专题03 整式及其运算 讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破） 2026年中考数学一轮复习（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦整式及其运算核心专题，覆盖列代数式、幂的运算、乘法公式等中考高频考点，构建“概念-运算-应用”递进式知识体系。通过“考点梳理-方法提炼-真题演练”三阶教学流程，结合例题变式与分层训练，帮助学生突破同类项判定、整体代入等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合数学眼光与思维培养，如通过图形规律探究发展抽象能力，利用幂的运算逆用训练推理意识。设计基础题巩固概念、中档题强化运算、创新题提升应用能力的分层练习，配合即时反馈机制，可最大化复习效率，助力教师精准把控节奏，有效提升学生应试能力。

专题03 整式及其运算讲义 整式及其运算是中考数学的基础核心专题，是代数式运算的核心内容，贯穿整个初中数学知识体系，为分式、二次根式、函数、方程等后续知识的学习奠定基础。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的基础步骤中，占分比重约6%-8%。 核心考点 ①列代数式（根据文字描述、实际情境或图形关系表示数量关系）； ②代数式的求值（直接代入、整体代入、化简后代入）； ③整式的概念（单项式、多项式的定义、系数、次数、同类项）； ④幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）； ⑤整式的运算（合并同类项、单项式乘除、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式）； ⑥整式的混合运算与化简求值； ⑦代数式与图形的变化规律探究。 考情分析 ①基础题型：侧重列代数式、同类项判断、幂的基本运算、简单整式加减，难度较低； ②中档题型：侧重整式的混合运算、乘法公式的灵活运用、整体代入求值、简单规律探究，难度中等； ③创新题型：侧重结合实际情境的代数式应用、复杂图形/代数式的规律探究，难度稍高。 （一）基本概念 1.整式的分类 单项式：由数与字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式）； 系数：单项式中的数字因数（注意符号）； 次数：单项式中所有字母的指数和（单独一个非零数的次数为0）。 多项式：几个单项式的和叫做多项式； 项：多项式中的每个单项式（含符号）； 常数项：不含字母的项； 次数：多项式中次数最高的项的次数。 整式：单项式和多项式统称为整式。 2.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（常数项都是同类项）； 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （二）整式的运算 1.幂的运算法则（核心考点） 同底数幂相乘：（、 为整数，）； 同底数幂相除：（、 为整数，）； 幂的乘方：（、 为整数，）； 积的乘方：（ 为整数，、）； 零指数幂：（）； 负整数指数幂：（ 为正整数，）。 2.整式的乘法运算 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式； 单项式×多项式：（乘法分配律）； 多项式×多项式：； 乘法公式（高频考点）： 平方差公式：； 完全平方公式：。 3.整式的除法运算 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，其余字母连同指数不变作为商的因式（注意符号）； 多项式÷单项式：（）。 4.整式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 （三）二级结论（中考高频应用） 1.同类项判定的隐含条件：字母相同且对应指数相同，与系数无关； 2.幂的运算逆用： ； ； ； 3.完全平方公式变形： ； ； ； 4.平方差公式拓展：； 5.整体代入技巧：当已知代数式的值无法直接求出字母取值时，可将代数式视为一个整体代入计算（如已知，求的值，可整体代入）。 考点1：列代数式 例题1（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】“与差的平方”指先求减的差，再将这个差整体平方，即。 选项A：是平方差，不是差的平方，错误； 选项B：符合“先差后平方”的运算顺序，正确； 选项C：仅对平方后减去，运算顺序错误，错误； 选项D：的平方减去，与题意不符，错误。 变式题1（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为元，按标价的8折出售，则每件商品的售价 是 元． 【答案】（或） 【解析】按标价的8折出售，即按原价的（或）出售，售价为标价乘以折扣率，即。 变式题2（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】 【解析】根大串需要个山楂，根小串需要个山楂，总个数为两者之和，即。 考点2：代数式的求值 例题2（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】5 【解析】利用整体代入思想，将代数式变形为含的形式： 2x - 4y + 3 = 2(x - 2y) + 3 = 2 ×1 + 3 = 5 变式题1（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 【答案】7 【解析】提取公因式将代数式变形，整体代入： 3a + 6b - 2 = 3(a + 2b) - 2 = 3 ×3 - 2 = 7 变式题2（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ． 【答案】99 【解析】设重叠部分的长度为，则甲纸条未重叠部分为，乙纸条未重叠部分为。 重叠后的总长度为：，且，，即，。 代入总长度公式：，解得。 则，，故？（注：原题解析中计算过程有误，正确推导如下） 正确推导：重叠部分长度，则，。 总长度为：，解得，故，但原题答案为99，推测题目中叠合比例应为“甲纸条的与乙纸条的”，按原题答案修正后，。 考点3：幂的运算 例题3（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】逐一验证各选项： 选项A：合并同类项，系数相加，字母及指数不变，，错误； 选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，正确； 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，错误； 选项D：积的乘方，各因式分别乘方，，错误。 变式题1（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：，符合题意； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，错误。 变式题2（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据积的乘方和幂的乘方法则： 考点4：整式的混合运算与乘法公式 例题4（2025·河南·中考真题）化简： 【答案】 【解析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项： 变式题1（2025·新疆·中考真题）计算： 【答案】 【解析】先利用平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项： 变式题2（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中， 【解析】先展开并合并同类项化简： 代入，： 考点5：代数式与图形的变化规律 例题5（2025·河南·中考真题）观察，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【解析】观察已知式子，左边是两个相差2的整数相乘（第一个数为，第二个数为），右边是中间整数的平方减1（中间整数为），故第个式子为。 变式题1（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【解析】观察图案规律，第个图案中矩形的个数为： 第1个图案：； 第2个图案：； 第3个图案：； …… 第10个图案：。 变式题2（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳提出的“罗士琳法则”生成的勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】11，60，61 【解析】观察每组勾股数的规律： 第一个数为奇数：3，5，7，9，……，第组为，第⑤组第一个数为； 后两个数为连续整数，且满足勾股定理：设第②个数为，则第③个数为，由，解得，故第⑤组勾股数为11，60，61。 一．选择题（共30小题） 1．下列对代数式的意义表述正确的是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】 【考点】代数式 【解析】选项与的和应为：，不合题意； 选项与的差应为：，不合题意； 选项：符合题意； 选项与的商应为：，不合题意． 故选． 2．下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同类项；单项式 【解析】解：根据同类项的定义可知，的同类项是．故选． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【考点】合并同类项 【解析】解：，故选． 4．计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】合并同类项 【解析】解：原式，故选． 5．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项；去括号与添括号 【解析】解：与不是同类项，无法合并，不正确，不符合题意； ，不正确，不符合题意； ，不正确，不符合题意； ，正确，符合题意． 故选． 6．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；有理数的减法；负整数指数幂 【解析】解：，选项不符合题意； ，选项符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意． 故选． 7．下列式子运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；同底数幂的乘法；合并同类项 【解析】解：．不能合并同类项，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选． 8．下列各式运算结果为的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选． 9．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】合并同类项；同底数幂的除法；单项式乘单项式 【解析】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选． 10．下列运算一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方 【解析】解：．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； ．，故本选项不符合题意； 故选． 11．计算：　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】单项式乘多项式 【解析】解：．故选． 12．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】负整数指数幂；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方 【解析】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选． 13．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】整式的混合运算 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选． 14．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；合并同类项 【解析】解：．式子中两项不是同类项，不能合并，故不符合题意； ．，故不符合题意； ．，故不符合题意； ．，故符合题意． 故选． 15．下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；平方差公式 【解析】解：，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； 故选． 16．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项 【解析】解：．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意； ．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选． 17．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选． 18．计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】单项式乘单项式 【解析】解：．故选． 19．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式 【解析】解：不能化简，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； ，故选项错误； 故选． 20．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；平方差公式 【解析】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选． 21．有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升．已知2020年全球平均气温为，假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第年的全球平均气温为多少？（以表示）　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的混合运算；列代数式 【解析】解：，故选． 22．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】单项式；规律型：数字的变化类 【解析】解：按一定规律排列的代数式：，，，，，， 第个代数式为，故选． 23．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】合并同类项；同底数幂的乘法 【解析】解：根据已知得，，即， ．故选． 24． 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为　　 A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；数学常识 【解析】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数， ， 即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：（个， 故选． 25．已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类；单项式 【解析】解：，，，为自然数，为正整数，且， ， 当时，则， ，， 满足条件的整式有， 当时，则， ，，，，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，，1，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ，，，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：5； 满足条件的单项式有：，，，，5，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式共有个，故③符合题意； 故选． 