专题01 有理数的概念及其运算讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题01 有理数的概念及其运算讲义 有理数的概念及其运算是中考数学的基础核心考点，贯穿整个初中数学学习体系，在中考中多以基础题形式出现，分布在选择题、填空题及解答题的基础步骤中，占分比重约5%-8%。 核心考点 ①有理数的分类、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及应用； ②科学记数法与近似数的表示及精度判断； ③有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算（含运算律的灵活运用）； ④有理数的大小比较（结合数轴、绝对值等知识点）； ⑤与有理数相关的实际应用问题（如温度变化、路程计算、财务收支等）。 考情分析 ①基础题型：侧重概念辨析（如相反数、绝对值的定义考查）、简单运算及科学记数法，难度较低； ②中档题型：侧重混合运算（含符号法则、运算顺序、运算律应用）、绝对值的几何意义应用，难度中等； ③创新题型：结合数轴的动点问题、与其他知识点（如方程、不等式）的简单结合，难度稍高。 （一）基本概念 1.有理数的分类 按定义分：有理数 按性质分：有理数 注意：0既不是正数也不是负数；有限小数和无限循环小数都属于分数。 2.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度（缺一不可）。 性质：数轴上的点与有理数一一对应；右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 3.相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）。 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点关于原点对称。 性质：若与互为相反数，则，反之亦然。 4.绝对值 定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 代数意义： 性质： · 非负性：（任何有理数的绝对值都为非负数）； · 或； · ；。 5.倒数 定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）。 性质：若与互为倒数，则，反之亦然；倒数等于本身的数是1和。 （二）科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，为正整数）；对于小于1的正数，可表示为（其中，为正整数）。 注意：的值等于原数的整数位数减1（大于10的数）或原数左起第一个非零数字前所有零的个数（小于1的正数）。 2.近似数 定义：接近准确数但与准确数有差别的数叫做近似数。 精确度：近似数与准确数的接近程度，常见表示形式：“精确到某位”“保留几位有效数字”。 有效数字：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 （三）有理数的运算 1.运算法则 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加仍得这个数。 减法：（减去一个数等于加上这个数的相反数）。 乘法：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘得0；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定（负因数有偶数个得正，奇数个得负）。 除法：（除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数）；同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数得0。 乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，记作（叫底数，叫指数）；正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；，，。 2.运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 3.运算律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 （四）二级结论 1.若，则且（非负性的应用）； 2.对于任意有理数，有； 3.有理数的加法中，交换加数的位置，和不变；若有互为相反数的数，可先相加得0； 4.乘法运算中，互为倒数的数可先相乘得1；能凑整的数可利用运算律结合相乘； 5.多个有理数相乘时，若有一个因数为0，则积为0，反之，积为0则至少有一个因数为0。 考点1：有理数的相关概念辨析 例题1下列说法正确的是（ ） A. 零是最小的整数 B. 绝对值等于它本身的数一定是正数 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 有理数就是有限小数和无限循环小数 变式题1下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 变式题2若，则的值是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 考点2：科学记数法与近似数 例题2据统计，2023年武汉市常住人口约为1373.90万人，将1373.90万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 变式题1 2025年我国粮食总产量再创新高，达13731亿斤，用科学记数法表示13731亿斤是（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 变式题2近似数精确到（ ） A. 百分位 B. 十分位 C. 千位 D. 万位 考点3：有理数的混合运算 例题3计算： 变式题1计算： 变式题2计算： 考点4：有理数的大小比较 例题4比较大小： （1）和；（2）和；（3）和 变式题1已知，为有理数，且，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 考点5：有理数的实际应用 例题5某粮店一周内粮食进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，，， （1）该粮店一周后粮食库存是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）若每周初粮店库存为吨，则周末库存为多少吨？ （3）若每吨粮食进出库的运费为元，求该粮店一周内的运费总额。 变式题1一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，午夜的气温是（ ） A. B. C. D. 变式题2小明的爸爸在银行存入元，存期为一年，年利率为，到期后他能取回多少钱？（不计利息税） 一．选择题（共43小题） 1．某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作　　 A． B． C． D． 2．在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作元，那么支出10元记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 3．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是　　 A． B． C． D．10 4．下列各数中：5，，，0，，，负数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，数轴上点表示的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 7．