 （24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 【变式2】 （21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在▱中，，且分别交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)已知，，，，判断的形状，并说明理由． (3)在的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）由平行线定理和平行四边形的性质可以得到 ，即可得到答案； （2）通过已知条件可得到AF、BF、AB的长，是用勾股定理逆定理即可得到答案； （3）等高，所以面积比等于底边的比，由可以得到面积，再通过平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：BE//DF， ， ， 即：， 四边形是平行四边形， ，AB//CD， ， 在和中， ∵ ， ； （2）解：为直角三角形，理由如下： 由知：， ， ， ， ，， ， ， 为直角三角形； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，涉及了全等三角形、勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质是本题的解题关键． 【题型6】求平行线间的距离 利用直角三角形面积相等或勾股定理求解，注意平行线间距离处处相等。 【例题1】 （2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 【答案】12 【知识点】求平行线间的距离、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 【变式1】 （25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、求平行线间的距离 【分析】本题考查平行线的判定与性质以及三角形面积的等积变换，关键是利用正方形的角度关系证明，从而将的面积转化为的面积，发现与的关系． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴点与点到直线的距离相等， ∴． ∵正方形的边长为， ∴， ∴，即． 当时，， ∴． 故答案为：． 【变式2】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、求平行线间的距离、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式3】 （24-25七年级下·上海·期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 【答案】3或7/7或3 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当直线c在直线a与b之间时，当直线c在直线a与b外侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 当直线c在直线a与b外侧时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 综上分析可知：直线与的线距是3或7． 故答案为：3或7． 【题型7】利用平行线间距离解决问题 通过等底等高转化面积，或利用平行线构造平行四边形，实现线段相等。 【例题1】 （24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 【答案】3 【知识点】利用平行线间距离解决问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴阴影部分面积为3． 故答案为：3． 【变式1】 （24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【答案】 12 3 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【变式2】 （24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是 ． 【答案】5 【知识点】利用平行线间距离解决问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式3】 （22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平行线间距离解决问题、用直尺、三角板画平行线、点到直线的距离 【分析】（1）根据画高的方法作图即可； （2）根据平行线的性质只需要令即可得到； （3）根据点到直线的距离的定义即可求出点到直线的距离；先求出，根据平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，点E即为所求；    （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为4； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了画三角形的高，画平行线，三角形面积，平行线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【题型8】四边形的不稳定性 平行四边形易变形，常用于伸缩门等实际应用。 【例题1】 （25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 【答案】不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查四边形的不稳定性，根据四边形具有不稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，四边形具有不稳定性； 故答案为：不稳定性 【变式1】 （24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了几何图形的性质在实际生活中的应用，理解不同的几何图形的特性是解决本题的关键． 由不同的几何图形的性质：三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性，根据“伸缩自如，灵活性强”分析即可． 【详解】解：因为登月探测器的机械臂伸缩自如，灵活性强， 所以其设计需利用四边形的不稳定性来实现伸缩功能． 故选：B ． 【变式2】 （22-23六年级上·上海·开学考试）如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的（　　） A．容易变形 B．两组对边分别平行 C．对边相等 【答案】A 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】根据平行四边形的不稳定性，容易变形解答即可． 【详解】解：如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的容易变形； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的不稳定性．熟练掌握平行四边形具有不稳定性，容易变形是解题的关键． 【题型9】证明四边形是平行四边形 常用判定方法：一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等。 【例题1】 （2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，则，再点是的中点，得出，又，即可得出结论； （2）由（1）得，则，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】 （23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式2】 （2022八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，且，作交AC于点N．求证：四边形MCDN是平行四边形． 【答案】证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】直接利用全等三角形的判定与性质进而得出MC＝ND，再利用平行四边形的判定方法得出答案． 【详解】证明：取BC的中点E，连接ME． ∵点M是AB的中点，点E是BC的中点， ∴， ∴∠1＝∠2， 又 EC＝BC，CD＝BC， ∴EC＝CD， 又∵， ∴∠3＝∠D． 在△MEC和△NCD中 ， ∴△MEC≌△NCD（SAS）， ∴MC＝ND． 又∵． ∴四边形MCDN是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，正确得出△MEC≌△NCD是解题关键． 【变式3】 （24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 【变式4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【题型10】压轴题 · 综合与创新 涉及旋转、新定义（等对边四边形）、动点与平行四边形存在性、等边三角形与平行四边形综合等。需要灵活运用全等、勾股、分类讨论。 【例题1】 （24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）证明即可； （2）利用（1）的结论进行作图即可； （3）由（1）的方法可证，则，同理可证，则，则四边形为平行四边形，即可得到到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求作的线段； （3）由（1）的方法可证， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【例题2】 （23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【知识点】多边形内角和问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 【例题3】 （22-23八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 【例题4】 （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【例题5】 （25-26八年级上·山东威海·期末）综合与实践 【动手操作】如图Ⅰ，把一个长方形纸片沿对角线剪成两个完全相同的三角形纸片，分别记为，，． （说明：以下操作两个三角形纸片时，保持点重合，且统一记为点） 【问题解决】 (1)如图Ⅱ，将的边落在上（即），连接． ①直接写出的度数：_______； ②延长交的延长线于点，写出，，间的数量关系及理由； (2)将图Ⅱ中的绕点顺时针旋转得到图Ⅲ，点是的中点，连接，，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①由题意得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案；②可证明，得到，根据，可得； （2）连接，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，，可证明D、E、A三点共线，则可推出；求出，证明是等边三角形，得到，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：①由题意得， ∴； ②，理由如下： 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，连接， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、E、A三点共线， ∵，即， ∴； 在中，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【例题6】 （25-26八年级上·山东·期末）如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定，理解题意并证明三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，由旋转的性质可得，用证，则； （2）由全等可得，进而根据角的转换可得，进而可得，进而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， 根据旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【例题7】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等腰梯形的性质定理、证明四边形是平行四边形、直角梯形的定义 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 随堂检测·同步专题精练 【练习1】 （24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【练习2】 （25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是 ． 【答案】5 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，根据等角对等边证明边相等，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据平行四边形的性质，得出，，再利用平行线的性质证明，结合角平分线的意义得出，从而可得出，再利用线段差求得即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【练习3】 （17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【知识点】平行四边形性质的其他应用、利用平行四边形的性质求解 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【练习4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为 ． 【答案】18 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 如图，连接，，通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明四边形是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到，即可求出四边形的周长 【详解】解：如图，连接，． 和相交于点且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ，． 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：． 课后巩固 · 核心练习 · 作业1 梯形定义辨析（只有一组对边平行） · 作业2 平行四边形求角度（利用平行线性质） · 作业3 数平行四边形个数（中点构造） · 作业4 平行线间距离性质（垂线段相等） · 作业5 利用完全平方公式判定平行四边形（两组对边相等） · 作业6 实际应用：道闸中的平行四边形（对边平行且相等） · 作业7 对角线条件：补充OB=OD · 作业8 角平分线+平行线→等腰三角形求DF · 作业9 多结论判断（中点、直角三角形斜边中线） · 作业10 折叠问题+勾股求EF · 作业11 对角线互相平分证全等，求BD · 作业12 平行四边形对角线性质+勾股求BE · 作业13 对角线互相平分证平行四边形 · 作业14 证明对角相等（连接AC） · 作业15 全等三角形证平行四边形 · 作业16 平行四边形面积转化求三角形面积 · 作业17 等边三角形+平行四边形判定 · 作业18 动点+含30°直角三角形+平行四边形 · 作业19 对角线比例关系+等边三角形求周长 ※复习建议 熟练掌握平行四边形的五种判定，灵活运用全等三角形与勾股定理，动点问题注意分类讨论。 【作业1】 （25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【作业2】 （25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【作业3】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 【作业4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【作业5】 （25-26八年级下·全国·周测）已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 【作业6】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【答案】平行且相等/ 【知识点】判断能否构成平行四边形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 【作业7】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【知识点】添一个条件成为平行四边形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 【作业8】 （24-25八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【答案】/3厘米 【知识点】角平分线的有关计算、等边对等角、利用平行四边形的性质证明 【分析】利用平行四边形的对边相等且平行以及平行线的基本性质求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业9】 （20-21八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 先根据平行四边形的性质证明，再由证明，则，即可等量代换证明①；延长，交于点，证明，根据直角三角形斜边中线得到，即可证明②；根据互余关系证明③；由，得到，由为中点，得到，即可证明④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ，故正确； 延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ，故正确； ，， ， ， 即， ， ， ，故正确； ∵， ∴， ∵为中点， ∴，故④正确 故答案为： 【作业10】 （24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【作业11】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 【作业12】 （25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 【作业13】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 根据平行四边形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等得到，同理可证得，得到，最后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】证明：四边形是平行四边形，是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ． 