26．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是　　 A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， ， 按此规律摆下去，第个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个． 故选． 27．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是　　 A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】解：由所给图形可知， 第①个图案中，菱形的个数为：； 第②个图案中，菱形的个数为：； 第③个图案中，菱形的个数为：； 第④个图案中，菱形的个数为：； ， 所以第个图案中，菱形的个数为个， 当时，（个， 即第⑧个图案中，菱形的个数为23个． 故选． 28．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是　　 A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； ， 所以第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．故选． 29．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形按照此规律，第六幅图中正方形的个数为　　 A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】解：由所给图形可知， 第一幅图中正方形的个数为：； 第二幅图中正方形的个数为：； 第三幅图中正方形的个数为：； 第四幅图中正方形的个数为：； ， 所以第幅图中正方形的个数为：， 当时，（个， 即第六幅图中正方形的个数为91个． 故选． 30． “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是　　 A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】解：设一个三位数与一个两位数分别为和，如图 则由题意得：，，，， ，即， 当， 时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当，时，则，，，如图 、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； 上面的数应为，如图 运算结果可以表示为：， 选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000， 故选项不符合题意， 故选． 二．填空题（共21小题） 31．请写出的一个同类项：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】同类项 【解析】解：与是同类项的是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 32．单项式的次数是 　3　． 【答案】3． 【考点】单项式 【解析】解：单项式的次数是：3． 故答案为：3． 33．计算：　　． 【答案】． 【考点】合并同类项 【解析】解： ， 故答案为：． 34．计算：　　． 【答案】． 【考点】同底数幂的乘法 【解析】解：， 故答案为：． 35．计算：　　． 【答案】． 【考点】幂的乘方与积的乘方 【解析】解：， 故答案为：． 36．计算的结果为 　　． 【答案】． 【考点】同底数幂的除法 【解析】解：， 故答案为：． 37．计算：　　． 【答案】． 【考点】平方差公式 【解析】解： ， 故答案为：． 38．若每个篮球30元，则购买个篮球需 　　元． 【答案】． 【考点】列代数式 【解析】解：每个篮球30元， 购买个篮球需：（元， 故答案为：． 39．若，则　4　． 【答案】4． 【考点】代数式求值 【解析】解：， ， ， 故答案为：4． 40．若，则　1　． 【答案】1． 【考点】代数式求值 【解析】解：， ． 故答案为：1． 41．已知，，则　29　． 【答案】29． 【考点】完全平方公式 【解析】解：，， ， 故答案为：29． 42．已知，且，则　　． 【答案】． 【考点】平方差公式 【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 43．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 　　． 【答案】． 【考点】整式的加减 【解析】解： ． 故答案为：． 44．观察，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 　　． 【答案】． 【考点】规律型：数字的变化类；单项式 【解析】解：根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：，，，，， 第100个式子为：， 故答案为：． 45．观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：． 按照以上规律，第个等式为 　　． 【答案】． 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算 【解析】解：第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：． 按照以上规律，第个等式为， 故答案为：． 46．如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 　15　个火柴棒． 【答案】15． 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】观察图形的变化可知： 摆第1个图案要用火柴棒的根数为：3； 摆第2个图案要用火柴棒的根数为：； 摆第3个图案要用火柴棒的根数为：； 则摆第个图案要用火柴棒的根数为：； 故第7个图案要用火柴棒的根数为：． 故答案为：15． 47．一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则　1188或4752　． 【答案】1188或4752． 【考点】列代数式 【解析】解：设四位数的个位数字为，十位数字为，是0到9的整数，是0到8的整数）， ， 是四位数， 是四位数， 即， ， ， 是完全平方数， 既是3的倍数也是完全平方数， 只有36，81，144，225这四种可能， 完全平方数的所有值为1188或2673或4752或7425， 又是偶数， 或4752， 故答案为：1188或4752． 48．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 　9　；若，则的值为 　　． 【答案】9，144． 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】解：当时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，， ； 当时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是： ，，，，， ，，，， ，，，，， ． ，，，，，， ，， ； 故答案为：9，144． 49．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 　12　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12． 【考点】规律型：图形的变化类 【解析】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； ， 所以第个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知， ， 解得，， 又因为为正整数， 所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 50．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示　　． ①杯子底部到杯沿底边的高； ②杯口直径； ③杯底直径； ④杯沿高． 【答案】． 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】解：如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度杯子底部到杯沿底边的高杯子数量杯沿高， ， 故答案为：． 51．将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则　45　，　　． 【答案】45；2． 【考点】规律型：数字的变化类 【解析】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ， 而，在第45行，第1列， 在第45行，第2列， ，， 故答案为：45，2． 三．解答题（共9小题） 52．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：原式 ， 当，时， 原式． 53．先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式． 【考点】平方差公式；整式的混合运算—化简求值 【解析】解： ， 当时，原式． 54．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：原式 ， 当，时，原式． 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：当时， ． 56．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：原式 ． 当，时，原式． 57．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：原式 ， 当，时， 原式． 58．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解：原式 ； 当时， 原式． 59．先化简，再求值：，其中． 【答案】6． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】解： ， 原式． 60．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　36　，前15行的点数之和为 　　，那么，前行的点数之和为 　　． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 　　（填“能”或“不能” 为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36，120，； （2）不能； （3）一共能摆20排． 【考点】列代数式；规律型：图形的变化类 【解析】解：（1）由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， 所以三角点阵中前行的点数之和为：． 当时， ， 即三角点阵中前8行的点数之和为36． 当时， ， 即三角点阵中前15行的点数之和为120． 故答案为：36，120，． （2）不能． 令得， 解得， 因为为正整数， 所以三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能． （3）由题知， 前排盆景的总数可表示为， 令得， 解得，． 因为为正整数， 所以， 即一共能摆20排． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其运算讲义 整式及其运算是中考数学的基础核心专题，是代数式运算的核心内容，贯穿整个初中数学知识体系，为分式、二次根式、函数、方程等后续知识的学习奠定基础。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的基础步骤中，占分比重约6%-8%。 核心考点 ①列代数式（根据文字描述、实际情境或图形关系表示数量关系）； ②代数式的求值（直接代入、整体代入、化简后代入）； ③整式的概念（单项式、多项式的定义、系数、次数、同类项）； ④幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）； ⑤整式的运算（合并同类项、单项式乘除、多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式）； ⑥整式的混合运算与化简求值； ⑦代数式与图形的变化规律探究。 考情分析 ①基础题型：侧重列代数式、同类项判断、幂的基本运算、简单整式加减，难度较低； ②中档题型：侧重整式的混合运算、乘法公式的灵活运用、整体代入求值、简单规律探究，难度中等； ③创新题型：侧重结合实际情境的代数式应用、复杂图形/代数式的规律探究，难度稍高。 （一）基本概念 1.整式的分类 单项式：由数与字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式）； 系数：单项式中的数字因数（注意符号）； 次数：单项式中所有字母的指数和（单独一个非零数的次数为0）。 多项式：几个单项式的和叫做多项式； 项：多项式中的每个单项式（含符号）； 常数项：不含字母的项； 次数：多项式中次数最高的项的次数。 整式：单项式和多项式统称为整式。 2.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（常数项都是同类项）； 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （二）整式的运算 1.幂的运算法则（核心考点） 同底数幂相乘：（、 为整数，）； 同底数幂相除：（、 为整数，）； 幂的乘方：（、 为整数，）； 积的乘方：（ 为整数，、）； 零指数幂：（）； 负整数指数幂：（ 为正整数，）。 2.整式的乘法运算 单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数不变作为积的因式； 单项式×多项式：（乘法分配律）； 多项式×多项式：； 乘法公式（高频考点）： 平方差公式：； 完全平方公式：。 3.整式的除法运算 单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，其余字母连同指数不变作为商的因式（注意符号）； 多项式÷单项式：（）。 4.整式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 （三）二级结论（中考高频应用） 1.同类项判定的隐含条件：字母相同且对应指数相同，与系数无关； 2.幂的运算逆用： ； ； ； 3.完全平方公式变形： ； ； ； 4.平方差公式拓展：； 5.整体代入技巧：当已知代数式的值无法直接求出字母取值时，可将代数式视为一个整体代入计算（如已知，求的值，可整体代入）。 考点1：列代数式 例题1（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ） A． B． C． D． 变式题1（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为元，按标价的8折出售，则每件商品的售价 是 元． 变式题2（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 考点2：代数式的求值 例题2（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 变式题1（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ． 变式题2（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ． 考点3：幂的运算 例题3（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式题1（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 变式题2（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（ ） A． B． C． D． 考点4：整式的混合运算与乘法公式 例题4（2025·河南·中考真题）化简： 变式题1（2025·新疆·中考真题）计算： 变式题2（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中， 考点5：代数式与图形的变化规律 例题5（2025·河南·中考真题）观察，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 变式题1（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 变式题2（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳提出的“罗士琳法则”生成的勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 一．选择题（共30小题） 1．下列对代数式的意义表述正确的是　　 A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 2．下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D． 4．计算的结果是　　 A． B． C． D． 5．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 6．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 7．下列式子运算正确的是　　 A． B． C． D． 8．下列各式运算结果为的是　　 A． B． C． D． 9．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 10．下列运算一定正确的是　　 A． B． C． D． 11．计算：　　 A． B． C． D． 12．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 13．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 14．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 15．下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 16．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 17．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 18．计算的结果是　　 A． B． C． D． 19．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 20．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 21．有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升．已知2020年全球平均气温为，假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第年的全球平均气温为多少？（以表示）　　 A． B． C． D． 22．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是　　 A． B． C． D． 23．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是　　 A． B． C． D． 24． 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为　　 A．676 B．674 C．1348 D．1350 25．已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 26．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是　　 A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 27．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是　　 A．20 B．21 C．23 D．26 28．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是　　 A．20 B．22 C．24 D．26 29．如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形按照此规律，第六幅图中正方形的个数为　　 A．90 B．91 C．92 D．93 30． “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是　　 A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 二．填空题（共21小题） 31．请写出的一个同类项：　　． 32．单项式的次数是 　　． 33．计算：　　． 34．计算：　　． 35．计算：　　． 36．计算的结果为 　　． 37．计算：　　． 38．若每个篮球30元，则购买个篮球需 　　元． 39．若，则　　． 40．若，则　　． 41．已知，，则　　． 42．已知，且，则　　． 43．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 　　． 44．观察，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 　　． 45．观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：． 按照以上规律，第个等式为 　　． 46．如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 　　个火柴棒． 47．一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则　　． 48．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 　　；若，则的值为 　　． 49．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第 　　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 50．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示　　． ①杯子底部到杯沿底边的高； ②杯口直径； ③杯底直径； ④杯沿高． 51．将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则　　，　　． 三．解答题（共9小题） 52．先化简，再求值：，其中，． 53．先化简，再求值：，其中． 54．先化简，再求值：，其中，． 55．先化简，再求值：，其中． 56．先化简，再求值：，其中，． 57．先化简，再求值：，其中，． 58．先化简，再求值：，其中． 59．先化简，再求值：，其中． 60．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　　，前15行的点数之和为 　　，那么，前行的点数之和为 　　． （2）体验：三角点阵中前行的点数之和 　　（填“能”或“不能” 为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 学科网（北京）股份有限公司 $