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是　　 A． B．1 C． D．3 8．实数的相反数是　　 A．2025 B． C． D． 9．下列各组数中，互为相反数的是　　 A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 10．若，互为倒数，且满足，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 11．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是　　 A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 12．四个数，，0，10中，最小的数是　　 A． B． C．0 D．10 13．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是　　 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 14．下列各数中，比小的数是　　 A． B． C．4 D．1 15．下列四个数中，最大数是　　 A． B．0 C． D．3 16．计算的结果是　　 A． B． C．2 D．8 17．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是　　 A． B． C． D． 18．计算的结果等于　　 A． B．0 C．3 D．6 19．算式之值为何？　　 A． B． C． D． 20．若□的运算结果为正数，则□内的数字可以为　　 A．2 B．1 C．0 D． 21．计算的结果是　　 A． B． C． D． 22．根据有理数加法法则，计算过程正确的是　　 A． B． C． D． 23．2的绝对值是　　 A．2 B． C． D． 24． 的倒数是　　 A． B． C． D．3 25．下列四个数中，最小的数是　　 A． B．0 C．3 D． 26．如图的数在线有、、（2）三点．今打算在此数在线标示、两点，且、互为倒数，若在的左侧，则下列叙述何者正确？　　 A．在上，且 B．在上，且 C．在上，且 D．在上，且 27．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是　　 A．8 B．18 C．28 D．32 28．若，，，则、、三数的大小关系为何？　　 A． B． C． D． 29． 2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 30．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 31．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球《专利合作条约》国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 32．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到，则的值为　　 A． B． C． D． 33．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 34．越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 35．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为　　 A．光年 B．光年 C．光年 D．光年 36．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 37．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为　　 A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 38．祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 39．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 40．新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 41．央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 42．2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 43．2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共15小题） 44．计算：　　． 45．计算：　　． 46．写出一个大于的数是 　　． 47．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作 　　米． 48．如果公元前121年记作年，那么公元2024年应记作 　　年． 49．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸的取值范围） 　　． 50．若，则　　． 51．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 　　（写出一个符合题意的数即可） 52．如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为 　　． 53．定义一种新运算，规定运算法则为：，均为整数，且．例：，则　　． 54．联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：如下： 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为 　　；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　　的先后顺序彩排． 55．地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿请将数据1420000000用科学记数法表示为 　　． 56．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　　倍．（用科学记数法表示） 57． 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 　　秒． 58．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为 　　． 三．解答题（共2小题） 59．计算：． 60．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点，，所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点，，所对应的数依次为0，，12． （1）计算，，三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的概念及其运算讲义 有理数的概念及其运算是中考数学的基础核心考点，贯穿整个初中数学学习体系，在中考中多以基础题形式出现，分布在选择题、填空题及解答题的基础步骤中，占分比重约5%-8%。 核心考点 ①有理数的分类、数轴、相反数、绝对值、倒数的概念及应用； ②科学记数法与近似数的表示及精度判断； ③有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算（含运算律的灵活运用）； ④有理数的大小比较（结合数轴、绝对值等知识点）； ⑤与有理数相关的实际应用问题（如温度变化、路程计算、财务收支等）。 考情分析 ①基础题型：侧重概念辨析（如相反数、绝对值的定义考查）、简单运算及科学记数法，难度较低； ②中档题型：侧重混合运算（含符号法则、运算顺序、运算律应用）、绝对值的几何意义应用，难度中等； ③创新题型：结合数轴的动点问题、与其他知识点（如方程、不等式）的简单结合，难度稍高。 （一）基本概念 1.有理数的分类 按定义分：有理数 按性质分：有理数 注意：0既不是正数也不是负数；有限小数和无限循环小数都属于分数。 2.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度（缺一不可）。 性质：数轴上的点与有理数一一对应；右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 3.相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）。 几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点关于原点对称。 性质：若与互为相反数，则，反之亦然。 4.绝对值 定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 代数意义： 性质： · 非负性：（任何有理数的绝对值都为非负数）； · 或； · ；。 5.倒数 定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）。 性质：若与互为倒数，则，反之亦然；倒数等于本身的数是1和。 （二）科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，为正整数）；对于小于1的正数，可表示为（其中，为正整数）。 注意：的值等于原数的整数位数减1（大于10的数）或原数左起第一个非零数字前所有零的个数（小于1的正数）。 2.近似数 定义：接近准确数但与准确数有差别的数叫做近似数。 精确度：近似数与准确数的接近程度，常见表示形式：“精确到某位”“保留几位有效数字”。 有效数字：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 （三）有理数的运算 1.运算法则 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加仍得这个数。 减法：（减去一个数等于加上这个数的相反数）。 乘法：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘得0；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定（负因数有偶数个得正，奇数个得负）。 除法：（除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数）；同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数得0。 乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，记作（叫底数，叫指数）；正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；，，。 2.运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 3.运算律 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 （四）二级结论 1.若，则且（非负性的应用）； 2.对于任意有理数，有； 3.有理数的加法中，交换加数的位置，和不变；若有互为相反数的数，可先相加得0； 4.乘法运算中，互为倒数的数可先相乘得1；能凑整的数可利用运算律结合相乘； 5.多个有理数相乘时，若有一个因数为0，则积为0，反之，积为0则至少有一个因数为0。 考点1：有理数的相关概念辨析 例题1下列说法正确的是（ ） A. 零是最小的整数 B. 绝对值等于它本身的数一定是正数 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 有理数就是有限小数和无限循环小数 【答案】C 【解析】选项A：整数包括正整数、0和负整数，没有最小的整数，故A错误； 选项B：绝对值等于它本身的数是正数和0，故B错误； 选项C：设与互为相反数，则，故C正确； 选项D：有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，但整数不是小数，故D错误。 变式题1下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】互为相反数的两个数只有符号不同，和符合定义，故选A；B选项是负整数和正分数，C选项是两个负数，D选项是正分数和正整数，均不互为相反数。 变式题2若，则的值是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】根据绝对值的代数意义，绝对值等于5的数有两个，分别是5和，即，故选C。 考点2：科学记数法与近似数 例题2据统计，2023年武汉市常住人口约为1373.90万人，将1373.90万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】1万，则1373.90万。将其转化为科学记数法，需满足，即把小数点向左移动3位，得，故选A。 变式题1 2025年我国粮食总产量再创新高，达13731亿斤，用科学记数法表示13731亿斤是（ ） A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 【答案】A 【解析】1亿，13731亿。将小数点向左移动4位得，故选B。 变式题2近似数精确到（ ） A. 百分位 B. 十分位 C. 千位 D. 万位 【答案】C 【解析】，其中末尾的0在千位上，所以近似数精确到千位，故选C。 考点3：有理数的混合运算 例题3计算： 【解析】按照运算顺序， 原式=（或） 变式题1计算： 【解析】利用乘法分配律： =. 变式题2计算： 【解析】原式=。 考点4：有理数的大小比较 例题4比较大小： （1）和；（2）和；（3）和 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。，，，故； （2），，，故； （3），正数大于0，故，即。 变式题1已知，为有理数，且，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，（满足，，），则，。比较大小：，即，故选B。 考点5：有理数的实际应用 例题5某粮店一周内粮食进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，，， （1）该粮店一周后粮食库存是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）若每周初粮店库存为吨，则周末库存为多少吨？ （3）若每吨粮食进出库的运费为元，求该粮店一周内的运费总额。 【解析】（1）将一周内的进出库吨数相加： （吨） 结果为负，说明库存减少了，减少了吨。 （2）每周初库存吨，周末库存为：（吨） （3）先计算一周内粮食进出库的总吨数（绝对值之和）： （吨） 运费总额：元。 变式题1一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，午夜的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】早晨气温，中午上升后为，午夜下降后为，故选A。 变式题2小明的爸爸在银行存入元，存期为一年，年利率为，到期后他能取回多少钱？（不计利息税） 【答案】元 【解析】利息本金年利率存期，即元。 到期取回的钱本金利息元。 一．选择题（共43小题） 1．某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】正数和负数 【解析】“正”和“负”相对，所以，某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作． 故选：． 2．在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作元，那么支出10元记作　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】 【考点】正数和负数 【解析】“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作元，则支出10元记作元． 故选：． 3．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是　　 A． B． C． D．10 【答案】 【考点】正数和负数 【解析】各数的绝对值分别为7，5，3，10， ， 最接近标准质量的是， 故选：． 4．下列各数中：5，，，0，，，负数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【考点】正数和负数 【解析】，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故选：． 5．如图，数轴上点表示的数是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【考点】数轴 【解析】根据数轴可知，点表示的数为：， 故选：． 6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】数轴 【解析】，，，， 而， 与原点距离最近， 故选：． 7．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是　　 A． B．1 C． D．3 【答案】 【考点】有理数的加法；数轴 【解析】由题意得， 所以在数轴上对应的点向右平移2个单位，此时该点对应的数是1， 故选：． 8．实数的相反数是　　 A．2025 B． C． D． 【答案】 【考点】相反数 【解析】的相反数是， 故选：． 9．下列各组数中，互为相反数的是　　 A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】 【考点】绝对值；相反数 【解析】 、，2024 和 符号相反，互为相反数． 、2024 和 互为倒数． 、，两个数相等． 、和的符号相反，但绝对值不相等； 故选：． 10．若，互为倒数，且满足，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【考点】倒数 【解析】与互为倒数， ， ， ， ． 故选：． 11．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是　　 A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【答案】 【考点】正数和负数；有理数大小比较 【解析】， 海拔最低的是亚洲． 故选：． 12．四个数，，0，10中，最小的数是　　 A． B． C．0 D．10 【答案】 【考点】有理数大小比较 【解析】， 最小的数是：． 故选：． 13．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是　　 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 【答案】 【考点】正数和负数；有理数大小比较 【解析】， 气温最低的是北京， 故选：． 14．下列各数中，比小的数是　　 A． B． C．4 D．1 【答案】 【考点】有理数大小比较 【解析】根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比小的数是， 故选：． 15．下列四个数中，最大数是　　 A． B．0 C． D．3 【答案】 【考点】有理数大小比较 【解析】， 最大的数是：3． 故选：． 16．计算的结果是　　 A． B． C．2 D．8 【答案】 【考点】有理数的加法 【解析】． 故选：． 17．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的减法；正数和负数 【解析】由题意得，， 故选：． 18．计算的结果等于　　 A． B．0 C．3 D．6 【答案】 【考点】有理数的减法 【解析】原式 ， 故答案为：． 19．算式之值为何？　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的减法 【解析】 ． 故选：． 20．若□的运算结果为正数，则□内的数字可以为　　 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】 【考点】有理数的乘法 【解析】，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项正确； 故选：． 21．计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的乘方 【解析】原式， 故选：． 22．根据有理数加法法则，计算过程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数的混合运算 【解析】根据有理数加法法则第2条：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为． 23．2的绝对值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【考点】绝对值 【解析】， ． 故选：． 24．的倒数是　　 A． B． C． D．3 【答案】 【考点】倒数 【解析】， 的倒数是． 故选：． 25．下列四个数中，最小的数是　　 A． B．0 C．3 D． 【答案】 【考点】有理数大小比较 【解析】， 最小的数是：． 故选：． 26．如图的数在线有、、（2）三点．今打算在此数在线标示、两点，且、互为倒数，若在的左侧，则下列叙述何者正确？　　 A．在上，且 B．在上，且 C．在上，且 D．在上，且 【答案】 【考点】倒数 【解析】取，则，则，，故错误； 为负数，、互为倒数， 为负数， 点不可能在上， 故、错误． 故选：． 27．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是　　 A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】 【考点】有理数的乘法；因数 【解析】．8的因数有：1，2，4，8；，8不是“完美数”，故错误； ．18的因数有1，2，3，6，9，18；，18不是“完美数”，故错误； ．28的因数有：1，2，4，7，14，28；，28是“完美数”，故正确； ．32的因数有：1，2，4，8，16，32，，32不是“完美数”，故错误； 故选：． 28．若，，，则、、三数的大小关系为何？　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】有理数大小比较；科学记数法—表示较小的数 【解析】，，，， ． 故选：． 29．2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】61.9万， 故选：． 30．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】数据87790000000用科学记数法表示为． 故选：． 31．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球《专利合作条约》国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】． 故选：． 32．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】由题意可得：． 故选：． 33．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较小的数 【解析】百万分之一． 故选：． 34．越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】， 故选：． 35．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为　　 A．光年 B．光年 C．光年 D．光年 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】50亿光年光年光年， 故选：． 36．中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】62万． 故选：． 37．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为　　 A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数；科学记数法—表示较小的数 【解析】由题意可得1毫米百万纳米纳米， 则0.015毫米纳米纳米， 故选：． 38．祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】， 故选：． 39．人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较小的数 【解析】， 故选：． 40．新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】亿， 亿用科学记数法表示为． 故选：． 41．央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】． 故选：． 42．2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】． 故选：． 43．2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】， 故选：． 二．填空题（共15小题） 44．计算：　2024　． 【答案】2024． 【考点】相反数 【解析】， 故答案为：2024． 45．计算：　1　． 【答案】1． 【考点】有理数的乘方 【解析】， 故答案为：1． 46．写出一个大于的数是 　0　． 【答案】0． 【考点】有理数大小比较 【解析】比大的数如：0， 故答案为：0（答案不唯一）． 47．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作 　　米． 【答案】． 【考点】正数和负数 【解析】某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作米， 故答案为：． 48．如果公元前121年记作年，那么公元2024年应记作 　　年． 【答案】． 【考点】正数和负数 【解析】如果公元前121年记作年，那么公元2024年应记作年， 故答案为：． 49．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸的取值范围） 　．　． 【答案】． 【考点】有理数的加减混合运算 【解析】根据题意，得． 故答案为：． 50．若，则　2　． 【答案】2 【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【解析】， ，， ，， ， 故答案为：2． 51．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 　0　（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0． 【考点】有理数的加法 【解析】解法一：由题意，填写如下： ，，满足题意， 故答案为：0． 解法二：由题意，填写如下： ，，满足题意， 故答案为：． 52．如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当，，，时，的值为 　220　． 【答案】220． 【考点】有理数的混合运算 【解析】由题意可得． 故答案为：220． 53．定义一种新运算，规定运算法则为：，均为整数，且．例：，则　8　． 【答案】8 【考点】有理数的混合运算 【解析】， ， 故答案为：8． 54．联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：如下： 节目 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为 　60　；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　　的先后顺序彩排． 【答案】60；． 【考点】有理数的混合运算 【解析】根据题意，节目的演员的候场时间为：； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序， 即， 故答案为：60；． 55．地球上水（包括大气水、地表水和地下水）的总体积约为14.2亿请将数据1420000000用科学记数法表示为 　　． 【答案】． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】1420000000用科学记数法可以表示成为． 故答案为：． 56．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　　倍．（用科学记数法表示） 【答案】． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】， 则， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 57．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 　　秒． 【答案】． 【考点】科学记数法—表示较小的数 【解析】阿秒是秒， 阿秒． 故答案为：． 58．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为 　　． 【答案】． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【解析】13908亿， 故答案为：． 三．解答题（共2小题） 59．计算：． 【考点】有理数的混合运算 【解析】原式 ． 60．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点，，所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点，，所对应的数依次为0，，12． （1）计算，，三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，求的值． 【考点】数轴 【解析】（1）点，，所对应的数依次为，2，32， ，，三点所对应的数的和为， ，， ； （2）由数轴得，，， 由题意得，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $