专题04 因式分解讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题04 因式分解讲义 因式分解是中考数学的核心基础专题，是整式运算的逆向运用，也是后续分式化简、解方程（组）、二次函数等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的化简步骤中，占分比重约4%-6%。 核心考点 ①因式分解的概念（判断一个变形是否为因式分解）； ②提公因式法因式分解（直接提公因式、整体提公因式）； ③公式法因式分解（平方差公式、完全平方公式）； ④十字相乘法因式分解（二次项系数为1和不为1的情况，中考高频）； ⑤因式分解的综合运用（先提公因式再用公式、分解彻底）； ⑥因式分解的应用（求代数式的值、解决整除问题等）。 考情分析 ①基础题型：侧重提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的直接应用，难度较低； ②中档题型：侧重提公因式与公式法的综合运用、十字相乘法分解，难度中等； ③创新题型：侧重因式分解在代数式求值、不等式中的应用，结合新定义或规律探究，难度稍高。 （一）基本概念 1.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）； 注意：因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”，二者互为逆运算；因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止（分解彻底）。 2.提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式（公因式可以是单项式，也可以是多项式）； 提公因式法步骤： ①确定公因式（系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次幂）； ②用多项式除以公因式，得到另一个因式； ③写出因式分解结果：多项式 = 公因式 × 另一个因式。 3.公式法 平方差公式：（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积）； 完全平方公式：（两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，等于这两个数的和或差的平方）。 4.十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式：（常数项分解为两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数）； 二次项系数不为1的二次三项式：（其中，，且）。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.公因式的隐含提取：当多项式的首项系数为负数时，先提取“-”号，再提取公因式，提取后括号内各项要变号（如）； 2.整体思想应用：把多项式中的某一部分看作一个整体，可视为一个“字母”提取公因式或用公式（如）； 3.完全平方公式的特征：二次三项式满足“首平方、尾平方，首尾积的2倍在中央”，且首尾符号相同（同正或同负）； 4.平方差公式的拓展：（分解需彻底）； 5.因式分解的易错点： ①提公因式时漏项（如，漏提常数项“-a”，正确结果为）； ②公式法应用错误（如混淆平方差与完全平方公式，或符号错误）； ③分解不彻底（如，未继续分解，正确结果为）。 考点1：提公因式法因式分解 例题1（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： 【解析】先确定公因式，系数和的最大公约数是，字母部分和的公因式是，故公因式为； 再用多项式除以公因式，得到另一个因式； 因此因式分解结果为。 变式题1（2025·湖南·中考真题）因式分解： 【解析】公因式为（系数最大公约数为1，字母部分取和的最低次幂）； 提取公因式得：。 变式题2（2025·江西·中考真题）因式分解： 【解析】公因式为（系数和的最大公约数是，字母部分取和的最低次幂）； 提取公因式得：。 变式题3分解因式： 【解析】先提取“-”号，再提公因式，最后用完全平方公式分解： 考点2：公式法因式分解（平方差公式） 例题2（2025·广西·中考真题）因式分解： 【解析】原式可化为，符合平方差公式，其中，； 因此因式分解结果为。 变式题1（2025·山西·中考真题）因式分解： 【解析】原式化为，应用平方差公式：。 变式题2（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： 【解析】原式化为，应用平方差公式：。 变式题3因式分解： 【解析】先应用平方差公式分解， 再对继续用平方差公式分解，得到最终结果：。 考点3：公式法因式分解（完全平方公式） 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： 【解析】原式满足完全平方公式特征：是的平方，是的平方，中间项，符合，其中，； 因此因式分解结果为。 变式题1分解因式： 【解析】原式化为，符合完全平方公式，结果为。 变式题2分解因式： 【解析】先提取“-”号，再用完全平方公式： 变式题3（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）。 【答案】（答案不唯一，如、、） 【解析】分情况讨论： 若把看作，已有，，，则可加（消去中间项）； 若把看作，看作，则中间项可加或，构成完全平方； 若添加，则原式变为（不是平方，舍去）；若添加，则原式变为（不是平方，舍去）； 综上，符合条件的单项式为（或）。 考点4：提公因式法与公式法综合因式分解 例题4（2025·北京·中考真题）分解因式： 【解析】先提取公因式，得到； 再对用平方差公式分解，最终结果为。 变式题1分解因式： 【解析】先提公因式，得；再用平方差公式分解，结果为。 变式题2分解因式： 【解析】先提公因式，得； 再用完全平方公式分解括号内的二次三项式，结果为。 变式题3（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）分解因式： 【解析】先提公因式，得； 再用完全平方公式分解，结果为。 考点5：十字相乘法因式分解（中考高频） 例题5分解因式： 【解析】二次项系数为1，常数项分解为，且（等于一次项系数）； 根据十字相乘法公式，结果为。 变式题1分解因式： 【解析】常数项分解为，且（等于一次项系数）；结果为。 变式题2分解因式： 【解析】二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘再相加：（等于一次项系数）；结果为。 变式题3分解因式： 【解析】二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘再相加：（等于一次项系数）；结果为。 考点6：因式分解的应用（求代数式的值） 例题6已知，，求代数式的值。 【解析】先对代数式因式分解，再代入已知条件求值： 代入，，得：。 变式题1已知，，求代数式的值。 【解析】因式分解代数式： 代入，，得：。 变式题2已知，求代数式的值。 【解析】由得，对代数式因式分解并整体代入： 一．选择题（共3小题） 1．分解因式：　　 A． B． C． D． 2．下列何者为多项式的因式分解？　　 A． B． C． D． 3．如果，，那么的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 二．填空题（共30小题） 4．因式分解：　　　　　　　　． 5．因式分解：　　　　　　　　． 6．因式分解：　　　　　　　　． 7．分解因式：　　　　　　　　． 8．分解因式：　　　　　　　　． 9．分解因式：　　　　　　　　． 10．分解因式：　　　　　　　　． 11．因式分解：　　　　　　　　． 12．分解因式：　　　　　　　　． 13．分解因式：　　　　　　　　． 14．分解因式：　　　　　　　　． 15．分解因式：　　　　　　　　． 16．因式分解：　　　　　　　　． 17．因式分解：　　　　　　　　． 18．因式分解：　　　　　　　　． 19．因式分解：　　　　　　　　． 20．分解因式：　　　　　　　　． 21．分解因式：　　　　　　　　． 22．分解因式：　　　　　　　　． 23．因式分解：　　　　　　　　． 24．因式分解：　　　　　　　　． 25．分解因式：　　　　　　　　． 26．分解因式：　　　　　　　　． 27．因式分解：　　　　　　　　． 28．分解因式　　　　　　　　． 29．分解因式：　　　　　　　　． 30．分解因式：　　　　　　　　． 31．分解因式：　　　　　　　　． 32．分解因式：　　　　　　　　． 33．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　　．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以19余数为1，且为整数），则满足条件的正整数为 　　． 三．解答题（共3小题） 34．分解因式：． 35．已知实数，，，，满足，． （1）求证：为非负数； （2）若，，均为奇数，，是否可以都为整数？说明你的理由． 36．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数） 奇数 4的倍数 表示结果 一般结论 　　 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ） 　　 　　； （ⅱ）　　； （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如为正整数）的正整数不能表示为，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则　　　　　　　　为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解讲义 因式分解是中考数学的核心基础专题，是整式运算的逆向运用，也是后续分式化简、解方程（组）、二次函数等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的化简步骤中，占分比重约4%-6%。 核心考点 ①因式分解的概念（判断一个变形是否为因式分解）； ②提公因式法因式分解（直接提公因式、整体提公因式）； ③公式法因式分解（平方差公式、完全平方公式）； ④十字相乘法因式分解（二次项系数为1和不为1的情况，中考高频）； ⑤因式分解的综合运用（先提公因式再用公式、分解彻底）； ⑥因式分解的应用（求代数式的值、解决整除问题等）。 考情分析 ①基础题型：侧重提公因式法、公式法（平方差、完全平方）的直接应用，难度较低； ②中档题型：侧重提公因式与公式法的综合运用、十字相乘法分解，难度中等； ③创新题型：侧重因式分解在代数式求值、不等式中的应用，结合新定义或规律探究，难度稍高。 （一）基本概念 1.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）； 注意：因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”，二者互为逆运算；因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止（分解彻底）。 2.提公因式法 公因式：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式（公因式可以是单项式，也可以是多项式）； 提公因式法步骤： ①确定公因式（系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，指数取最低次幂）； ②用多项式除以公因式，得到另一个因式； ③写出因式分解结果：多项式 = 公因式 × 另一个因式。 3.公式法 平方差公式：（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积）； 完全平方公式：（两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，等于这两个数的和或差的平方）。 