同理可证得， ， 四边形是平行四边形． 【作业14】 （2023·北京房山·二模）下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接对角线，利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再通过角的和差与全等三角形证明对角相等． 【详解】选择方法一， 证明： 如图，连接，     四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ． 【作业15】 （25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直线平行的判定与性质，平行四边形的判定，掌握相关定理与性质是解题的关键． （1）由，得到，接着证明即可得到； （2）根据题意可得，即，再证明，得到，进而根据对边平行且相等的四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 所以四边形为平行四边形． 【作业16】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 【作业17】 （25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【作业18】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 ．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 【作业19】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由结论见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论； （2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论； （3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定，掌握平行四边形的对角线性质、对角线互相平分的四边形是平行四边形及角平分线与平行线结合得等腰三角形的技巧是解题的关键． 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2.1平行四边形性质及判定 优等生讲义 (10类题型精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 知识梳理·核心概念与定理 知识点一：(等腰)梯形的定义 梯形：只有一组对边平行的四边形。 等腰梯形：两腰相等的梯形，同一底上的两底角相等，对角线相等。 知识点二：平行四边形性质 · 对边平行且相等 · 对角相等，邻角互补 · 对角线互相平分 · 平行四边形是中心对称图形 知识点三：平行四边形判定 · 两组对边分别平行 · 两组对边分别相等 · 一组对边平行且相等 · 两组对角分别相等 · 对角线互相平分 知识点四：常用公式与结论 类别 公式 / 结论 平行线间距离 处处相等 平行四边形面积 底 × 高 三角形中线 平分三角形面积 直角三角形30°性质 30°所对直角边 = 斜边一半 折叠问题 对应边相等，对应角相等 ·易错提醒 ① 梯形定义强调“只有一组对边平行”，不可与平行四边形混淆。 ② 判定平行四边形时，注意边、角、对角线条件是否充分。 ③ 动点问题需分类讨论，考虑时间范围。 精讲题型 · 10类核心考点 【题型1】(等腰)梯形的定义 梯形面积 常利用平行线间距离构造高，结合三角形面积求解。 等腰梯形 常通过作平行四边形（平移一腰）转化边角。 【例题1】 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积 ． 【变式1】 （24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【变式2】 （24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 【变式3】 （23-24九年级上·上海黄浦·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【题型2】利用平行四边形的性质求解 利用对边相等、对角互补、对角线互相平分列方程或求线段长。 常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形；对角线构造三角形，用勾股定理。 【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    【变式1】 （25-26八年级·上海·假期作业）在中，，的平分线分别与直线交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 ． 【变式2】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【例题2】 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【变式1】 （2025·上海·模拟预测）如图，在中，点是边上的一点，若，，将沿翻折得，连结，点在的延长线上，恰好平分，则的长为 ． 【题型3】数图形中平行四边形的个数 根据平行条件，有序找出所有满足两组对边平行的四边形，避免遗漏。 【例题1】 （16-17八年级下·全国·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【变式1】 （17-18八年级下·全国·单元测试）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【题型4】利用平行四边形的性质证明 常通过证明三角形全等（ASA、AAS）得到边等、角等，进而推出平行四边形性质。 【例题1】 （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在中，对角线相交于点．求证：． 【变式1】 （24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【变式3】 （24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【题型5】平行四边形性质的其他应用 面积问题、动点问题、折叠问题、最值问题，常结合勾股、方程、分类讨论。 【例题1】 （21-22八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【变式1】 （24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【例题2】 （24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【变式1】 （24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【变式2】 （21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在▱中，，且分别交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)已知，，，，判断的形状，并说明理由． (3)在的条件下，求四边形的面积． 【题型6】求平行线间的距离 利用直角三角形面积相等或勾股定理求解，注意平行线间距离处处相等。 【例题1】 （2026八年级下·山东·专题练习）如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是 ． 【变式1】 （25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为 ． 【变式2】 （25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为 ． 【变式3】 （24-25七年级下·上海·期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 【题型7】利用平行线间距离解决问题 通过等底等高转化面积，或利用平行线构造平行四边形，实现线段相等。 【例题1】 （24-25九年级上·四川成都·月考）如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 【变式1】 （24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【变式2】 （24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是边上的中线，的面积为30，那么的面积是 ． 【变式3】 （22-23七年级下·上海宝山·期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：    (1)画边上的高； (2)在上，连接，使得，请画出点； (3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______． 【题型8】四边形的不稳定性 平行四边形易变形，常用于伸缩门等实际应用。 【例题1】 （25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，用四根木条钉成的四边形框架，在拉动时，它的形状会改变，所以四边形具有 ． 【变式1】 （24-25七年级下·河南驻马店·月考）2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务、如图是登月探测器，它的机械臂伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短 【变式2】 （22-23六年级上·上海·开学考试）如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的（　　） A．容易变形 B．两组对边分别平行 C．对边相等 【题型9】证明四边形是平行四边形 常用判定方法：一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等。 【例题1】 （2024八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式1】 （23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【变式2】 （2022八年级下·上海·专题练习）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，且，作交AC于点N．求证：四边形MCDN是平行四边形． 【变式3】 （24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【题型10】压轴题 · 综合与创新 涉及旋转、新定义（等对边四边形）、动点与平行四边形存在性、等边三角形与平行四边形综合等。需要灵活运用全等、勾股、分类讨论。 【例题1】 （24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接． (1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：． (2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足： ①点M、N分别在、上； ②．（不写画法，保留画图痕迹） (3)证明（2）中 【例题2】 （23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【例题3】 （22-23八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【例题4】 （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【例题5】 （25-26八年级上·山东威海·期末）综合与实践 【动手操作】如图Ⅰ，把一个长方形纸片沿对角线剪成两个完全相同的三角形纸片，分别记为，，． （说明：以下操作两个三角形纸片时，保持点重合，且统一记为点） 【问题解决】 (1)如图Ⅱ，将的边落在上（即），连接． ①直接写出的度数：_______； ②延长交的延长线于点，写出，，间的数量关系及理由； (2)将图Ⅱ中的绕点顺时针旋转得到图Ⅲ，点是的中点，连接，，．求证：四边形是平行四边形．    【例题6】 （25-26八年级上·山东·期末）如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【例题7】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 随堂检测·同步专题精练 【练习1】 （24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【练习2】 （25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是 ． 【练习3】 （17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【练习4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为 ． 课后巩固 · 核心练习 · 作业1 梯形定义辨析（只有一组对边平行） · 作业2 平行四边形求角度（利用平行线性质） · 作业3 数平行四边形个数（中点构造） · 作业4 平行线间距离性质（垂线段相等） · 作业5 利用完全平方公式判定平行四边形（两组对边相等） · 作业6 实际应用：道闸中的平行四边形（对边平行且相等） · 作业7 对角线条件：补充OB=OD · 作业8 角平分线+平行线→等腰三角形求DF · 作业9 多结论判断（中点、直角三角形斜边中线） · 作业10 折叠问题+勾股求EF · 作业11 对角线互相平分证全等，求BD · 作业12 平行四边形对角线性质+勾股求BE · 作业13 对角线互相平分证平行四边形 · 作业14 证明对角相等（连接AC） · 作业15 全等三角形证平行四边形 · 作业16 平行四边形面积转化求三角形面积 · 作业17 等边三角形+平行四边形判定 · 作业18 动点+含30°直角三角形+平行四边形 · 作业19 对角线比例关系+等边三角形求周长 ※复习建议 熟练掌握平行四边形的五种判定，灵活运用全等三角形与勾股定理，动点问题注意分类讨论。 【作业1】 （25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【作业2】 （25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【作业3】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【作业4】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】 （25-26八年级下·全国·周测）已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【作业6】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【作业7】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 【作业8】 （24-25八年级下·甘肃酒泉·月考）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，则 ． 【作业9】 （20-21八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，，关于下列四个结论：；；； 则所有正确结论的序号是 ． 【作业10】 （24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 【作业11】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【作业12】 （25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【作业13】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．求证：四边形EGFH是平行四边形． 【作业14】 （2023·北京房山·二模）下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一： 证明：如图，连接．     方法二： 证明：如图，延长至点E．    方法三：证明：如图，连接、，与交于点O．      你选择方法______． 证明： 【作业15】 （25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【作业16】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【作业17】 （25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【作业18】 （2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 ．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【作业19】 （25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 第 1 页 共 77 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