4.十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式：（常数项分解为两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数）； 二次项系数不为1的二次三项式：（其中，，且）。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.公因式的隐含提取：当多项式的首项系数为负数时，先提取“-”号，再提取公因式，提取后括号内各项要变号（如）； 2.整体思想应用：把多项式中的某一部分看作一个整体，可视为一个“字母”提取公因式或用公式（如）； 3.完全平方公式的特征：二次三项式满足“首平方、尾平方，首尾积的2倍在中央”，且首尾符号相同（同正或同负）； 4.平方差公式的拓展：（分解需彻底）； 5.因式分解的易错点： ①提公因式时漏项（如，漏提常数项“-a”，正确结果为）； ②公式法应用错误（如混淆平方差与完全平方公式，或符号错误）； ③分解不彻底（如，未继续分解，正确结果为）。 考点1：提公因式法因式分解 例题1（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： 【解析】先确定公因式，系数和的最大公约数是，字母部分和的公因式是，故公因式为； 再用多项式除以公因式，得到另一个因式； 因此因式分解结果为。 变式题1（2025·湖南·中考真题）因式分解： 【解析】公因式为（系数最大公约数为1，字母部分取和的最低次幂）； 提取公因式得：。 变式题2（2025·江西·中考真题）因式分解： 【解析】公因式为（系数和的最大公约数是，字母部分取和的最低次幂）； 提取公因式得：。 变式题3分解因式： 【解析】先提取“-”号，再提公因式，最后用完全平方公式分解： 考点2：公式法因式分解（平方差公式） 例题2（2025·广西·中考真题）因式分解： 【解析】原式可化为，符合平方差公式，其中，； 因此因式分解结果为。 变式题1（2025·山西·中考真题）因式分解： 【解析】原式化为，应用平方差公式：。 变式题2（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： 【解析】原式化为，应用平方差公式：。 变式题3因式分解： 【解析】先应用平方差公式分解， 再对继续用平方差公式分解，得到最终结果：。 考点3：公式法因式分解（完全平方公式） 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： 【解析】原式满足完全平方公式特征：是的平方，是的平方，中间项，符合，其中，； 因此因式分解结果为。 变式题1分解因式： 【解析】原式化为，符合完全平方公式，结果为。 变式题2分解因式： 【解析】先提取“-”号，再用完全平方公式： 变式题3（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）。 【答案】（答案不唯一，如、、） 【解析】分情况讨论： 若把看作，已有，，，则可加（消去中间项）； 若把看作，看作，则中间项可加或，构成完全平方； 若添加，则原式变为（不是平方，舍去）；若添加，则原式变为（不是平方，舍去）； 综上，符合条件的单项式为（或）。 考点4：提公因式法与公式法综合因式分解 例题4（2025·北京·中考真题）分解因式： 【解析】先提取公因式，得到； 再对用平方差公式分解，最终结果为。 变式题1分解因式： 【解析】先提公因式，得；再用平方差公式分解，结果为。 变式题2分解因式： 【解析】先提公因式，得； 再用完全平方公式分解括号内的二次三项式，结果为。 变式题3（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）分解因式： 【解析】先提公因式，得； 再用完全平方公式分解，结果为。 考点5：十字相乘法因式分解（中考高频） 例题5分解因式： 【解析】二次项系数为1，常数项分解为，且（等于一次项系数）； 根据十字相乘法公式，结果为。 变式题1分解因式： 【解析】常数项分解为，且（等于一次项系数）；结果为。 变式题2分解因式： 【解析】二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘再相加：（等于一次项系数）；结果为。 变式题3分解因式： 【解析】二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘再相加：（等于一次项系数）；结果为。 考点6：因式分解的应用（求代数式的值） 例题6已知，，求代数式的值。 【解析】先对代数式因式分解，再代入已知条件求值： 代入，，得：。 变式题1已知，，求代数式的值。 【解析】因式分解代数式： 代入，，得：。 变式题2已知，求代数式的值。 【解析】由得，对代数式因式分解并整体代入： 一．选择题（共3小题） 1．分解因式：　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】原式， 故选． 2．下列何者为多项式的因式分解？　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】 ． 故选． 3．如果，，那么的值为　　 A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】 【解析】，， 原式 ， 故选． 二．填空题（共30小题） 4．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】． 5．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】原式 ， 故答案为：． 6．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】原式， 故答案为：． 7．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】． 故答案为：． 8．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】 ． 故答案为：． 9．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】． 故答案为：． 10．分解因式：　　． 【答案】 【解析】， ， ， 故答案为：． 11．因式分解：　　． 【答案】 【解析】， ， ． 12．分解因式：　　． 【答案】 【解析】， ， ． 故答案为：． 13．分解因式：　　． 【答案】 【解析】原式 ． 故答案为：． 14．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】． 15．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】． 16．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】． 故答案为：． 17．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】． 18．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】． 故答案为：． 19．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】， 故答案为：． 20．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】公有因式为， 原式， 故答案为：． 21．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】． 22．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】原式， 故答案为： 23．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】 ， 故答案为：． 24．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】． 故答案为：． 25．分解因式：　　． 【答案】 【解析】． 故答案为：． 26．分解因式：　　． 【答案】 【解析】， ， ． 27．因式分解：　　． 【答案】． 【解析】原式， 故答案为： 28．分解因式　　． 【答案】． 【解析】． 29．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】 ． 故答案为：． 30．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】原式， 故答案为： 31．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】 ， 故答案为：． 32．分解因式：　　． 【答案】． 【解析】， 故答案为：． 33．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　　．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以19余数为1，且为整数），则满足条件的正整数为 　　． 【答案】82，4564． 【解析】①设，则， 由题意得：， ， 要使“方减数”最小，需， ，， ， 当时， 最小为82； ②设，则， ， 除以19余数为1， 能被19整除， 为整数， 又 为整数）， 是完全平方数， ，， 最小为49，最大为256，即， 设，为正整数，则， （Ⅰ） 当时，，则，是完全平方数， 又，，此时无整数解， （Ⅱ）当时，，则，是完全平方数， 又，，此时无整数解， （Ⅲ）当时，，则， 是完全平方数， 若，，则，， ，， 此时，， ， 故答案为：82，4564． 三．解答题（共3小题） 34．分解因式：． 【解析】（1）原式 ． 35．已知实数，，，，满足，． （1）求证：为非负数； （2）若，，均为奇数，，是否可以都为整数？说明你的理由． 【解析】（1）证明：， ，， 则 ， ，，是实数， ， 为非负数． （2），不可能都为整数． 理由如下：若，都为整数，其可能情况有：①，都为奇数；②，为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当，都为奇数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； ②当，为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数， 又， ， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾； 综上所述，，不可能都为整数． 36．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为，均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下为正整数） 奇数 4的倍数 表示结果 一般结论 　　 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ） 　　 　　； （ⅱ）　　； （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如为正整数）的正整数不能表示为，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则　　为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 【解析】（1）， ， ， ， ， ． ． 故答案为：7，5； 由（1）推导的规律可知． 故答案为：． （3）． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $